Hans Walser, [20130725], [20130728] DIN, Dreieck und Sechseck

Hans Walser, [20130725], [20130728]
DIN, Dreieck und Sechseck
Anregung: H. K. S., L.
1 Im DIN-Raster
In einen DIN-Raster zeichnen wir ein regelmäßiges Dreieck und ein regelmäßiges
Sechseck gemäß Abbildung 1.
Abb. 1: Im DIN-Raster
Das Dreieck und das Sechseck sind flächengleich.
2 Rechnerischer Beweis
Ein regelmäßiges Dreieck mit dem Umkreisradius 2 und ein regelmäßiges Sechseck mit
dem Umkreisradius 2 haben beide den Flächeninhalt 3 3 .
Hans Walser: DIN, Dreieck und Sechseck
3 Zerlegungsgleichheit
Die Abbildungen 2 und 3 zeigen eine Zerlegungsgleichheit in zwei Schritten.
Erster Schritt: Umformung der äußeren Dreiecke und Trapeze in Parallelogramme.
Abb. 2: Parallelogramme
Zweiter Schritt: Gemeinsame Zerlegungen der Parallelogramme.
Abb.3: Zerlegung
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4 Faltgeometrie
Ausgehend von je einem DIN A4-Papier können wir das rote Dreieck und das blaue
Sechseck auch mit Faltgeometrie herstellen. Zunächst falten wir den Raster (Abb. 4).
Die Präzision wir größer, wenn wir nicht zu viele Papierlagen übereinander falten.
Abb. 4: Falten des Rasters
Für das Dreieck falten wir nun von links her ein gemäß Abbildung 5.
Abb. 5: Erster Faltschritt für das Dreieck
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Dieser Schritt ist entscheidend. Es entsteht oben in der Blattmitte ein Winkel von 60°.
Wir können und von rechts her auch einfalten und schließlich von unten her auf die unterste Faltlinie einfalten. Vorstehende Teile verstauen wir. Die Abbildung 6 zeigt das
Faltdreieck.
Abb. 6: Faltdreieck
Für das Sechseck falten wir zunächst auf das Viertel rechts unten und fügen eine zusätzliche Faltlinie ein (Abb. 7).
Abb. 7: Vorbereitung für das Sechseck
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Nun geht es im Prinzip weiter wie in der Abbildung 5 mit dem Dreieck (Abb. 8). Pedanten mögen nachprüfen, ob die grau-weiß-Färbung des DIN-Rasters korrekt wiedergegeben ist. Eine schöne Übung im räumlichen Vorstellungsvermögen.
Abb. 8: Zwischenschritt für das Sechseck
Vollständiges Auffalten liefert die Figur der Abbildung 9.
Abb. 9: Auffalten
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Es fehlen noch der obere und der untere Abschluss des Sechseckes. Dazu falten wir
zunächst die Mittelparallelen der schrägen Faltlinien (Abb. 10). Der Rest ist dann klar.
Abb. 10: Kontur des Sechsecks
Die Abbildung 11 zeigt das Faltsechseck.
Abb. 11: Faltsechseck
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Das Dreieck und das Sechseck (Abb. 12) sind flächengleich.
Abb. 12: Flächengleiche Figuren
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