Logik und Diskrete Strukturen

Prof. Martin Hofmann, PhD
Dr. Steffen Jost
Ludwig-Maximilians-Universität München
30. April 2012
2. Übung zur Vorlesung
Logik und Diskrete Strukturen
A2-1 Fehlerhafte Induktion
Wo steckt der Fehler in dem folgenden Induktionsbeweis,
der zeigt, dass alle Personen einer Menge X mit |X| = n Elementen gleich groß sind?
Die Induktionsvoraussetzung für n = 1 ist offensichtlich erfüllt. Beim Induktionsschritt von n auf n + 1 wird eine Menge X aus n + 1 Personen so in Teilmengen
Y und Z zerlegt, dass gilt: X = Y ∪ Z, |Y ∩ Z| = 1, |Y | < |X| und |Z| < |X|.
Da |Y | < |X| folgt nach Induktionsannahme, dass alle Personen in Y gleich groß
sind; analog gilt, dass alle Personen in Z gleich groß sind. Da die Schnittmenge
aus Y und Z nicht leer ist, folgt, dass alle Personen in X gleich groß sind.
A2-2 Induktion In Russland gab es Geldscheine zu 3 und zu 5 Rubel. Zeigen Sie, dass man
damit jeden ganzzahligen Rubelbetrag größer als 7 Rubel bezahlen konnte, ohne dass herausgegeben werden muss. Man überlege sich zuerst eine präzise mathematische Formulierung
dieser Aussage und beweise sie dann mit Induktion.
A2-3 Bild und Urbild Sei A1 und A2 Teilmengen von A, sowie B1 , B2 ⊆ B. Sei f : A →
B, also eine Funktion von A nach B.
Beweisen oder Widerlegen Sie:
a) f (A) = B
b) Wenn A1 ⊆ A2 , dann gilt auch f (A1 ) ⊆ f (A2 )
c) f −1 f (A1 ) ⊆ A1
d) f f −1 (B1 ) ⊆ B1
e) f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 )
H2-1 Äquivalenzrelationen III (3 Punkte) (Abgabeformat: einfacher Text oder PDF)
Für eine Funktion f : X × Y → Z definieren wir folgende Relation
Rf = {(x, x0 ) | es gibt ein y ∈ Y gilt f (x, y) = f (x0 , y)}
Geben Sie eine konkrete Mengen X, Y und Z, sowie eine konkrete Funktion f an, so
dass die oben definierte Relation Rf keine Äquivalenzrelation ist! Geben Sie also ein Beispiel
an, und erklären Sie ausführlich, welche Eigenschaft einer Äquivalenzrelation von Rf verletzt
wird.
H2-2 Vollständige Induktion (6 Punkte) (Abgabeformat: einfacher Text oder PDF)
Gegeben sei die Menge der natürlichen Zahlen N, die Nachfolgerfunktion s : N → N, also
s(n) := n + 1. Sowie eine weitere Abbildung p : (N × N) → N. Es gelten folgende Gesetze:
p(n, 0) = n
p n, s(m) = s p(n, m)
für alle n ∈ N
(1)
für alle n, m ∈ N
(2)
Aus diesem Wissen können wir weitere Gesetze ableiten, welche nun zwangsläufig gelten
müssen. Beweisen Sie folgende Behauptungen:
a) p(0, n) = n für alle n ∈ N.
b) p s(n), m = s p(n, m) für alle n, m ∈ X.
c) p(n, m) = p(m, n) für alle n, m ∈ X.
Hinweis: Die Beweise kann man mit vollständiger Induktion führen.
Es könnte Ihnen hilfreich
sein, wenn Sie anstatt n + 1 oder m + 2 besser s(n) und s s(m) schreiben.
H2-3 Bild und Urbild II (6 Punkte) (Abgabeformat: einfacher Text oder PDF)
Sei A1 und A2 Teilmengen von A, sowie B1 , B2 ⊆ B. Sei f : A → B, also eine Funktion
von A nach B.
Beweisen oder Widerlegen Sie:
a) f −1 (B) = A
b) f { } = { }
c) Wenn B1 ⊆ B2 , dann gilt auch f −1 (B1 ) ⊆ f −1 (B2 )
d) f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 )
e) f (A \ A1 ) = f (A) \ f (A1 )
f) f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 )
Abgabe: Lösungen zu den Hausaufgaben (H2-1, H2-2 und H2-3) sind bis Montag, den
07.05.2012, 08:00 Uhr mit UniworX abzugeben. Achten Sie besonders auf saubere Beweise!
Es ist ratsam, die Beweise so ausführlich wie möglich zu führen. Zur Erinnerung: Die Hausaufgaben müssen von Ihnen alleine gelöst werden; eine Abgabe in Gruppen ist nicht zulässig!