Lineare Algebra und Geometrie 1“ im Sommer - staff.uni

Prof. Dr. Felix Leinen
28. April 2017
Lineare Algebra und Geometrie 1“ im Sommer 2017
”
ÜBlatt 2
Abgabe der Hausaufgaben bis Freitag, 05. Mai 2017 um 10:30 Uhr im Übungskasten
neben der Mathe-Fachschaft.
1. (a) Beweisen Sie:
Es gibt gewisse a, b, c, d ∈ Q derart, daß für alle n ∈ N gilt
n
X
3 k2 − k
= a n3 + b n2 + c n + d .
k=0
Tip. Bestimmen Sie zunächst a, b, c, d.
99999
X
(b) Berechnen Sie
3 k2 − k
[5 P]
.
[1 P]
k=0
2. Die ganzen Zahlen an (n ∈ N) seien rekursiv definiert vermöge
a0 = 4,
a1 = 0
an+1 = an−1 − 2 an
und
für alle
n ≥ 1.
Zeigen Sie:
an =
2+
√ √
√ √
n
n
2
2 − 1 + (−1)n 2 − 2
2+1
für alle n ∈ N.
[5 P]
3. Wir betrachten die folgenden vier Abbildungen f : A −→ B .
(1)
A=B=Z
(2)
A = [1, ∞ [ , B = R
(3)
A=B=Q
(4)
und
f (a) = 3 a − 5
und
m
für alle a ∈ A.
f (a) = a2 − 2a − 1
m+n
2
für alle a ∈ A.
m
n
∈ Q (m ∈ Z, 1 ≤ n ∈ N).
A = M × M und B = P(M ) und f (x, y) = {x, y} für alle x, y ∈ M .
Hierbei bezeichne M eine nicht-leere Menge.
und
f
n
=
für alle
(a) Welche der Abbildungen sind injektiv bzw. surjektiv bzw. bijektiv ?
ausführliche Begründung!
(b) Bestimmen Sie im Falle der Injektivität eine Linksinverse und im Falle der Surjektivität eine Rechtsinverse zur jeweiligen Abbildung f .
ausführliche Begründung!
(bitte wenden)
[11 P]
4. Es sei f : A −→ B eine Abbildung. Entscheiden Sie in jedem der folgenden vier Fälle,
ob die Aussage stets wahr oder evtl. falsch ist, und geben Sie dazu einen ausführlichen
Beweis bzw. ein Gegenbeispiel mit Erläuterung an:
(i)
Für beliebige Teilmengen X, Y von A gilt
f (X ∪ Y ) = f (X) ∪ f (Y ).
[2 P]
(ii)
Für beliebige Teilmengen U, V von B gilt
f − (U ∪ V ) = f − (U ) ∪ f − (V ).
[2 P]
(iii)
Für beliebige Teilmengen U, V von B gilt
f − (U
[2 P]
(iv)
Für beliebige Teilmengen X, Y von A gilt
f (X \ Y ) = f (X) \ f (Y ).
∩V) =
f − (U )
∩
f − (V
).
[2 P]