Tipps und Tricks zur Berechnung des charakteristischen Polynom

Tipps und Tricks zur Berechnung des
charakteristischen Polynom
(Grundsätzlich ist es praktisch das charakteristische Polynom schnell und direkt – in geeigneter
Form – berechnen zu können. Dies eliminiert insbesondere mögliche Fehlerquellen. “Je länger eine
Rechnung, umso mehr Fehler kann man machen.”)
Gegeben A ∈ K n×n (z.B. K = R oder C). Das charakteristische Polynom PA von A ist die
Determinante der Matrix A − XIn ∈ (K[X])n×n . Zur Berechnung dieser Determinante gibt es viele
Möglichkeiten (vgl. Vorbesprechung von Serie 9). Oft wird das charakteristische Polynom von A
nur zum Zweck der Bestimmung der Eigenwerte von A (= Nullstellen von PA ) berechnet. In diesem
Fall möchte man PA als Produkt von bestenfalls Linear-Faktoren schreiben; so kann man nämlich
die Nullstellen von PA direkt ablesen.
Für die folgenden Bemerkungen sei irgendein Polynom 0 6= p ∈ K[X] mit Grad n gegeben.
• (Fundamentalsatz der Algebra) Wenn K = C, so lässt sich p als Produkt von Linearfaktoren
schreiben, d.h.
n
Y
p = a (X − λi )
(1)
i=1
mit a ∈ C und λi ∈ C (1 ≤ i ≤ n).
• Wenn K = R, so zerfällt p in Linearfaktoren oder quadratische Faktoren, d.h.
p=a
k
Y
j=1
qj
n−2k
Y
(X − λi )
(2)
i=1
mit 0 ≤ k ≤ bn/2c, a ∈ R, λi ∈ R (1 ≤ i ≤ n − 2k) und qj ∈ R[X] vom Grad 2 (1 ≤ j ≤ k).
• Wenn p ∈ R[X] in der Form p = a0 + a1 X + · · · + an X n (mit an 6= 0) gegeben ist so ist es
nicht immer leicht p in die Form (2) überzuführen. Dazu müssen wir nämlich die Nullstellen
von p finden. Wenn n = 2 geht dies einfach mit der aus der Schule bekannten “pq-Formel”
(bzw. “abc-Formel”). Wenn n ≥ 3 ist es am praktischsten die Nullstellen sukzessiv zu raten
und mithilfe von Polynomdivision aus p “herauszuteilen”. (Bei Textbuch/ETH-Aufgaben ist
das Raten von Nullstellen oft sehr einfach: Probiere einfach 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . . )
Um das aufwendige Raten von Nullstellen des charakteristischen Polynoms zu vermeiden ist es
ratsam die Determinante von A − XIn so zu berechnen dass wir direkt die gewünschte Zerlegung
in Linear- (oder quadratische) Faktoren erhalten. Dies klappt am besten mit
• geeigneten elementaren Zeilen/Spalten-Umformungen (eine Überführung in eine “Block-Matrix”
wäre natürlich das wünschenswerteste), und/oder mit
• dem Entwicklungssatz von Laplace (natürlich bietet es sich stets an nach Zeilen bzw. Spalten
mit möglichst vielen Null-Einträgen zu entwickeln; dies vereinfacht Rechnungen oft enorm).
(Die Regel von Sarrus für 3 × 3-Matrizen ist in diesem Zusammenhang meistens nicht geeignet.)