Aufgabe T1.1 Aufgabe T1.2 Aufgabe T1.3 Aufgabe P1.4

Institut für Mathematik der Humboldt-Universität zu Berlin
Grundlagen der Numerischen Mathematik und Optimierung
C. Carstensen, S. Puttkammer
18. April 2017
Serie 1
Vergleich in den Übungen nach dem 24. April 2017
Die theoretischen Aufgaben (T?) sind in den Übungen vorzurechnen, die praktischen Aufgaben (P?) in Zweiergruppen zu bearbeiten und bis 24. April 2017, 11:00 Uhr abzugeben. Alle
notwendigen Informationen finden Sie unter Hinweise zu den Abgaben“ auf der Vorlesungs”
homepage.
Aufgabe T1.1
(a) Erklären Sie den Zusammenhang von Interpolationsaufgaben zum Begriff Čebyšev-System.
(b) Stellen Sie Interpolationsbasis mit Lagrange-Polynomen vor und beschreiben Sie deren Vorund Nachteile.
(c) Zeigen Sie, dass die Lagrange-Basispolynome eine Zerlegung der 1 bilden.
Aufgabe T1.2
(a) Zeigen Sie, dass das System von Funktionen 1, eit , e2it , . . . , e(n−1)it ein C-Čebyšev-System
auf [0, 2π) ist.
(b) Beschreiben Sie auf welchen reellen Intervallen das Funktionensystem t, . . . , tk kein RČebyšev-System ist.
Aufgabe T1.3
(a) Zeigen Sie, dass für zwei Vektoren a, b ∈ Rn und die Einheitsmatrix In folgende Formel für
die Determinante gilt
|In − a ⊗ b| = 1 − a · b.
(b) Folgern Sie daraus folgende Darstellung für die Inverse
(In − a ⊗ b)−1 = In +
a⊗b
.
1−a·b
Dabei sei a ⊗ b := ab> ∈ Rn×n für alle a, b ∈ Rn .
Aufgabe P1.4 (Gruppenabgabe)
(2 Punkte)
Lesen Sie auf der Vorlesungshomepage
https://www.math.hu-berlin.de/~ccafm/teachingAdvanced/Teaching/gnumo/gnumo.php
den Abschnitt Hinweise zu den Abgaben gründlich und legen Sie die geforderten Ordner
und Dateien an. Beachten Sie unbedingt, dass die Nutzergruppe prakt1 ausreichend Rechte
hat, um Ihre Aufgaben korrigieren zu können.
Sobald Sie damit fertig sind, schickt einer der Gruppenpartner die geforderte Email mit Login,
Name und Immatrikulationsnummer beider Gruppenmitglieder an [email protected]
HU Berlin — Inst. f. Math. — Grundlagen der numer. Mathematik und Optimierung — Serie 1
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und in Kopie an den anderen Gruppenpartner.
Sollten Sie keinen Partner finden, bearbeiten Sie die erste Serie allein und schreiben eine Mail
an Herrn Bethke. Ihnen wird dann ab der zweiten Serie ein Partner zugeteilt.
Aufgabe P1.5 (Gruppenabgabe)
(6 Punkte)
Machen Sie sich zunächst mit den Abschnitten Introduction“, Naming Conventions – Va”
”
riables“, Statements – Loops, Conditionals“ und Layout and Documentation – Comments“
”
”
des MATLAB Style Guides vertraut.
Schreiben Sie eine MATLAB-Funktion plotNodalBasisFunction(nodeNumber), die bei Eingabe einer Knotennummer der Triangulierung aus Abbildung 1 einen Plot der zugehörigen
nodalen Basis-Funktion erzeugt.
Dabei sei die nodale Basis-Funktion ϕz ∈ C(Ω) zu einem Knoten z ∈ N die stückweise P1 Funktion (ϕz |T ist eine affine Funktion für alle Dreiecke T ∈ T ), für die gilt ϕz (k) = δz,k für
alle Knoten k ∈ N .
Testen Sie Ihre Implementation in serie01.m mindestens für die Knoten 6, 14 und 25.
Hinweis: Sie können zum Beispiel die MATLAB-Funktionen trisurf oder patch benutzen.
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Abbildung 1: Triangulierung von Ω = (0, 1)2 mit lexikographischer Nummerierung der Knotenmenge
N = {X1 , . . . , X25 } = {(0, 0), (1/4, 0), (1/2, 0), . . . , (1, 1)}.