Proseminar Lineare Algebra II, SS 11 Blatt 1 1 - ig

Proseminar Lineare Algebra II, SS 11
Blatt 1
1. Berechnen Sie die Determinante der Matrix

0
2

−1
1

0 4 1
5 1 7

2 0 −3
3 0 α
.
2. Stellen Sie folgende Matrix als Produkt von Elementarmatrizen dar:


1 3 −1 4
 2 5 −1 3 


 0 4 −3 1  .
−3 1 −5 −2
3. Seien n ≥ 2 und x1 ,. . . , xn ∈ R. Zeigen Sie


1 x1 x21 . . . xn−1
1
1 x2 x22 . . . xn−1 
Y
2


(xj − xi ) .
det  .
=
..
..
..
.
.

.
.
.
1≤i<j≤n
1 xn x2n . . . xn−1
n
4. Seien n ≥ 2, En die n × n Einheitsmatrix und

0 ...
0 . . .

En0 =  .
..
 ..
.
1 ...

0 1
1 0

.. .. 
. .
0 0
.
Berechnen Sie det(aEn + bEn0 ) für a, b ∈ R.
5. Seien n ∈ N und A, B, C, D n × n Matrizen. A sei invertierbar und es gelte AC = CA. Zeigen Sie
A B
det
= det(AD − CB) .
C D
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Blatt 2
1. Berechnen Sie für n ≥ 2 die Determinante der

−2 1
0
 1 −2 1

0
1 −2




 0 ... ...
0 ... ...
folgenden n × n Matrix:

0 0 ... 0
0 0 ... 0 

1 0 ... 0 

 .
..

.

0 1 −2 1 
. . . 0 1 −2
2. Sei A ∈ M (n × n; R) eine schiefsymmetrische Matrix, dh. AT = −A. Zeigen Sie det(A) = 0, falls n
ungerade ist.
3. Es seien σ, τ ∈ S6 ,
σ=
1
5
2
4
3
1
4
6
5
3
6
,
2
τ=
1
4
2
6
3
5
4
3
5
1
6
.
2
(a) Berechnen Sie: σ −1 , τ −1 , σ · τ, σ −1 · τ, τ · σ, τ −1 · σ.
(b) Schreiben Sie σ, τ als Produkt von Transpositionen.
(c) Berechnen Sie sgn(σ), sgn(τ ) sowie die Vorzeichen aller unter a) angeführten Permutationen.
(d) Bestimmen Sie die kleinsten s, t ∈ N so, dass σ s = τ t = id.
4. Eine Matrix P ∈ M (n × n; R) heisst Permutationsmatrix, wenn jede Zeile und jede Spalte von P
genau eine Eins und sonst Nullen enthält.
Für π ∈ Sn sei Pπ := (δi,π(j) )i,j=1,...,n ∈ M (n × n; R).
Beweisen Sie:
(a) Die Abbildung π 7→ Pπ ist eine Bijektion von Sn auf die Menge der Permutationsmatrizen in
M (n × n; R).
(b) Für alle σ, τ ∈ Sn gilt: Pσ · Pτ = Pσ·τ .
(c) Für alle π ∈ Sn gilt: Pπ ∈ GL(n; R), Pπ−1 = Pπ−1 , det Pπ = sgn(π) .
(d) Jede Permutationsmatrix lässt sich als Produkt von Vertauschungsmatrizen Ttausch (i, j) darstellen. Welche Wirkung hat die Multiplikation einer Permutationsmatrix von rechts an eine
Matrix A ?
5. Sei n ∈ N. Zeigen Sie, dass die Anzahl der Permutationen σ ∈ Sn mit sgn(σ) = 1 gleich ist der
Anzahl der Permutationen σ ∈ Sn mit sgn(σ) = −1.
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Blatt 3
1. Lsen Sie mit Hilfe der Cramerschen Regel folgendes Gleichungssystem über C:
2x1 + ix2 + (1 + i)x3 = 1
x1 − 2x2 + ix3 = 0
−ix1 + x2 − (2 − i)x3 = 1 .
2. Gegeben sind die Ebenen
E1 = {(x, y, z) ∈ R3 | x − 2y + z = 1},
E2 = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x + y = 2}
.
Bestimmen Sie das orthogonale Komplement des Richtungsvektors ihrer Schnittgeraden.
3. Bestimmen Sie das orthogonale Komplement das Richtungsvektors der Schnittgeraden zweier Ebenen das R3 (sofern eine solche existiert).
4. Sei M ⊂ Rn . Zeigen Sie, dass M ⊥ ein Unterraum des Rn ist.
5. Sei A eine reelle n × n Matrix mit Rang 1. Zeigen Sie:
(a) Es gibt a, b ∈ Rn mit A = abT (dabei seien a, b Spaltenvektoren und das Produkt das
Matrixprodukt).
(b) Sind a, b wie in (a), so gilt A2 = hb, aiA.
6. Sei h·, ·i das Standardskalarprodukt auf R3 und a, b, c, d ∈ R3 . Zeigen Sie
ha × b, c × di = ha, cihb, di − ha, dihb, ci .
Folgern Sie daraus:
(a) ka × bk2 = kak2 · kbk2 − ha, bi2 .
(b) ka × bk = kak · kbk sin(θ), wobei θ der von a und b eingeschlossene Winkel ist.
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Blatt 4
1. Zeigen Sie, dass die 1-Norm und die ∞-Norm auf Rn Normen sind und dass sie äquivalent sind.
2. Sei
A=
a
c
c
b
eine reelle, symmetrische 2 × 2 Matrix. Für x, y ∈ R2 setze
hx, yi = xT Ay
.
Wann ist h·, ·i ein Skalarprodukt auf R2 ?
3. Für eine quadratische Matrix A, sei tr(A) (die Spur (engl. trace) von A) die Summe aller Diagonalelemente von A. Zeigen Sie, dass durch hA, Bi = tr(AT B) ein Skalarprodukt auf dem Vektorraum
aller reeller n × n-Matrizen definiert wird.
4. Es sei P2 (R) der Vektorraum aller Polynomfunktionen R → R vom Grad ≤ 2. Zeigen Sie, dass
durch
Z 1
hf, gi =
f (x)g(x) dx
0
ein Skalarprodukt auf P2 (R) definiert wird. p ∈ P2 (R) sei definiert durch p(x) = x+2 für alle x ∈ R.
Bestimmen Sie {p}⊥ .
5. Es sei (V, k · k) ein reeller normierter Raum, in dem die Vierecksgleichung gilt:
kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2
für alle x, y ∈ V .
Für x, y ∈ V setze
hx, yi =
1
(kx + yk2 − kxk2 − kyk2 ) .
2
Zeigen Sie:
(a) Für alle x, y, z ∈ V gilt hx, y + zi = hx, yi + hx, zi.
(b) Für alle x, y ∈ V und alle r ∈ Q gilt hx, ryi = rhx, yi.
(c) Für alle x, y ∈ V und alle r ∈ Q gilt hx, ryi = rhx, yi.
(d) h·, ·i ist ein Skalarprodukt auf V und die dadurch definierte Norm ist gerade k · k.
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Blatt 4
1. Zeigen Sie, dass die 1-Norm und die ∞-Norm auf Rn Normen sind und dass sie äquivalent sind.
2. Sei
A=
a
c
c
b
eine reelle, symmetrische 2 × 2 Matrix. Für x, y ∈ R2 setze
hx, yi = xT Ay
.
Wann ist h·, ·i ein Skalarprodukt auf R2 ?
3. Für eine quadratische Matrix A, sei tr(A) (die Spur (engl. trace) von A) die Summe aller Diagonalelemente von A. Zeigen Sie, dass durch hA, Bi = tr(AT B) ein Skalarprodukt auf dem Vektorraum
aller reeller n × n-Matrizen definiert wird.
4. Es sei P2 (R) der Vektorraum aller Polynomfunktionen R → R vom Grad ≤ 2. Zeigen Sie, dass
durch
Z 1
hf, gi =
f (x)g(x) dx
0
ein Skalarprodukt auf P2 (R) definiert wird. p ∈ P2 (R) sei definiert durch p(x) = x+2 für alle x ∈ R.
Bestimmen Sie {p}⊥ .
5. Es sei (V, k · k) ein reeller normierter Raum, in dem die Vierecksgleichung gilt:
kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2
für alle x, y ∈ V .
Für x, y ∈ V setze
hx, yi =
1
(kx + yk2 − kxk2 − kyk2 ) .
2
Zeigen Sie:
(a) Für alle x, y, z ∈ V gilt hx, y + zi = hx, yi + hx, zi.
(b) Für alle x, y ∈ V und alle r ∈ Q gilt hx, ryi = rhx, yi.
(c) Für alle x, y ∈ V und alle r ∈ R gilt hx, ryi = rhx, yi.
(d) h·, ·i ist ein Skalarprodukt auf V und die dadurch definierte Norm ist gerade k · k.
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Blatt 5
1. Es seien V ein Vektorraum (über R oder C), h·, ·i ein Skalarprodukt auf V und U ein Unterraum
von V mit U + U ⊥ = V . Zeigen Sie: Ist πU : V → V die orthogonale Projektion auf U , so gilt
kπU (x) − πU (y)k ≤ kx − yk für alle x, y ∈ V .
2. Es seien V ein Vektorraum (über R oder C), h·, ·i ein Skalarprodukt auf V und U , W Unteräume
von V mit U + U ⊥ = V = W + W ⊥ . Sind πU , πW : V → V die orthogonalen Projektionen auf U
(bzw. W ), so gilt
U ⊂ W ⇐⇒ πU ◦ πW = πU .
3. Es sei V ein Vektorraum (über R oder C), h·, ·i ein Skalarprodukt auf V . Zeigen Sie: Sind U1 , U2 ,
U3 Unterräume von V mit Ui ⊥ Uj für alle 1 ≤ i < j ≤ 3, so ist die Summe U1 + U2 + U3 direkt.
4. Wir betrachten R4 mit dem Standardskalarprodukt, den affinen Unterraum
U = {(x, y, z, w) ∈ R4 | 4x − 2y + 2z − w = 3}
und den Punkt p = (1, 2, −3, 4). Bestimmen Sie den Abstand von p zu U .
5. Wir betrachten R2 mit der ∞-Norm k · k∞ und g ⊂ R2 sei die x-Achse. Zeigen Sie, dass es Punkte
p ∈ g gibt, sodass kp − (1, 1)k∞ minimal wird. Wieviele solche Punkte gibt es?
6. Gegeben sind die Punkte
(x1 , y1 ) = (0, 10), (x2 , y2 ) = (1, 4), (x3 , x4 ) = (2, 4), (x4 , y4 ) = (3, −10)
im R2 . Bestimmen Sie eine quadratische Polynomfunktion f : R → R, sodass
4
X
(f (xi ) − yi )2
i=1
minimal wird.
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Blatt 6
1. Seien


 

−3
0
1
 6 
1
−α
4


 

v1 = 
 −1  , v2 = −1 , v3 =  3  ∈ R
−3α
2
2

mit α ∈ R. Bestimmen Sie eine Basis des orthogonalen Komplements von L({v1 , v2 , v3 }).
2. Sei E eine Ebene im R3 , n ∈ R3 orthogonal auf alle Richtungsvektoren von E mit knk = 1 und
p ∈ R3 . Zeigen Sie: der Normalabstand von p zu E ist |hp − x, ni| für beliebiges x ∈ E.
3. Sei K ∈ {R, C}. Auf Kn betrachten wir das Standard innere Produkt. Seien b1 ,. . . , bm ∈ Kn . Zeigen
Sie:
ρ Gram(b1 , . . . , bm ) = dim L({b1 , . . . , bm }) .
4. Bestimmen Sie mit dem Schmidtschen Verfahren eine Orthonormalbasis von
       
2
1
1
1
0 0 1 1
       
      
L({
0 , 1 , 1 , 0}) .
0 0 0 2
3
2
0
0
5. Es V der Vektorraum der polynomialen Funktionen R → R vom Grad ≤ 3 mit dem Skalarprodukt
Z 1
hf, gi =
f (x)g(x) dx .
−1
Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von V .
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Blatt 7
1. Gegeben sind die beiden Geraden
 
 
1
1
g = {2 + t  5  | t ∈ R},
3
−4
 
 
−1
1
h = { 2  + t  7  | t ∈ R}
3
−2
.
Bestimmen Sie den Abstand von g und h, d.h.
inf{kx − yk | x ∈ g, y ∈ h}
.
2. Gegeben sind die vier Punkte
x1
1
x2
−1
x3
−2
x4
2
=
,
=
,
=
,
=
y1
1
y2
−5
y3
3
y4
4
.
Bestimmen Sie eine Funktion f : R \ {0} → R, der Form f (x) = αx + βx , sodass
4
X
(f (xi ) − yi )2
i=1
minimal wird.
3. Es seien V ein Vektorraum (über R oder C), h·, ·i ein Skalarprodukt auf V , und (v1 , . . . , vn ) eine
Orthonormalbasis von V . Zeigen Sie für x, y ∈ V :
hx, yi =
n
X
hx, vi ihvi , yi .
i=1
4. Seien K ∈ {R, C}, V ein endlich–dimensionaler K-Vektorraum und h·, ·i ein Skalarprodukt auf V .
Zeigen Sie, dass es zu jeder linearen Abbildung f : V → K genau ein v ∈ V gibt, sodass
f (w) = hv, wi
für alle w ∈ V gilt.
5. Sei A eine komplexe m × n-Matrix. Eine komplexe n × m-Matrix B heißt Pseudo-Inverse von A,
falls gelten
(a) ABA = A.
(b) BAB = B.
(c) (BA)∗ = BA.
(d) (AB)∗ = AB.
Es sei B Pseudo-Inverse von A. Zeigen Sie für alle x ∈ Cn und für alle y ∈ Cm :
kAx − yk ≥ kABy − yk
.
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Blatt 8
1. Es sei V der Vektorraum der polynomialen Funktionen R → R vom Grad ≤ 3 zusammen mit dem
Skalarprodukt
Z 1
f (x)g(x) dx .
hf, gi =
−1
Bestimmen Sie die Adjungierte der linearen Abbildung V → V , f 7→ f 0 (= erste Ableitung von f ).
2. Wir versehen R2 mit dem Skalarprodukt
hx, yi = x
T
2
1
1
y
2
(vgl. Blatt 4, Aufgabe 1).
Bestimmen Sie die Adjungierte der linearen Abbildung f : R2 → R2 , f (x, y) = (3x − 5y, 7x + y).
3. Es sei V ein K-Vektorraum. Für v ∈ V definiere die Abbildung εv : V ∗ → K durch εv (f ) = f (v)
für alle f ∈ V ∗ . Zeigen Sie:
(a) Für alle v ∈ V ist εv linear, also εv ∈ V ∗∗ .
(b) Die Abbildung ε : V → V ∗∗ , v 7→ εv ist linear und injektiv.
(c) Ist dim(V ) < ∞, so ist ε ein Isomorphismus.
4. Zeigen Sie, dass

1
 1 ,
−2


2
 3 ,
−4



3 1
−5
eine Basis von R3 ist und bestimmen Sie die dazu duale Basis.
5. Es sei V ein K-Vektorraum und U ⊂ V ein Unterraum. Wir setzen Ũ = {f ∈ V ∗ | f|U = 0}.
Zeigen Sie:
(a) Ũ ist ein Unterraum von V ∗ .
(b) Ũ ist isomorph zu (V /U )∗ .
(c) Ist dim(V ) < ∞, so gilt dim(U ) + dim(Ũ ) = dim(V ).
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Blatt 9
1. Es seien V2 , V3 die Vektorräume der polynomialen Funktionen R → R vom Grad ≤ 2 bzw. ≤ 3. V2
und V3 seien jeweils mit dem Skalarprodukt
Z 1
hf, gi =
f (x)g(x) dx
−1
versehen. Die lineare Abbildung F : V2 → V3 sei definiert durch F (f )(x) = xf (x) für alle f ∈ V2
und alle x ∈ R. Berechnen Sie die Adjungierte von F .
2.
(a) Seien K ein Körper, f , g ∈ K[x] mit g 6= 0. Es sei r der Rest bei der Division von f durch g.
Zeigen Sie, dass ein α ∈ K genau dann eine gemeinsame Nullstelle von f und g ist, wenn α
eine gemeinsame Nullstelle von g und r ist.
(b) Gegeben sind die Polynome
f = x7 + x6 − 3x5 − x4 + 5x3 − x2 − 2x + 3,
g = x6 − 3x4 + 2x3 + 2x2 − 3x + 2 ∈ R[x] .
Zeigen Sie, dass f und g keine gemeinsame Nullstelle in C besitzen.
3. Es sei K ein endlicher Körper. Zeigen Sie, dass es ein f ∈ K[x] \ {0} mit folgenden Eigenschaften
gibt:
(a) Jedes α ∈ K ist eine Nullstelle von f .
(b) Ist g ∈ K[x] ein Polynom, sodass jedes α ∈ K eine Nullstelle von g ist, so gibt es ein h ∈ K[x]
mit g = f h.
4. Es sei K = Q oder K = {0, 1} der Körper aus Beispiel 7.1.3. Gegeben sind
f = x6 + x5 + x4 + x2 + x + 1,
g = x4 − x3 + x − 1 ∈ K[x] .
Dividieren Sie f mit Rest durch g.
5. Zeigen Sie, dass das Polynom X 2 − 1 unendlich viele Nullstellen in M2 (R) besitzt, d.h., dass es
unendlich viele A ∈ M2 (R) mit A2 − E = 0 gibt (E = Einheitsmatrix).
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Blatt 10
1. Zeigen Sie, dass jedes nicht konstante f ∈ R[X] als Produkt von Polynomen vom Grad ≤ 2 geschrieben werden kann.
2. Sei f ∈ R[X] normiert mit Grad(f ) = n ≥ 1. Zeigen Sie, dass es eine n × n Matrix A mit
charakteristischem Polynom f gibt. Hinweis: Behandeln Sie die Fälle n = 1, 2 direkt und benutzen
Sie dann Aufgabe 1.
3. Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen

2 −1
−1 2
0 −1
Eigenräume der Matrix

0
−3
2
4. Es sei V3 der Vektorraum der Polynomfunktionen R → R vom Grad ≤ 3. Bestimmen Sie die
Eigenwerte und Eigenräume der linearen Abbildung T : V3 → V3 , f 7→ f 0 + f 00 .
5. Sei A ∈ Mn (R). Zeigen Sie: Ist λ ∈ C ein Eigenwert von A mit zugehörigem Eigenraum E(λ), so
ist λ̄ ein Eigenwert von A und für den Eigenraum E(λ̄) von A zu λ̄ gilt
E(λ̄) = {v̄ | v ∈ E(λ)}
.
6. Seien A, B ∈ Mn (C). Zeigen Sie, dass AB und BA die gleichen Eigenwerte besitzen.
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Blatt 11
1. Diagonalisieren Sie folgende Matrizen

−5
6
−4
(falls möglich)


0 7
−3
2 −6 ,  2a
0 6
10

0 0
b a
0 2
2. Es seien V ein endlich dimensionaler Vektorraum und f : V → V linear mit f ◦ f = f . Zeigen Sie,
dass 0 und 1 die einzigen Eigenwerte von f sind. Was sind die zugehörigen Eigenräume?
3. Es sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum und f , g : V → V linear mit f ◦ g = g ◦ f . Zeigen
Sie: Ist λ ein Eigenwert von f und E der zugehörige Eigenraum, so gilt g(E) ⊂ E.
4. Sei A ∈ Mn (R) eine diagonalisierbare Matrix mit Eigenwerten λ1 ,. . . , λn . Zeigen Sie, dass es
Matrizen M1 ,. . . , Mn vom Rang 1 gibt, sodass
Ak = λk1 M1 + . . . + λkn Mn
für alle k ∈ N gilt.
5. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen geometrischen und algebraischen Vielfachheiten
der Matrix


1
0
0 0
−4 −3 0 0


−2 −1 0 1 .
−8 −7 −4 4
6. Sei A ∈ Mn (R). λ ∈ R heißt Linkseigenwert von A, falls es z ∈ Rn \ {0} mit z T A = λz T gibt. z
heißt dann ein Linkseigenvektor von A zum Linkseigenwert λ.
Seien nun λ ∈ R ein Linkseigenwert von A, z ein zugehöriger Linkseigenvektor, µ ∈ R ein Eigenwert
von A mit zugehörigem Eigenvektor w. Zeigen Sie: gilt λ 6= µ, so sind z, w orthogonal.
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Blatt 12
1. Sind die gegebenen Matrizen A und

4
A= 0
−2
B ähnlich?

2 −1
3 0 ,
2 5
2. Ist die Matrix

5 −2
B = −1 4
0
0
1
2

A = .
 ..
1
2
..
.
···
···
..
.

1
2

..  ∈ Mn (R)
.
n
n
···
n


2
−1
3
mit den Matrixeinträgen aij = i, 1 ≤ i, j ≤ n diagonalisierbar? Berechnen Sie gegebenenfalls die
Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix.
3. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix


n+1
1
···
1
1

..
.. 
..
 1
.
n+1
.
. 




.
.
∈ Mn (R)
B= 1
.
1
1 
1



 .
..
..
 ..
. n+1
1 
.
1
1
···
1
n+1
mit den Matrixeinträgen bij = 1 + nδij , 1 ≤ i, j ≤ n.
4. Seien A, B ∈ Mn (R) diagonalisierbare Matrizen mit AB = BA. Zeigen Sie, dass A und B die
gleichen Eigenräume besitzen, also simultan diagonalisierbar sind.
5. Seien A ∈ Mn (R) und exp(A) :=
für die Matrix
P∞
Ak /k! die Matrixexponentialfunktion. Berechnen Sie exp(A)


1
2
0
0
−1 4
0
0
 .
A=
0
0 −1 0 
3 −3 0 −1
k=0
6. Lösen Sie die Differentialgleichung dx(t)/dt = Ax(t), x(0) = x0 mit den Daten


 
−4 6 0
1
A = −3 5 0 , x0 = −4 .
3 −3 2
−2
Proseminar Lineare Algebra II, SS 11
Blatt 13
1. Sind die gegebenen Matrizen A und B ähnlich?


3
0 0
A = 10 1 1 ,
20 −4 5

6
B = −13
38
2. Bestimmen Sie Jordanblöcke J1 ,. . . , Jr , sodass die Matrizen



2
0
0 0
J1
2
5
1 0
..

, 

.
−5 −10 1 1
12
23 3 0

1 0
2 1
6 1



Jr
ähnlich sind.
3. Es sei J ein Jordanblock zum Eigenwert λ der Länge r. Bestimmen Sie J n für alle n ∈ N.
4. Sei A ∈ Mn (R) und sei f ∈ R[X] das Minimalpolynom von A. Zeigen Sie: Zu jedem g ∈ R[X] gibt
es genau ein h ∈ R[X] mit g(A) = h(A) und Grad(h) < Grad(f ).
5. Sei A ∈ Mn (R) invertierbar. Zeigen Sie, dass es a0 ,. . . , an−1 ∈ R mit
A−1 =
n−1
X
ai Ai
i=0
gibt.
6. Zeigen Sie, dass A ∈ Mn (R) genau dann nilpotent (Ak = 0 für ein k ∈ N) ist, wenn 0 der einzige
Eigenwert ( in C) von A ist.
Proseminar Lineare Algebra II, SS 11
Blatt 14
1. Für A ∈ M20 (R) sei folgendes bekannt:
k
dim(ker(A + 2E)k )
dim(ker(A + 5E)k )
1
3
3
2
6
5
3
8
7
4
9
9
5
10
9
6
11
9
7
11
9
Bestimmen Sie die Jordannormalform von A.
2. Sei A ∈ Mn (C) mit A∗ = −A. Zeigen Sie, dass jeder Eigenwert von A rein imaginär ist.
3. Sei A ∈ Mn (R) schiefsymmetrisch (AT = −A). Zeigen Sie:
(a) E + A ist invertierbar.
(b) (E + A)−1 (E − A) ist orthogonal.
(c) det (E + A)−1 (E − A) = 1.
4. Sei A ∈ Mn (R) orthogonal. Zeigen Sie:
(a) det(A) ∈ {−1, 1}.
(b) Sei n = 2 und f : R2 → R2 definert durch x 7→ Ax. Ist det(A) = 1 so ist f eine Drehung (um
welchen Winkel?). Ist det(A) = −1 so ist f eine Spiegelung an einer Geraden (an welcher?).
5. Sei A ∈ M3 (R) orthogonal. Zeigen Sie für alle x, y ∈ R3 :
A(x × y) = det(A)(Ax) × (Ay) .
6. Entscheiden Sie ob die Menge
{(x, y) ∈ R2 | −7x2 + 48xy + 7y 2 = 1}
leer, eine Hyperbel oder eine Ellipse ist.
Proseminar Lineare Algebra II, SS 11
Blatt 15
1. Sei A ∈ M3 (R) orthogonal und det(A) = 1. Zeigen Sie: A beschreibt eine Drehung.
2. Sei A ∈ Mn (C) selbstadjungiert und V ein A-invarianter Unterraum von Cn . Zeigen
Sie: V ⊥ ist A-invariant.
3. Geben Sie eine orthogonale Matrix an, die


2 −1 1
A = −1 2 1 ,
1
1 2
diagonalisiert.
4. Ist jede normale Matrix A ∈ M2 (R) symmetrisch oder schiefsymmetrisch ?
5. Überprüfen Sie folgende Matrizen auf Definitheit:




1 2 −2
−3 1 −3
 2 2 0  ,  1 −2 0  ,
−2 0 −4
−3 0 −4


7 0 −8
 0 1 2 .
−8 2 17