0.1 Wiederholung - Daniel Roggenkamp

Prof. Dr. Daniel Roggenkamp, Sven Balnojan
LA IIa
February 23, 2017
Große Übung 2
(gehalten von F. Gauss)
0.1
Wiederholung
0.1.1
Trägheitssatz von Sylvester
(V, ) Vektorraum =) 9 OB =) 9 MatA ( ), die Diagonalgestalt hat.
Diagonale Matrix =) Eigenwerte stehen auf Diagonalen.
Neue OB = alte OB·r 2 R =) neue Eigenwerte = alte EWs ·a2 .
Beispiel: A = (e1 , e2 ),
0
Std. skalarprodukt und A = (2e1 , 2e2 ). Dann ist
MatA0 ( ) = 4 · MatA ( ).
(Wir multiplizieren, egal wie wir uns Basis verändern, strecken, stauchen, nur mit positiven Zahlen, da
der Faktor quadratisch ist. Die Anzahl an positiven und negativen Eigenwerten, im Beispiel, bleibt also
gleich).
=) Trägheitssatz von Sylvester besagt, dass ist generell der Fall, egal zu welcher Basis wir übergehen
und mit welchem Skalarprodukt wir starten.
In Formeln:
•
mit B t = B, dann lassen sich B,
• (n+ , n0 , n ) oder n+
• V = V0
0.1.2
V
n
diagonalisieren;
hängt nur von , nicht von der Basis ab.
V+
Unitäre Vektorräume
(V, ) heisst unitär, wenn V über C definiert ist, und eine hermitesche positiv definite Form ist.
ist hermitesch () H ⇤ = H (wenn H reell ist, () H symmetrisch)
is positiv definit () Die Diagonalgestalt hat nur positive Einträge () n+ = n.
Gram-Schmidt funktioniert und impliziert 9P mit P ⇤ HP = Idn .
Aufgabe 1.
V = R3 ,
Trägheitssatz von Sylvester
: R3 ⇥ R3 ! R definiert durch
0
Diagonalisiere B.
Was sind die Eigenwerte?
Was ist die Signatur n
n+ ?
Antworten:
0
4
B=@ 0
0
n
n+ = 1
1, n0 = 1.
2
B=@ 2
0
2
2
0
1
0
0 A
3
Was ist n0 ?
0
0
0
1
0
0 A =: diag(4, 0, 3) (Kurzschreibweise)
3
Betrachte die Matrix
1
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LA IIa
0
und diagonalisiere sie.
Antwort:
3
B 2
B̃ = B
@ 2
3
2
1
1
2
B̃ ! diag( 1, 1, 1, 3)
Aufgabe 2.
February 23, 2017
2
1
0
2
1
3
2 C
C
2 A
0
n+ = 1, n0 = 0, n = 3
unitäre Vektorräume
Betrachte
B=
✓
3
1
i
1+i
4
◆
zeige das dies ein Skalarprodukt auf C2 definiert; Das also (C2 , ) ein unitärer Vektorraum ist und
diagonalisiere B.
Antwort: Die Matrix B is hermitesch; die Diagonalform ist diag(2, 5). Die Matrix ist also positiv definit
und damit auch . Somit ist (C2 , ) ein unitärer Vektorraum.
2