Ferienkurs Lineare Algebra 1 Bilinearformen, euklidische und

Technische Universität München
Ferienkurs Lineare Algebra 1
Bilinearformen, euklidische und unitäre
Vektorräume, normale Endomorphismen
25. März 2011
Kathrin Ganzhorn
1
Bilinearformen
Definition 1.1: Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Eine Abbildung V 2 Ñ
K, die in jeder Komponente linear ist, heisst Bilinearform.
1.1
Matrixdarstellung
Definition 1.1.1: Es seien K ein Körper, n P N, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum,
B “ pb1 , ..., bn q eine geordnete Basis von V und ϕ : V ˆ V Ñ K; px, yq ÞÑ ϕpx, yq
eine Bilinearform. Die Matrix
GB pϕq :“ pϕpbi , bj qq1
(1)
ď i, j, ďn
heisst Grammatrix (auch Formmatrix oder Strukturmatrix) von ϕ.
ϕ ist nämlich eindeutig durch die Bilder der Basisvektoren festgelegt: für 2 beliebige
Vektoren v, w P V
ϕpv, wq “ ϕp
n
ÿ
i“1
vi bi ,
n
ÿ
wj b j q “
j“1
n
ÿ
i“1
vi
n
ÿ
wj aij
(2)
j“1
mit aij den Bildern der Basisvektoren unter ϕ.
Man kann also schreiben:
ϕpv, wq “t pv{B q ¨ GB pϕq ¨ w{B
1
(3)
Ausserdem gilt: Für jede Matrix A P K nˆn ist pv, wq ÞÑt pv{B q ¨ A ¨ w{B eine Bilinearform des K n .
Beispiel 1.1.2: Mit A “ 1n in Rn ergibt sich das Standardskalarprodukt (auch
kanonisches reelles Skalarprodukt):
t
vAw “t v 1n w “ v1 w1 ` ... ` vn wn
(4)
Das Standardskalarprodukt ist eine Bilinearform.
Satz 1.1.3: Eine Bilinearform ϕ eines K-Vektorraumes V heisst nicht ausgeartet,
wenn für festes v P V gilt
ϕpv, wq “ 0 f ur
: alle w P V ñ v “ 0
(5)
Es seien K ein Körper, n P N, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, B “ pb1 , ..., bn q
eine geordnete Basis von V und ϕ : V ˆ V Ñ K; px, yq ÞÑ ϕpx, yq eine Bilinearform.
Dann gilt
RangGB pϕq “ n ô ϕ nicht ausgeartet
1.2
(6)
Basiswechsel
Definition und Satz 1.2.1: Zwei Matrizen A, B P K nˆn heissen kongruent, wenn
es ein invertierbares T P K nˆn mit A “t T ¨ B ¨ T gibt.
Die Kongruenz zweier Matrizen ist eine Äquivalenzrelation.
Bemerkungen 1.2.2: Ist T eine invertierbare Matrix, so kann man diese als Produkt von Elementarmatrizen schreiben.
Man kann eine gegebene Matrix auf eine einfachere aber kongruente Form bringen:
pA|1n q Ñ pA1 |T q ñ A1 “t T ¨ A ¨ T
1.3
(7)
Quadratische Formen
Satz 1.3.1: Eine Bilinearform (wie oben definiert) heisst symmetrisch wenn gilt
ϕpu, vq “ ϕpv, uq @v, u P V
2
(8)
Ausserdem ist ϕ symmetrisch genau dann, wenn GB bezüglich einer beliebigen Basis
von V symmetrisch ist, also
ϕ symmetrisch ô GB pϕq “t pGB pϕqq
(9)
Definition 1.3.2: Ist ϕ eine symmetrische Bilinearform (wie oben definiert), so ist
qϕ : V Ñ K, v ÞÑ ϕpv, vq die zu ϕ gehörige quadratische Form.
Bemerkung 1.3.3:
qϕ pµvq “ µ2 qϕ pvq
(10)
qϕ pu ` vq “ qϕ pvq ` qϕ puq ` 2ϕpu, vq
(11)
Daraus folgt:
1
ϕpu, vq “ pqϕ pu ` vq ´ qϕ pvq ´ qϕ puqq
2
ist die zu q gehörige symmetrische Bilinearform.
(12)
Ist V endlichdimensional und A “ paij q “ GB pϕq die zu ϕ gehörige symmetrische
Formmatrix bezüglich einer festen Basis B von V , so ist
qpvq “t vAv “
n
ÿ
ÿ
aii vi2 `
i“1
2aij vi vj
(13)
1ďiăjďn
Dies ergibt ein Polynom in mehreren Variablen mit Termen der Form av1i1 v2i2 ...vrir ,
mit a P K, r P N, ij P N0 für j “ 1, ..., r und Unbestimmten v1 , ...vr . Hier sind
alle Terme vom gleichen Grad (2), man nennt dies also homogenes Polynom vom
Grad 2 oder quadratisches Polynom. Es lässt sich in t vAv umschreiben, wobei die
reinquadratischen Terme die Diagonaleinträge aii der Formmatrix ergeben, und die
gemischten Terme von den aij bzw aji jeweils zur Hälfte übernommen werden.
Trägheitssatz von Sylvester: Es seien K “ R und ϕ eine symmetrische Bilinearform des n-dim R-Vektorraums V. Dann existiert eine Basis B mit
¨
˛
1n` 0
0
˚
‹
GB pϕq “ ˝ 0 1n´ 0 ‚
0
0
(14)
0n0
Dabei seien 1n` bzw. 1n´ Einheitsmatrizen der Grösse n+ bzw. n- und 0n0 eine
n0 ˆn0 -Nullmatrix. Die restlichen Nullen bezeichnen Nullmatrizen passender Grösse.
Die Zahlen n`, n´, n0 P N (n` ` n´ ` n0 “ n) sind durch die Bilinearform eindeutig
bestimmt.
3
1.4
Definitheit
Definition 1.4.1: Eine symmetrische Bilinearform ϕ in einem reellen Vektorraum
V (nicht zwingend endlichdimensional) heisst positiv definit, wenn gilt ϕpv, vq ą
0@v P V \t0u : Analog heisst ϕ positiv semidefinit, wenn gilt ϕpv, vq ě 0@v P V ;
negativ definit, wenn ϕpv, vq ă 0@v P V \t0u und negativ semidefinit,wenn ϕpv, vq ď
0@v P V . Hat ϕ keine diese Eigenschaften, d.h. gibt es v P V mit ϕpv, vq ą 0 und
w P V mit ϕpw, wq ă 0, so heisst ϕ indefinit.
Satz 1.4.2: Jede reelle symmetrische nˆn-Matrix besitzt n reelle Eigenwerte. (Müssen nicht notwendig verschieden sein, werden anhand ihrer Vielfachheit gezählt).
Satz 1.4.3: Sei A aus Rn symmetrisch, dann besitzt das charakteristische Polyř
nom χA pλq “ ni“0 αi λi nur reelle Koeffizienten und reelle Nullstellen (also reelle
Eigenwerte λ1 , ..., λn ).
A ist genau dann positiv definit, wenn eines der folgenden Kriterien erfüllt ist:
• λ1 , ..., λn ą 0
• p´1qj αj ą 0 für j “ 0, ...n ´ 1
• Hurwitzkriterium: detpAk q ą 0 für k=1,...n, wobei Ak die Teilmatrix von A
ist, die aus den ersten k Spalten und Zeilen besteht. Die Determinante muss
also für alle Teilmatrizen positiv sein.
Bemerkungen 1.4.4: Nur mit dem 1. Kriterium kann mit Übergang von > zu ě
auf positive Semidefinitheit geschlossen werden.
Eine Matrix A ist negativ definit, wenn -A positiv definit ist.
2
Euklidische Vektorräume
Definition 2.1: Skalarprodukt Es seien V ein R-Vektorraum und ϕ : V ˆ V Ñ R
eine positiv definite symmetrische Bilinearform. Dann heisst ϕ Skalarprodukt auf V
und V Euklidischer Vektorraum. Man schreibt dann auch xx|yy statt ϕpx, yq (oder
auch x ¨ y). Um zu betonen, dass man einen Euklidischen Vektorraum hat, schreibt
man auch pV, ϕq bzw. pV, x | yq.
Beispiel 2.2: Das bereits bekannte Standardskalarprodukt.
4
Definition 2.3: Norm Es sei pV, x | yq ein Euklidischer Vektorraum. Die Abbildung
a
} } : V Ñ R, x ÞÑ xx|xy heisst die zu x | y gehörige Norm von V (auch Betrag oder
Länge).
Beispiel 2.4: Euklidische Länge:
b
a
}x} “ xx|xy “ x21 ` x22 ` ... ` x2n
(15)
Satz 2.5: Cauchy-Schwarz-Ungleichung pV, x | yq Vektorraum, x, y P V . Dann
gilt
|xx|yy| ď }x} ¨ }y}
(16)
Die Gleichheit gilt, wenn die beiden Vektoren linear abhängig sind. Dies lässt sich
leicht am Beispiel des Standardskalarprodukts nachrechnen.
Satz 2.6: Kriterien für die Norm: Es sei pV, x | yq ein Euklidischer Vektorraum,
} } die zu x | y gehörige Norm. Dann gilt:
1. }x} ě 0 @x P V, }x} “ 0 ô x “ 0 (positive Definitheit)
2. }λ ¨ x} “ λ ¨ }x} @x P V, λ P R (Linearität)
3. }x ` y} ď }x} ` }y} (Dreiecksungleichung)
Bemerkung: Es gibt auch Normen, die nicht durch ein Skalarprodukt definiert werden können.
Definition 2.7: Metrik: Es sei pV, x | yq ein Euklidischer Vektorraum. Die Abbildung d : V ˆ V Ñ R, px, yq ÞÑ }x ´ y} heisst die zu x | y gehörige Metrik von
V.
Satz 2.8: Kriterien zur Metrik: Es sei pV, x | yq ein Euklidischer Vektorraum und
d die zu x | y gehörige Metrik. Dann gilt:
1. dpP, Qq ě 0, dpP, Qq “ 0 ô P “ Q (positive Definitheit)
2. dpP, Qq “ dpQ, P q (symmetrisch)
3. dpP, Qq ď dpP, Rq ` dpR, Qq (Dreiecksungleichung)
wobei P,Q und R Punkte aus V sind.
Auch hier gibt es Metriken, die sich nicht durch eine Norm definieren lassen, diese
werden in der linearen Algebra jedoch meistens nicht betrachtet.
5
Definition 2.9: Winkel: Der Winkel zwischen 2 vom Nullvektor verschiedenen
Vektoren ist gegeben ducrh:
?px, yq :“ arccos
xx|yy
}x} }y}
(17)
Definition 2.10: Es sei pV, x | yq ein Euklidischer Vektorraum, 2 Vektoren x, y P V
heissen orthogonal bzgl x | y, wenn xx|yy=0.
Sind v1 , ..., vm P V \t0u so heisst tv1 , ..., vm u ein Orthogonalsystem, falls xvi |vj y “ 0
für beliebige i ‰ j mit 1 ď i, j ď m.
Ist zusätzlich xvi |vi y “ 1 für 1 ď i ď m, so spricht man von einem Orthonormalsystem. Mit Hilfe des Kronecker-Symbols kann man ein Orthonormalsystem kurz
durch xvi |vj y “ 1 “ δij für beliebige 1 ď i, j ď m beschreiben.
Jedes Orthogonalsystem in V ist linear unabhängig.
Ist ausserdem m=n=dimV, so ist das Orthogonalsystem auch Orthogonalbasis (bzw
Orthonormal-).
Satz 2.11: Anhand des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungverfahrens kann
man aus einer beliebigen Basis tv1 , ..., vm u von V eine Orthogonalbasis tw1 , ..., wm u
machen. Man wählt w1 “ v1 als ersten Vektor.
w i “ vi ´
i´1
ÿ
xwj |vi y
:r i “ 1, ..., n
2 wj f u
j“1 }wj }
(18)
Die normierten Vektoren wi ergeben dann die Orthonormalbasis.
Folgerungen 2.12:
Jeder endlich dimensionale euklidische Vektorraum pV, x | yq besitzt eine Orthogonalbasis.
Jede Orthogonalbasis eines Untervektorraums U von V lässt sich zu einer Orthogonalbasis von V ergänzen.
Definition 2.13: 2 Untervektorräume U1 und U2 eines euklidischen Vektorraums
pV, x | yq sind orthogonal, i.Z. U1 KU2 wenn u1 Ku2 für alle u1 P U1 und u2 P U2 .
Das orthogonale Komplement von U Untervektorraum von V ist U K “ tv P V | xu|vy “
:r alle u P U }.
0 fu
6
Satz 2.14: Sei U Untervektorraum eines endlich dimensionalen euklidischen Vektorraums pV, x | yq, dann gilt (‘ steht für direkte Summe)
V “ U ‘ U K , U KK “ U, dimV “ dimU K ` dimU
(19)
Satz 2.15: Volumen: Es seien der euklidische Vektorraum pV, x | yq, m P N und
a1 , ..., am P V . Dann ist
b
V olpa1 , ..., am q “ detppxai |aj yq1ďi,j,ďm q
(20)
Im Spezialfall des Standardskalarprodukts gilt dann
V olpa1 , ..., am q “
a
a
detpt AAq “ detpAq2 “ |detpAq|
(21)
wobei A die Matrix mit den Spalten a1 , ..., am ist.
3
Unitäre Vektorräume
Definition 3.1: Sesquilinearform Diese Definition ist für den Übergang ins Komplexe nötig.
Sei V ein C-Vektorraum, ϕ : V ˆ V Ñ C ist Sesquilinearform, wenn gilt:
1. ϕ ist semilinear in der 1. Komponente, also
ϕpu ` v, wq “ ϕpu, wq ` ϕpv, wq @u, v, w P V
(22)
ϕpcu, wq “ c̄ϕpu, wq @u, v P V, c P C
2. Linearität in der 2. Komponente
ϕpu, v ` wq “ ϕpu, vq ` ϕpv, wq @u, v, w P V
(23)
ϕpu, cwq “ cϕpu, wq @u, v P V, c P C
Definition 3.2: Hermitesche Form: Sei V ein C-Vektorraum, ϕ : V ˆ V Ñ C
eine Sesquilinearform, ϕ heisst hermitesche Form, wenn ϕpu, vq “ ϕpv, uq, für alle
u, v P V .
Insbesondere gilt: ϕ ist hermitesch ô ϕpu, uq P R @u P V , also ϕpu, uq “ ϕpu, uq.
Es gilt dann aussedem GB pϕq “t pGB pϕqq “: A˚ “: AH . Wenn dies der Fall ist,
nennt man A hermitesche Matrix und A˚ die zu A adjungierte Matrix.
7
Es gilt auch hier: pA˚ q´1 “ pA´1 q˚ und pABq˚ “ B ˚ A˚ .
Es lassen sich auch die Regeln zur quadratischen Form übertragen, mit qpµvq “
µµ̄qpvq “ |µ|2 qpvq @µ P C, v P V .
Und im Trägheitssatz von Sylvester erhält man die Sylvester-Normalform
˛
¨
1n`
0
0
˚
‹
GB pϕq “ ˝ 0 ´1n´ 0 ‚
0
0
0n0
(24)
Es gelten die gleichen Regeln zur Definitheit wie im Reellen.
Definition 3.3: Sei V ein C-Vektorraum, ϕ : V ˆ V Ñ R eine positiv definite
Hermitesche Form. Dann heisst ϕ Skalarprodukt auf V und V unitärer Vektorraum.
Analog wie im euklidischen Vektorraum definiert man Norm und Metrik bezüglich
x | y.
Die CSU, sowie die Regeln zu Orthogonalität und Orthonormalität gelten wie bisher.
Den Winkel kann man allerdings nicht analog zu Def 2.9 definieren. Ausserdem gilt,
dass jede hermitesche n ˆ n-Matrix n reelle Eigenwerte hat.
Im Folgenden verwenden wir den Begriff Innenproduktraum zusammenfassend für
euklidische und unitäre Vektorräume.
4
Normale Endomorphismen
Definition 4.1: Adjungierter Endomorphismus Es seien pV, x | yq ein Innenproduktraum, f P EndpV q. Der Endomorphismus f ˚ heisst zu f adjungiert, wenn
xf pvq|wy “ xv|f ˚ pwqy @v, w P V
(25)
Satz 4.2: Es sei pV, x | yq ein endlichdimensionaler Innenproduktraum. Zu jedem
Endomorphismus f P EndpV q gibt es eine eindeutige Adjungierte f ˚ P EndpV q.
Definition 4.3: Es sei pV, x | yq ein euklidischer Vektorraum. Ein Endomorphismus
f P EndpV q heisst orthogonal, wenn gilt
xv|wy “ xf pvq|f pwqy @v, w P V
(26)
Es sei pV, x | yq ein unitärer Vektorraum. Ein Endomorphismus f P EndpV q heisst
unitär, wenn gilt
xv|wy “ xf pvq|f pwqy @v, w P V
8
(27)
Es gilt f ˚ pf pwqq “ w @w P V ô f ˚ ˝ f “ id ô f ˚ “ f ´1 .
Definition 4.4: Eine Matrix A P Rnˆn heisst orthogonal, wenn t AA “ 1n , also
t
A “ A´1 .
Eine Matrix A P Cnˆn heisst unitär, wenn A˚ A “ 1n , also A˚ “ A´1 .
Aus t AA “ 1n folgt, dass eine quadratische reelle Matrix genau dann orthogonal ist, wenn ihre Spaltenvektoren (bzw. Zeilenvektoren) bezüglich des StandardSkalarproduktes im Rn eine Orthonormalbasis bilden.
Entsprechend folgt aus A˚ A “ 1n , dass eine quadratische komplexe Matrix genau dann unitär ist, wenn ihre Spaltenvektoren (bzw. Zeilenvektoren) bezüglich des
Standard-Skalarproduktes im Cn eine Orthonormalbasis bilden.
Für ein orthogonale Matrix gilt detpAq “ ˘1, für eine unitäre gilt |detpAq| “ 1.
Es gilt ausserdem, dass die Eigenwerte von f immer den Betrag 1 haben, wenn f
orthogonal ist.
Bemerkung 4.5: Ein orthogonaler oder unitärer Endomorphismus eines endlichdimensionalen Innenproduktraumes ist ein Automorphismus.
Definition 4.6: f P EndpV q heisst
• längentreu, wenn }v} “ }f pvq} , @v P V
• abstandstreu, wenn dpv, wq “ dpf pvq, f pwqq, @v, w P V
• im reellen Fall winkeltreu , wenn ?pv, wq “ ?pf pvq, f pwqq @v, w P V
Daraus folgt, dass jeder orthogonale Endomorphismus längen-, abstands- und winkeltreu ist; jeder unitäre Endomorphismus ist längen- und abstandstreu.
Ausserdem: Sei V euklidischer Vektorraum und f P EndpV q längentreu. Dann ist f
orthogonal.
Sei V unitärer Vektorraum und f P EndpV q längentreu. Dann ist f unitär.
Weitere wichtige Gleichungen sind:
Polarisierungsformel im Reellen:
1
xv|wy “ p}v ` w}2 ´ }v}2 ´ }w}2 q
2
9
(28)
bzw im Komplexen:
1
xv|wy “ p}v ` w}2 ´ }v ´ w}2 ´ i }v ` iw}2 ` i }v ´ iw}2 q
4
(29)
und die Parallelogrammgleichung:
}v ` w}2 ` }v ´ w}2 “ 2p}v}2 ` }v}2 q
(30)
Definition 4.7: Sei B “ pb1 , ..., bn q Basis eines R-Vektorraums V.Vektoren a1 , ...an
aus V heissen positiv orientiert bezüglich B, wenn detpa1{B , ...an{B q ą 0 und negativ
orientiert, wenn detpa1{B , ...an{B q ă 0.
Definition 4.8: Sei V endlichdimensionaler R-Vektorraum. f P EndpV q heisst orientierungstreu, wenn detpf q ą 0.
Sei pV, ϕq euklidischer Vektorraum, f P EndpV q heisst volumentreu, wenn für jedes
Parallelotop P pa1 , ...an q gilt V olϕ pa1 , ...an q “ V olϕ pf pa1 q, ...f pan qq.
f ist genau dann volumentreu, wenn |detpf q| “ 1.
Zusammenfassend:
Definition 4.9: Es sei pV, x | yq Innenproduktraum. f P EndpV q heisst selbstadjungiert, wenn f “ f ˚ und schiefadjungiert, wenn f “ ´f ˚ (vgl (25)).
Für die Abbildungsmatrix von f bedeutet das A “ A˚ , also A ist selbstadjungiert
im Reellen und hermitesch im Komplexen.
Nach Satz 1.4.2 und Bemerkung nach Definition 3.3 hat A dann n reelle Eigenwerte.
10
Satz 4.10: Es sei f ein selbstadjungierter Endomorphismus eines n-dimensionalen
Euklidischen Vektorraumes pV, x | yq. Dann gilt: Die Eigenräume von f zu paarweise
verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
Definition 4.11: Es sei pV, x | yq ein endlichdimensionaler Innenproduktraum mit
der Basis B, f P EndpV q mit A :“ rf sB .
Für K = R heisst f bzw. A orthogonal trigonalisierbar, wenn es eine Orthonormalbasis C von V gibt, so dass à :“ rf sC Dreiecksgestalt hat, oder gleichbedeutend,
wenn es eine orthogonale Transformationsmatrix T “B ridsC gibt, so dass à :“ rf sC
Dreiecksgestalt hat, also t T “ T ´1 (orthogonale Matrix) und T ´1 AT “t T AT “ Ã.
Entsprechend heisst f bzw. A für K “ C unitär trigonalisierbar, wenn es eine Orthonormalbasis C von V gibt, so dass à :“ rf sC Dreiecksgestalt hat, oder gleichbedeutend, wenn es eine unitäre Transformationsmatrix T “B ridsC gibt, so dass à :“ rf sC
Dreiecksgestalt hat, also T ˚ “ T ´1 (unitäre Matrix) und T ´1 AT “ T ˚ AT “ Ã .
Entsprechend spricht man von orthogonaler bzw. unitärer Diagonalisierbarkeit, wenn
à sogar eine Diagonalmatrix ist.
4.12 Satz von Schur:. Ein Endomorphismus f eines n-dimensionalen Innenproduktraumes pV, x | yq ist für K “ R orthogonal trigonalisierbar, falls er n Eigenwerte in
R hat, bzw. unitär trigonalisierbar für K “ C.
Definition 4.13: Sei pV, x | yq ein Innenproduktraum. f P EndpV q heisst normal,
wenn gilt f ˝ f ˚ “ f ˚ ˝ f . (Analog für die Abbildungsmatrix A).
Dies trifft für orthogonale, unitäre, selbsadjungierte und schiefadjungierte Endomorphismen zu.
Satz 4.14: Ein normaler Endomorphismus f eines n-dimensionalen Innenproduktraumes pV, x | yq ist für K “ R orthogonal diagonalisierbar, falls er n Eigenwerte in
R hat, bzw. unitär diagonalisierbar für K “ C.
5
Darstellungsmatrizen, Basiswechsel
Satz: Sei f : V Ñ W linear, v1 , ..., vn Basis von V, w1 , ..., wm Basis von W, ϕ :
K n Ñ V und ψ : K m Ñ W die zugehörigen Koordiatensysteme.
Die zu der Abbildung ψ ´1 ˝ f ˝ ϕ gehörige Matrix M P K mˆn heisst Darstellungsmatrix der linearen Abbildung f bezüglich der Basen v1 , ..., vn und w1 , ...wm .
11
Der Basiswechsel entspricht also einem Wechsel des Koordinatensystems.
Beispiel: Wie betrachten die Abbildung f : R4 Ñ R3 , x ÞÑ Ax mit
¨
˛
1 ´1 0 1
˚
‹
A“˝ 2 0
1 4 ‚
1 ´2 ´1 0
sowie die Basen
¨
¨
˛ ¨
˛ ¨
˛
1
˛ ¨
0
˛ ¨
˛ ¨
´1
˛
´1
1
´1
0
˚ ‹ ˚ ‹ ˚
‹ ˚
‹
˚ 0 ‹ ˚ 1 ‹ ˚ ´1 ‹ ˚ 0 ‹
˚ ‹ ˚
‹ ˚
‹
3
4
˚
‹
˚
‹
˚
‹
˚
‹
C “ t˝ 2 ‚, ˝ 0 ‚, ˝ ´3 ‚u Ď R und B “ t˚ ‹ , ˚ ‹ , ˚
‹ , ˚ ´1 ‹u Ď R
0
0
1
˝ ‚ ˝ ‚ ˝
‚ ˝
‚
´2
1
1
0
0
0
1
Es soll nun C rf sB berechnet werden.
Dazu wendet man immer die folgenden Schritte an:
Setze die Basisvektoren von B (der Basis die auf der rechten Seite von f steht) in f
ein:
¨
1
˛
¨
¨
˛
0
1
˚ ‹
˚
˚ 0 ‹ ˚ ‹
˚ 1
˚
‹
A ˚ ‹ “ ˝ 2 ‚, A ˚
˚ 0
˝ 0 ‚
˝
1
0
0
˛
¨
¨
˛
´1
˛
´1
‹
˚
‹ ˚
˚ ´1
‹“˝ 0 ‹
‚, A ˚
‹
˚ 1
‚
˝
´2
0
¨
¨
˛
˛
´1
0
‹
˚
‹ ˚ ‹
˚
‹ “ ˝ 0 ‚, A ˚ ´0
‹
˚ ´1
‚
˝
0
1
¨ ˛
0
‹
‹ ˚ ‹
‹“˝ 0 ‚
‹
‚
0
Schreibe die erhaltenen Vektoren nun in Abhängigkeit der Basisvektoren aus C (die
Basis, die links von f steht). z.B.:
¨
1
˛
¨
1
˛
¨
´1
˛
¨
0
˛
˚ ‹
˚ ‹
˚
‹
˚
‹
˝ 2 ‚ “ 1 ˝ 2 ‚` 0 ˝ 0 ‚` 0 ˝ ´3 ‚
1
1
1
´2
Die Vorfaktoren dieser Linearkombination werden jetzt Spaltenweise in eine neue
Matrix C rf sB geschrieben. Man erhält also:
¨
C rf sB
1 0 0 0
˛
˚
‹
“˝ 0 1 0 0 ‚
0 0 0 0
12
6
Zur Jordannormalform:
Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts legt die Anzahl der Jordankästchen
zu diesem Eigenwert fest, die algebraische Vielfachheit gibt die Gesamtdimension der
Kästchen zum Eigenwert (Summe der Dimensionen der Kästchen). Die Dimensionen
der einzelnen Kästchen sind dadurch jedoch noch nicht festgelegt.
Wenn alg.=geom. Vielfachheit ist die Matrix diagonalisierbar.
Wenn die algebraische Vielfachheit 1 ist für jeden EW, dann sind die EW paarweise
verschieden.
Ist die geometrische Vielf. für jeden Eigenwert 1, so gibt es zu jedem Eigenwert nur
1 Kästchen.
Hauptvektoren:
v ‰ 0 heisst Hauptvektor zum Wert λ, falls l P N existiert, mit pA ´ λEql v “ 0. Das
minimale l-1 heisst Stufe von v.
Es gilt dann die Rekursionsformel: pA ´ λEqvk “ pA ´ λEqvk´1 . Damit lassen sich
die Hauptvektoren nacheinander berechnen.
Vorgehensweise zur Bestimmung der Jordannormalform: Man bestimmt zunächst
die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren. Ist die geometrische Vielfachheit
kleiner als die algebraische, bestimmt man noch zusätzlich die Hauptvektoren mit
der Formel pA ´ λEqvk “ pA ´ λEqvk´1 . Dabei kann man die Eigenvektoren als
Hauptvektoren 0-ter Stufe betrachten.
Auf die Diagonale der Jordanmatrix kommen die Eigenwerte. Es wird dann die
Anzahl und die Dimension der Kästchen bestimmt, gibt es einen Hauptvektor der
Stufe der Stufe s, so hat man ein Kästchen mit Dimension s+1.
13