LINEARE ALGEBRA - Mathematisches Institut Heidelberg

LINEARE ALGEBRA
Universität Heidelberg
Mathematisches Institut : INF 288
Prof. Dr. R. Weissauer
Lineare Algebra I : WS 2001 - 2002
www.mathi.uni-heidelberg.de/~weissaue/
Übungsblatt 1
Aufgabe 1 Die Komposition injektiver Abbildungen ist injektiv.
Die Komposition surjektiver Abbildungen ist surjektiv.
Aufgabe 2 Zeigen Sie für eine Abbildung f : M → N die folgenden Aussagen:
Genau dann gibt es eine Abbildung g : N → M mit f ◦ g = idN , wenn f surjektiv ist.
Genau dann gibt es eine Abbildung h : N → M mit h ◦ f = idN , wenn f injektiv ist.
Aufgabe 3 Sei f : M → N eine Abbildung. Zeige:
Gibt es Abbildungen g : N → M und h : N → M mit f ◦ g = idN und h ◦ f = idM , dann gilt h = g.
Folgern Sie: Eine Abbildung f : M → N ist genau dann bijektiv, wenn es eine Abbildung g : N → M mit den
beiden Eigenschaften f ◦ g = idN und g ◦ f = idM gibt.
Aufgabe 4 Die Gruppentafel einer endlichen Gruppe mit n Elementen ist ein n × n lateinisches Quadrat: In
jeder Zeile und in jeder Spalte kommt jeder Eintrag genau einmal vor.
Hinweis: Für gegebene Elemente a, b einer Gruppe besitzt die Gleichung a ◦ x = b genau eine Lösung. Warum?
Aufgabe 5 (Insbesondere auch für Physiker!) Eckpunkte eines regelmäßigen n–Ecks heißen Nachbarn, wenn
sie durch eine Kante verbunden sind. Permutationen der Eckpunktmenge , welche Nachbarn in Nachbarn
überführen, nennt man Symmetrien des n–Ecks.
Warum bilden die Symmetrien des n–Ecks eine Untergruppe der Permutationsgruppe Sn ?
Wieviele Elemente hat diese Gruppe? Ist die Gruppe abelsch?
Diskutiere Möglichkeiten der Verallgemeinerung. (RubyCube = Diplomarbeit!)
Aufgabe 6 (Bonusaufgabe für Kartentrickspieler) Mit etwas Übung kann man ein Skatblatt mit 32 Spielkarten so mischen, daß die ersten 16 Karten an die Positionen 1, 3, 7, . . . , 31 und die weiteren 16 Karten an
die Positionen 2, 4, 6, . . . , 32 (jeweils unter Beibehaltung der Reihenfolge) kommen.
Nach wieviel Mischungen dieses Typs ist die Ausgangsreihenfolge der Spielkarten wiederhergestellt?
Welche der Karten ändert dabei Ihre Position nie?
Abgabe: Montag 29. Oktober, 12:00
1
Übungsblatt 2
Aufgabe 7 Seien g und h Elemente einer Gruppe (G, ◦). Zeigen Sie
(g ◦ h)−1 = h−1 ◦ g −1 .
Aufgabe 8 Berechne in der Gruppe Sm (für m ≥ n) die Komposition
σ = (12) ◦ (23) ◦ ... ◦ (n−1 n)
aller Transpositionen (i i + 1), wobei i die ganzen Zahlen von 1 bis n − 1 durchläuft.
Aufgabe 9 Wieviele Permutationen σ der symmetrischen Gruppe Sn sind gerade, d.h. erfüllen die Bedingung
sign(σ) = 1?
Zusatzfrage: Berechne explizit die geraden und ungeraden Permutationen in der Gruppe S3 .
Für die Übungsgruppen: Deute die die zugehörigen Orientierungen im 3-dimensionalen Raum mit der 3-FingerRegel.
Aufgabe 10 Zeige: Jedes Element der symmetrischen Sn lässt sich als Komposition endlich vieler Transpositionen schreiben.
Zusatzfrage: (relevant für das Sortieren von Datenbanken): Die Transpositionen
(12), (23), (34), ..., (n−1 n)
in der Gruppen bezeichnen wir als Basistranspositionen. Zeige: Jedes Element von Sn lässt sich als Komposition
von höchsten n(n − 1)/2 Basistransposition schreiben.
Abgabe: 5. November 2001, 14:00 – 14:15, Foyer der Zoologie
2
Übungsblatt 3
Aufgabe 11 Zeigen Sie: In jedem Körper K gilt:
(i) ab + dc = ad+bc
für alle a, b, c, d ∈ K, b, d 6= 0,
bd
(ii) a · (b − c) = a · b − a · c für alle a, b, c ∈ K,
(iii) (−a) · (−b) = a · b für alle a, b ∈ K,
(iv) −(−a) = a für alle a ∈ K.
Aufgabe 12 Die komplexen Zahlen z = x + iy ∈ C können mit den Punkten (x, y) der euklidschen Ebene
R2 identifiziert werden. Fassen Sie nun die Abbildung z → i·z als eine Selbstabbildung der euklidschen Ebene
in sich auf. Geben Sie dabei eine geometrische Deutung dieser Abbildung.
Aufgabe 13 Der “verlorene Schatz” am Mittelpunkt S der Strecke M1 M2 :
Gehe vom Grenzstein X bis zum kleinen Baum B1 , dieselbe Strecke noch einmal geradeaus und dann nach
links noch einmal dieselbe Strecke zum Punkt M1 . Zum Punkt M2 gehe vom großen Baum B2 zum Grenzstein
X, biege dann um neuzig Grad nach links und gehe ebenso weit wie von B2 nach X.
Das Problem: Die Bäume sind da, der Grenzstein fehlt. Was tun?
Aufgabe 14 Die Konstruktion der komplexen Zahlen als Körper aller Paare von reellen Zahlen mit den Verknüpfungen
(x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 )
und
0 0
0
0
0
0
(x, y) · (x , y ) = (xx − yy , xy + yx )
kann für beliebige Körper K (anstelle des Körpers K = R der reellen Zahlen) imitiert werden.
Zeigen Sie: Ist K = Q der Körper der rationalen Zahlen, erhält man auf diese Weise einen Körper. Ist dagegen
K = F2 der Körper mit zwei Elementen, erhält man durch diese Konstruktion keinen Körper! Was passiert im
Fall K = C?
Aufgabe 15 Gibt es einen Körper mit drei Elementen? Nenne dessen Elemente 0, 1 und x. Wie müsste die
additive respektive die multiplikative Gruppentafel eines solchen Körpers aussehen?
Geben Sie bitte drei der obigen Aufgaben ab.
Abgabe: 12. November 2001, 14:00 – 14:15, Foyer der Zoologie
3
Übungsblatt 4
Behandeln Sie drei der nachfolgenden Aufgaben.
Aufgabe 16 Zeigen Sie, dass N (x + iy) = x2 + y 2 für x, y ∈ R einen Homomorphismus N : C∗ → R∗ der
multiplikativen Gruppen definiert.
Aufgabe 17 Die Abbildung z = x + iy 7→ z = x − iy ist ein bijektiver Homomorphismus der additiven und
der multiplikativen Gruppe von C.
Aufgabe 18 Zeige z 8 = 1 für die komplexe Zahl z =
1+i
√ .
2
Aufgabe 19 Zeige, dass die vier Vektoren
(1, 2, 3, 4)
(5, 6, 7, 8)
(9, 10, 11, 12)
(13, 14, 15, 16)
kein Erzeugendensystem des Vektorraums R4 definieren.
Abgabe: 19. November 2001, 14:00 – 14:15, Foyer der Zoologie
4
Übungsblatt 5
Behandeln Sie drei der nachfolgenden Aufgaben.
Aufgabe 20 Sei V 6= {0} ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und G = {w1 , .., wr } ein Erzeugendensystem von V .
Zeigen Sie: Ein minimal gewähltes Erzeugendensystem B ⊂ G ist eine Basis von V .
Aufgabe 21 Zeigen Sie die lineare Abhängigkeit der Vektoren
(2, 4, −1, 3), (3, 3, 1, −1), (1, 1, 1, 1), (2, 4, −3, −1)
explizit durch Lösen eines linearen Gleichungssystems.
Aufgabe 22 Jeder C-Vektorraum V kann als R-Vektorraum aufgefaßt werden. Beweisen Sie dimR (V ) =
2 · dimC (V ).
Aufgabe 23 Sei K ein endlicher Körper mit q Elementen. Im Vektorraum K 3 gibt es dann q 3 verschiedende
Vektoren und somit q 3 × q 3 × q 3 = q 9 Möglichkeiten 3 Vektoren auszuwählen. In wieviel Fällen sind die drei
Vektoren linear unabhängig? Hinweis: Benutze Prinzip I aus Paragraph 8 des Skripts.
Aufgabe 24 Warum bilden die Vektoren (1, 1) und (−1, 1) eine Basis des Vektorraums R2 . Gilt dies allgemeiner
für jeden Vektorraum K 2 ?
Aufgabe 25 Ist der R-Vektorraum aller reellwertigen Funktionen auf dem Intervall [0, 1] endlich dimensional?
Begründen Sie die Antwort.
Abgabe: 26. November 2001, 14:00 – 14:15, Foyer der Zoologie
5
Übungsblatt 6
Behandeln Sie drei der nachfolgenden Aufgaben.
Aufgabe 26 Warum sind folgende Abbildungen K-linear?
Pn
(a) K n 3 (x1 , ..., xn ) 7→ i=1 xi ∈ K.
(b) (x, y) 7→ (y, x) als Abbildung von K 2 nach K 2 .
Aufgabe 27 Eine Gerade im R2 ist eine Teilmenge der Gestalt {λ · v | λ ∈ R}; hierbei ist v 6= 0 ein fester
Vektor. Geben Sie eine mathematisch genaue Begründung für folgende Aussage: Ein Untervektorraum von R2
ist entweder R2 selbst oder {0} oder eine Gerade.
Aufgabe 28 Sei ϕ ein Endomorphismus eines K-Vektorraums V mit der Eigenschaft ϕ ◦ ϕ = idV . Sei 1 6= −1
in K und sei V+ = {v ∈ V | ϕ(v) = v} und sei V− = {v ∈ V | ϕ(v) = −v}.
Zeigen Sie: V+ und V− sind K-Untervektorräume von V und es gilt
V = V+ ⊕ V− .
Aufgabe 29 Sei K ein endlicher Körper mit q Elementen. Finden Sie eine Formel für die Anzahl der eindimensionalen bzw. zweidimensionalen Untervektorräume von K n .
Aufgabe 30 Die formalen Polynome f (X) vom Grad ≤ n mit Koeffizienten in K bilden einen endlich dimensionalen K-Vektorraum Πn auf natürliche Weise. Was ist dessen Dimension dimK (Πn )? Sei g(X) ein Polynom
in Πm . Zeigen Sie, daß die Abbildung
f (X) 7→ g(X) · f (X)
(Polynommultiplikation) eine K-lineare Abbildung ϕ von Πn nach Πn+m definiert. Was ist die Dimension von
Bild(ϕ)?
Aufgabe 31 Zeigen Sie für alle ϕ ∈ HomK (U, V ) und alle ψ ∈ HomK (V, W )
dimK ψ(V ) + dimK ϕ(U ) − dimK (V ) ≤ dimK (ψ ◦ ϕ)(U )
dimK (ψ ◦ ϕ)(U ) ≤ min dimK ϕ(U ) , dimK ψ(V )
.
Abgabe: 3. Dezember 2001, 14:00 – 14:15, Foyer der Zoologie
6
Übungsblatt 7
Behandeln Sie drei der nachfolgenden Aufgaben.
Aufgabe 32 Bestimmen Sie den Kern der linearen Abbildung ϕ : R3 → R3 , welche durch folgende Matrix
gegeben ist


3 1 2
5 −1 6 .
2 0 2
Aufgabe 33 Finden Sie die inverse Matrix der Matrix

1 1
0 1

0 0
0 0
1
1
1
0

1
1
 .
1
1
Hinweis: Die inverse Matrix hat wieder Dreiecksgestalt.
Aufgabe 34 Geben Sie eine geometrische Deutung der linearen Abbildungen, welche durch folgende Matrizen
gegeben sind
1 x
cos(α) sin(α)
,
.
0 1
− sin(α) cos(α)
Aufgabe 35 Finden Sie eine nicht verschwindende (2 × 2)–Matrix N mit der Eigenschaft
N2 = N · N = 0 .
Aufgabe 36 Was ist der Rang der Matrix

1
5

9
13

2
3
4
6
7
8
?
10 11 12
14 15 16
Aufgabe 37 Die formalen Polynome g(X) vom Grad ≤ m mit Koeffizienten in K bilden einen K-Vektorraum
Πm . Sei g(X) ein nichtverschwindendes Polynom in Πm vom genauen Grad m.
Zeigen Sie: Jedes Polynom f (X) vom Grad ≤ n + m schreibt sich eindeutig in der Form
f (X) = g(X) · h(X) + r(X)
mit einem Polynom h(X) ∈ Πn und einem Rest r(X) ∈ Πm−1 (bzw. r(X) = 0 falls m = 0) schreiben.
Hinweis: Betrachten Sie die Abbildung ϕ : Πn → Πn+m definiert durch
f (X) 7→ g(X) · f (X)
(Polynommultiplikation). Was ist ϕ(Πn ) ∩ Πm−1 ? Benutzen Sie die Dimensionsformel.
Abgabe: 10. Dezember 2001, 14:00 – 14:15, Foyer der Zoologie
7
Übungsblatt 8
Behandeln Sie drei der nachfolgenden Aufgaben.
Aufgabe 38 Für jede Permutation σ ∈ Sn definiert
 


xσ(1)
x1 

 
ϕ  ...  =  ... 
xn
xσ(n)
eine K-lineare Abbildung ϕ : K n → K n . Warum?
Wie sieht die zugehörige Matrix Mσ aus?
Zeige Mσ · Mτ = Mτ ◦σ und folgere Mσ ∈ Gl(n, K).
Aufgabe 39 Finden sie für alle n ∈ Z eine Formel für
n
1 1
.
0 −1
Aufgabe 40 Zeige folgende Rechenregel für transponierte Matrizen:
(A · B)0 = B 0 · A0 .
Aufgabe 41 Die Spur Spur(A) einer quadratischen Matrix A ∈ Mn,n (K) ist definiert als
Spur(A) =
n
X
Aii .
i=1
Zeige für alle A, B aus Mn,n (K) die Gleichung Spur(A · B) = Spur(B · A).
Aufgabe 42 Eine Matrix A ∈ Mn,n (K), welche mit allen Matrizen B aus Gl(n, K) vertauscht
A·B =B·A
ist notwendigerweise ein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix. Die Umkehrung gilt auch. Zeige diese Aussagen.
Aufgabe 43 Sei K ein endlicher Körper mit q Elementen. Wieviele Elemente besitzt die Gruppe Gl(n, K)?
Abgabe: 17. Dezember 2001, 14:00 – 14:15, Foyer der Zoologie
8
Übungsblatt 9
Behandeln Sie drei der nachfolgenden Aufgaben.
Aufgabe 44 Sei A ∈ Mn,n (R) die Matrix mit den Einträgen ai,i = 2 für i = 1, .., n und ai,i−1 = ai−1,i = 1
für i = 2, .., n und den sonstigen Einträgen gleich Null. Bestimmen Sie den Rang von A.
Aufgabe 45 Seien x1 , .., xn Elemente eines Körpers K. Bestimmen Sie den Rang der quadratischen Matrix


1
x1
x21
. . . xn−1
1
1

. . . xn−1
x2
x22
2


 ..
..
..
.
.
..
.. 
.

.
.


.

.
.
.
.
..
..
..
.. 
 ..


1 xn−1 x2

... xn−1
n−1
n−1
2
n−1
1
xn
xn
... xn
Hinweis: Benutzen Sie Induktion nach n.
Aufgabe 46 Zeigen Sie, daß eine Matrix A ∈ M2,2 (K) mit den Einträgen
a b
A=
c d
genau dann invertierbar ist, wenn gilt ad − bc 6= 0.
Aufgabe 47 Sei F2 der Körper mit zwei Elementen. Zeigen Sie die Existenz eines bijektiven Gruppenhomomorphismus
ψ : Gl(2, F2 ) −→ S3 .
Hinweis: Betrachte F22 \ {(0, 0)}.
Aufgabe 48 Sei P : V → V ein Endomorphismus mit der Eigenschaft P ◦ P = P . Zeige
V = Kern(P ) ⊕ Bild(P ) .
Aufgabe 49 Was ist die Determinante der Matrix


−1 5
2
7
1 −1 ?
−2 −1 1
Abgabe: 7. Januar 2002, 14:00 – 14:15, Foyer der Zoologie
9
Übungsblatt 10
Behandeln Sie drei der nachfolgenden Aufgaben.
Aufgabe 50 Was ist die inverse Matrix einer invertierbaren Matrix M =
a b
?
c d
Aufgabe 51 Sei q+ : R2 → R die quadratische Form
q+ (v) = x2 + y 2
,
v=
x
.
y
Welche Bedingungen sind notwendig und hinreichend für eine Matrix M in Gl(2, R) bzw. in Sl(2, R), damit
für alle v ∈ R2 gilt q+ (M (v)) = q+ (v) ?
Aufgabe 52 (Für Physiker) Sei q− : R2 → R die quadratische Form
x
2
2
q± (v) = x − t , v =
.
t
Welche Bedingungen sind notwendig und hinreichend für eine Matrix M in Gl(2, R) bzw. in Sl(2, R), damit
für alle v ∈ R2 gilt q− (M (v)) = q− (v) ?
Aufgabe 53 (Für Physiker) Sei H eine 2 × 2 Matrix mit komplexen Einträgen. Dann bezeichne H die Matrix
mit den komplex konjugierten Einträgen. Zeige (H)0 = (H 0 ). Zeige weiterhin die Gleichheit folgender Mengen
x + t y + iz
0
{ H ∈ M2,2 (C) | (H) = H }
und
H=
| x, y, z, t ∈ R
.
y − iz x − t
Zeige: Die so definierte Menge H von Matrizen definiert einen zu R4 isomorphen Vektorraum. Zeige H ∈
0
H ⇐⇒ M HM ∈ H (falls M ∈ Gl(2, C)). Zeige
t + x y + iz
− det(H) = x2 + y 2 + z 2 − t2
für
H=
.
y − iz t − x
Aufgabe 54 (Für Physiker) Die Lorentzgruppe L ist die Gruppe aller Automorphismen M ∈ Gl(4, R) von
R4 mit der Eigenschaft q(M (v)) = q(v) , ∀v ∈ R4 . Hierbei ist
 
x
y 
2
2
2
2

q(v) = x + y + z − t , v = 
z  .
t
Zeige die Existenz eines Gruppenhomomorphismus
ϕ : Sl(2, C) → L
mit Kern(ϕ) = {±E}. Ist ϕ surjektiv?
Abgabe: 14. Januar 2002, 14:00 – 14:15, Foyer der Zoologie
10
Übungsblatt 11
Behandeln Sie drei der nachfolgenden Aufgaben.
Aufgabe 55 Sei
A B
M=
0 D
eine Blockdreiecksmatrix mit A ∈ Mi,i (K), D ∈ Mj,j (K), B ∈ Mi,j (K) und der Nullmatrix 0 ∈ Mj,i (K).
Zeige det(M ) = det(A) · det(D).
Aufgabe 56 Sei
χM (x) = xn − a1 · xn−1 + ... + an
das charakteristische Polynom einer Matrix M ∈ Mn,n (K). Zeige a1 = Sp(M ) und an = (−1)n det(M ).
Aufgabe 57 Sei M ∈ Mn,n (K), n ≥ 2 eine Matrix mit dem Eintrag x ∈ K in der Hauptdiagonale und den Einträgen 1 in den beiden Nebendiagonalen. Alle weiteren Matrixeinträge seien Null. Sei d(x, n) die Determinante
dieser Matrix sowie d(x, 1) = x und d(x, 0) = 1.
Zeige d(x, n) = x · d(x, n − 1) − d(x, n − 2). Was ist d(2, n)?
Aufgabe 58 Berechne die Eigenvektoren der Matrix


−1 0 0
 0 1 0 .
3 0 2
Aufgabe 59 Sei M ∈ Mn,n (R) die Matrix mit dem Eintrag x auf der Diagonale und dem Eintrag 1 an allen
Stellen außerhalb der Diagonale. Sei fn (x) die Determinante dieser Matrix.
Zeigen Sie die Rekursionsformel (n ∈ N, n ≥ 2)
fn (x) = x · fn−1 (x) − (n − 1)(x − 1)n−2 .
Aufgabe 60 Berechne die Determinante der Matrix


4 2 −1 −2
 2 1 0 −1


 3 3 −2 −2 .
−1 1 −1 6
Abgabe: 21. Januar 2002, 14:00 – 14:15, Foyer der Zoologie
11
Übungsblatt 12
Behandeln Sie drei der nachfolgenden Aufgaben.
Aufgabe 61 Zeige
A1
C1
B1
D1
A2
C2
B2
A1 A2 + B1 C2
=
D2
C1 A2 + D1 C2
A1 B2 + B1 D2
C1 B2 + D1 D2
für Blockmatrizen mit A1 , A2 ∈ Mi,i (K), B1 , B2 ∈ Mi,j (K), C1 , C2 ∈ Mj,i (K) und D1 , D2 ∈ Mj,j (K).
Aufgabe 62 Sei M eine Matrix in Mn,n (K) mit n paarweise verschiedenen Eigenwerten λ1 , ..., λn . Zeige, daß
die Eigenräume V (λi ) = Kern(λi · E − M ) von M alle eindimensional sind.
Aufgabe 63 Seien X und Y Endomorphismen eines K-Vektorraums V . Setze [X, Y ] = X · Y − Y · X. Zeige
[X, Y ] + [Y, X] = 0
[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0
und
für alle Endomorphismen X, Y und Z von V .
Aufgabe 64 Sei f : Mn,n (K) → K eine K-lineare Abbildung. Zeige: Die Funktion
B(X, Y ) = f (X · Y )
definiert eine K-Bilinearform auf V = Mn,n (K). Diese Bilinearform ist symmetrisch dann und nur dann, wenn
f ein skalares Vielfaches der Spurabbildung ist.
Hinweis: Studiere zunächst den Fall n = 2. Betrachte dann den Kern von f . Reduziere auf den Fall n = 2.
Zeige dazu daß f und Spur denselben Kern haben müssen.
Aufgabe 65 Zeige für die Bilinearform B(X, Y ) = Spur(X · Y ) auf V = Mn,n (K) die Eigenschaft
B([X, Y ], Z) = B(X, [Y, Z]) .
Hierbei sei [X, Y ] = XY − Y X.
Aufgabe 66 Sei K = R oder C. Sei ~ eine Zahl aus K und seien X und Y Endomorphismen eines KVektorraums V mit der Eigenschaft
[X, Y ] = ~ · idV .
Zeige ~ = 0 im Fall dimK (V ) < ∞. Hierbei sei [X, Y ] = XY − Y X.
Abgabe: 28. Januar 2002, 14:00 – 14:15, Foyer der Zoologie
12
Übungsblatt 13
Behandeln Sie drei der nachfolgenden Aufgaben.
Aufgabe 67 Ein homogenes lineares Gleichungssystem in n Unbekannten mit m Gleichungen hat im Fall
n > m immer eine von Null verschiedene Lösung.
Aufgabe 68 Finde eine reelle Matrix T mit der Eigenschaft
0 1
a1 0
0
T·
·T =
1 0
0 a2
,
a1 , a2 ∈ R .
Aufgabe 69 Sei S = S 0 ∈ Mn,n (R) und T ∈ Mn,n (R) mit T ST 0 = E. Zeige
< x, x >S = x0 · S · x > 0
für alle x 6= 0 aus Rn .
Aufgabe 70 Sei 12 ∈ K und < v, w > eine symmetrische Bilinearform auf einem K-Vektorraum V . Für v ∈ V
mit < v, v >6= 0 definiert
sv (x) = x − 2
< v, x >
·v
< v, v >
eine Abbildung sv : V → V . Zeige < sv (x), sv (x) >=< x, x > für alle x ∈ V . Was ist s2v ? Gebe eine
geometrische Deutung von sv .
Aufgabe 71 Für < v, w > wie in Aufgabe 70 seien x und y zwei Vektoren aus V mit < x, x > = < y, y >.
Zeige sv (x) = ±y für v = 21 (x ∓ y), falls < v, v >6= 0.
Aufgabe 72 Zeige |M11 | ≥ 1 für den ersten Eintrag einer Matrix M ∈ M4,4 (R) aus der orthogonalen Gruppe
O(1, 3)(R), d.h. mit der Eigenschaft
M 0 · diag(1, −1, −1, −1) · M = diag(1, −1, −1, −1) .
Zeige: Die Matrizen in O(1, 3)(R) mit M11 ≥ 1 bilden eine Untergruppe.
Hinweis: Benutze (ohne Beweis) die Schwarzsche Ungleichung
p
p
|xx̃ + y ỹ + z z̃| ≤ + x2 + y 2 + z 2 · + x̃2 + ỹ 2 + z̃ 2 .
Zusatz: Ist ε(M ) das Vorzeichen von M11 , dann definiert M 7→ ε(M ) einen Gruppenhomorphismus ε :
O(1, 3)(R) → {±1}. Was ist ε(−E)?
Aufgabe 73 (∗ ) Sei V = R4 und S = diag(1, −1, −1, −1) und < v, w >= v 0 · S · w. Sei ε definiert wie im
Zusatz von Aufgabe 72 und sei weiterhin sv definiert wie in Aufgabe 70. Zeige dann, daß ε(sv ) das Vorzeichen
von − < v, v > ist.
Abgabe: 4. Februar 2002, 14:00 – 14:15, Foyer der Zoologie
13
Klausur LA I, 09.02.2002
Die Klausur hatte zwei Teile:
• Definitionen: Jede vollständige Definition von den neun verlangten Definitionen wurde mit 2 Punkten
bewertet.
• Aufgaben: Jede vollständig gelöste Aufgabe unter den zwölf Aufgaben wurde mit 4 Punkten bewertet.
Zum bestehen der Klausur waren 26 Punkte notwendig und hinreichend.
Definitionen
Definieren Sie kurz aber genau: Was ist:
• ein Erzeugendensystem eines Vektorraums,
• eine Basis eines Vektorraums,
• eine Bilinearform B : V × V → K,
• eine K–lineare Abbildung f : V → V ,
• ein Endomorphismus von V ,
• die orthogonale Gruppe einer symetrischen Matrix S,
• eine Determinantenfunktion D : V × V × · · · × V → K,
• der Rang einer Matrix,
• der Kern einer linearen Abbildung
?
Aufgaben
Aufgabe 1 Bestimmen Sie die Eigenwerte und die Eigenvektoren der Matrix
0 1
.
1 0
Aufgabe 2 Was ist der Rang der Matrix

1
1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

1
1
?
1
1
Aufgabe 3 Was ist der Sylvester–Typ der reellen symmetrischen Matrix


1 2 1
2 4 0  ?
1 0 −1
Aufgabe 4 Was ist sign(τ ) für die Permutation
τ = ( 1 2 3 ... n − 1 n ) ,
welche 1 auf 2, 2 auf 3, . . . , n − 1 auf n und n auf 1 abbildet ?
14
Aufgabe 5 Korrigieren Sie die folgende “Formel”:


n
X
Y
 sign(σ) ·
det(M ) =
Mσ(i)j  .
j=1
σ∈Sm
Aufgabe 6 Was ist die Determinante der Matrix:

0 0
1 0

0 1

 ..
. . . .


0 0

0 0
0
0
0
..
.
...
...
...
..
.
0
..
.
0
..
.

1
0

0

.. 
?
.


0 0

1 0
0
0
0
..
.
Das heißt M ij = 1 für i = j + 1 und für (i, j) = (1, n) und M ij = 0 sonst.
Aufgabe 7 Zeige (X · Y )0 = Y 0 · X 0 für Marizen X, Y .
Aufgabe 8 Was ist das Volumen des Spats in R3 , welcher von den Vektoren
   
 
1
2
1
1 ,  1  und  1 
1
−1
−1
aufgespannt wird?
Aufgabe 9 Löse das Gleichungssystem

 10x + 7y
5x + 3y

2x + y
+
+
+
10z
4z
z
= u
= v
= w
Warum sind für ganzzahlige u, v, w die Koordinaten des Lösungsvektors (x, y, z) ganzzahlig ?
Aufgabe 10 Warum ist jede Permutation eine Komposition von Transpositionen ?
Aufgabe 11 Warum bilden n linear unabhängige Vektoren des Rn automatisch ein Erzeugendensystem des
Rn ?
Aufgabe 12 Wann existiert ein Inverses für die Matrix
a b
c d
und wie sieht die inverse Matrix im Falle deren Existenz aus ?
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