Blatt 04 - Fachbereich Mathematik

Fachbereich
Mathematik
Prof. Dr. Jörg Teschner,
PD Dr. Ralf Holtkamp
Übungsaufgaben Mathematik II für Studierende der Physik:
Blatt 4 zur Abgabe am 10.5.2016 (in den Übungen).
Die Lösungen der folgenden Aufgaben sind schriftlich auszuarbeiten und handschriftlich
abzugeben. Sie können für dieses Blatt zu zweit zusammenarbeiten und Lösungen abgeben. Dabei müssen allerdings beide, die zusammen abgeben, derselben Übungsgruppe
angehören, und jeder Abgabepartner sollte erkenntlich pro Blatt mindestens eine Aufgabenlösung aufgeschrieben haben.
Aufgabe 1: (2+1,5+0,5 Punkte)
(a) Es sei h·, ·i : Rn × Rn → R ein (Euklidisches) Skalarprodukt auf Rn . Seien nun
z = x + iy und w = u + iv mit x, y, u, v ∈ Rn . Beweisen Sie, dass durch
hz, wiH = hx + iy, u + iviH := hx, ui + hy, vi − i (hx, vi − hy, ui)
ein (Hermitesches) Skalarprodukt auf Cn definiert wird.
(b) Es sei V ein komplexer Vektorraum und h·, ·i : V × V → C ein (Hermitesches) Skalarprodukt auf V . Wir fassen V im Folgenden als R-Vektorraum auf. Beweisen Sie,
dass (z, w) := Re hz, wi ein (Euklidisches) Skalarprodukt auf V definiert.
Pn
Anmerkung: Sei hx,
yi
=
k=1 xk yk das (Euklidische) Standardskalarprodukt auf
R
Pn
n
R und hz, wiC = k=1 zk wk das (Hermitesche) Standardskalarprodukt auf Cn . Man
kann beweisen, dass h·, ·iH
R = h·, ·iC gilt.
(c) Beweisen oder widerlegen Sie außerdem die folgende Aussage über die Skalarprodukte (·, ·) und h·, ·i aus Aufgabenteil b): Für z, w ∈ V gilt:
(z, w) = 0
⇐⇒
hz, wi = 0.
Aufgabe 2: (2+3 Punkte)
(a) Betrachten Sie R2 zusammen mit dem kanonischen Skalarprodukt h·, ·i sowie die
symmetrische Bilinearform β gegeben durch
√ 2
−
2
√
β(u, v) := hu,
vi, ∀ u, v ∈ R2 .
− 2
3
Bestimmen Sie für β die Normalform im Sinne des Trägheitssatzes von Sylvester,
d.h. bestimmen Sie die Zahlen r+ , r− und r0 und eine orthogonale Basis bezüglich
der die darstellende Matrix diese Normalform hat.
(b) Betrachten Sie R4 zusammen mit dem kanonischen Skalarprodukt h·, ·i sowie die
symmetrische Bilinearform β gegeben durch


0
3
1 −2
 3
0 −2 1 
 vi, ∀ u, v ∈ R4
β(u, v) := hu, 
 1 −2 0
3 
−2 1
3
0
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Bestimmen Sie wie in (a) die Zahlen r+ , r− und r0 (aber keine zugehörige Basis).
Hinweis: Um einen der Eigenwerte zu finden, beachten Sie, dass die Zeilensummen
der Matrix gleich sind.
Aufgabe 3: (2 Punkte)
Betrachten Sie den C-Vektorraum
∞
n
o
X
`2 = `2 (N, C) = (an )n∈N | an ∈ C,
|an |2 < ∞
n=0
der quadratsummierbaren komplexen Folgen und die Abbildung
2
2
β : ` × ` → C,
β((an )n∈N , (bn )n∈N ) =
∞
X
an b n .
n=0
Zeigen Sie, dass die Abbildung β ein Hermitesches Skalarprodukt auf `2 (C) definiert.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass die Abbildung β wohldefiniert ist. Nutzen Sie hierzu
die Ungleichung |ab| ≤ 21 (|a|2 + |b|2 ) für a, b ∈ C um zu zeigen, dass die durch β definierte
Reihe absolut konvergiert.
Aufgabe 4: (keine Abgabe)
Berechnen Sie die Eigenwerte der folgenden symmetrischen Matrix


5 −2 0 −1
−2 5 −1 0 

A := 
 0 −1 5 −2 ,
−1 0 −2 5
und berechnen Sie eine Orthonormalbasis des R4 , bestehend aus Eigenvektoren von A. Sei
S die Matrix mit diesen Eigenvektoren als Spalten. Überprüfen Sie durch Nachrechnen,
dass S t AS eine Diagonalmatrix mit den von Ihnen gefundenen Eigenwerten ist.
Hinweis: Betrachten Sie die Zeilensummen und die alternierenden Zeilensummen der Matrix.
Anmerkung: Trägheitstensoren von starren Körpern werden durch symmetrische Matrizen
mit nur positiven Eigenwerten beschrieben.
2