Mathematik für Informatiker II, SS 2008 — 1. ¨Ubungsblatt

Mathematik für Informatiker II, SS 2008 — 1. Übungsblatt
keine Abgabe
Diese Übungsaufgaben sind als Wiederholung des Schulstoffs gedacht. Sie werden im ersten
Tutorium besprochen und werden nicht bewertet. Trotzdem sollte man sich schon vorher
damit beschäftigen und sich in die Lage versetzen, einen großen Teil der Aufgaben selbst zu
lösen.
1. Winkelfunktionen.
(a) Leiten Sie die Werte der Cosinusfunktion für die Winkel
Kenntnissen aus der Dreiecksgeometrie her.
π π
6, 4
und
π
3
mit Ihren
(b) Bestimmen Sie ohne Taschenrechner und Tafelwerk,
√ welchen Steigungswinkel die
Gerade hat, die durch die Punkte (1, 0) und (4, 27) verläuft.
(c) Vereinfachen Sie die folgenden zwei Terme:
2(1 − cos x)(1 + cos x)
tan x
2 − 3 sin2 x − cos2 x
2. Logarithmen.
Bekanntlich wird die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentiation definiert, d.h. y = loga x genau dann, wenn ay = x.
(a) Leiten Sie anhand dieser Definition die folgenden Werte der Logarithmusfunktion
ab:
1
32
log2 64
log3 81
log2
log4 2
log4 0,5
log0,5 8
log3 0,1
log0,5 0,125
(b) In der Informatik spielt der Logarithmus häufig eine Rolle in (ganzzahligen) Abschätzungen und deshalb interessiert man sich für die Aufrundung oder Abrundung
auf die nächste ganze Zahl. Man verwendet dazu die Symbole d·e und b·c.
Bestimmen Sie die folgenden Werte:
blog2 88c
blog3 27c
dlog5 100e
blog2 0,2c
3. Lineare Gleichungen.
Bestimmen Sie den Wert von x + y, wenn x und y durch folgende Gleichungen gegeben
sind:
3x + 5 = 9 und 17y − 4 = 5
4. Quadratische Gleichungen.
Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der folgenden Gleichungen:
(a)
x2 − 8x + 16 = 0
(b)
x2 − x − 6 = 0
(c)
x4 − 6x2 + 8 = 0
(d)
x4 + x2 − 2 = 0
1
Mathematik für Informatiker II, SS 2008 — 2. Übungsblatt
Abgabe bis Donnerstag, 24. April 2008, 10:00 Uhr
(0-Punkte-Aufgaben sind freiwillige Vor- oder Zusatzübungen.)
5. Eine nichtkommutative Gruppe (0 Punkte).
Zeigen Sie, dass die Menge M = {0, 1, 2, a, b, c} mit
der durch die nebenstehende Verknüpfungstafel definierte Operation ◦ eine Gruppe bildet. (Überprüfen Sie das
Assoziativgesetz zumindest für einige Beispiele.)
◦
0
1
2
a
b
c
0
0
1
2
a
b
c
1
1
2
0
c
a
b
2
2
0
1
b
c
a
a
a
b
c
0
1
2
b
b
c
a
2
0
1
c
c
a
b
1
2
0
6. Die Gruppe der linearen Funktionen (3 Punkte).
M sei die Menge der Funktionen f : R → R der Gestalt
f (x) = ax + b, für a, b ∈ R, a 6= 0. Zeigen Sie, dass M bezüglich der Hintereinanderausführung ◦ eine Gruppe bildet:
(f ◦ g)(x) = g(f (x))
Ist die Gruppe kommutativ? Bestimmen Sie das neutrale Element und die inversen
Elemente.
7. Ringe (3 Punkte)
Beweisen Sie, dass in einem Ring die folgenden Gesetze gelten:
(−a) ⊗ b = a ⊗ (−b) = −(a ⊗ b),
(−a) ⊗ (−b) = a ⊗ b
Hinweis: Den Beweis lässt sich in wenigen elementaren Schritten durchführen. Überlegen
Sie zuerst, was Sie beweisen sollen, indem Sie auf die obige Aussage die Definitionen
anwenden.
Geben Sie in Ihrer Lösung für jeden Schritt an, welches Axiom eines Ringes oder welche
Eigenschaften aus der Vorlesung Sie verwenden.
8. Beispiele für Ringe und endliche Körper (4 Punkte)
Für eine natürliche Zahl n ist Zn = {0, 1, 2, . . . , n−1} die Menge der Restklassen modulo
n. Die Operationen + und · werden auf Zn durchgeführt, indem man die gewöhnliche
Addition oder Multiplikation auf den Operanden ausführt und das Ergebnis modulo n
reduziert (d.h., den Rest der Division durch n bestimmt).
(a) (2 Punkte) Stellen Sie die Verknüpfungstafel für + und · in Z5 auf.
(b) (0 Punkte) Zeigen Sie, dass Zn für jedes n ein Ring ist.
(c) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass Z5 überdies ein Körper ist.
(d) (0 Punkte) Stellen Sie die Verknüpfungstafeln für + und · in Z6 auf. Ist Z6 ein
Körper?
9. (2 Punkte) Beweisen Sie, dass in einer Gruppe jede Gleichung der Form a ◦ x = b für
a, b ∈ M genau eine Lösung x hat.
Ist diese Lösung immer dieselbe wie die Lösung von x ◦ a = b?
10. (0 Punkte) Beweisen Sie, dass in einem Körper eine “lineare” Gleichung der Form
(a ⊗ x) ⊕ b = c genau dann genau eine Lösung x ∈ M hat, wenn a 6= 0 ist.
Wie ist das in einem Ring?
2
Mathematik für Informatiker II, SS 2008 — 3. Übungsblatt
Abgabe bis Freitag, 2. Mai 2008, 10:00 Uhr (außer Aufgabe 17)
(0-Punkte-Aufgaben sind freiwillige Vor- oder Zusatzübungen.)
11. Supremum (0 Punkte)
Welche der folgenden Aussagen sind wahr? A und B sind dabei nach oben beschränkte
nichtleere Mengen reeller Zahlen.
(a) sup(A ∪ B) = max{sup A, sup B}
(b) sup(A ∩ B) = min{sup A, sup B}
(c) sup(A \ B) = sup A − sup B
12. Lösen von Ungleichungen (3 Punkte)
Für welche x ∈ R gilt:
¯
¯
(b) (3 Punkte) ¯(2x − |x − 5|) · x¯ ≤ 10
1
|x| − 1
>
(d) (0 Punkte)
2
2
x −1
(f) (0 Punkte) |x + 1| ≤ |x2 − 5|
(a) (0 Punkte) |x − 7| · |2x − 7| ≤ 5
1
1
>
(c) (0 Punkte)
1 + |x − 1|
|x − 2|
x2 +3x−4
(e) (0 Punkte) 0,25
> 64
13. Zeichnen Sie die Punkte (x, y) in der x-y-Ebene, die die folgende Bedingung erfüllen:
(a) (0 Punkte) |x − 5| + |y + 2| ≤ 3
(b) (2 Punkte) |x − 5| ≤ 1 ∨ |x − y| ≤ 1
14. (0 Punkte) Welcher Körper im Raum wird durch die Punkte (x, y, z) beschrieben,
die
y
folgende Bedingung erfüllen?
2
(a) |x| ≤ 1 ∧ |y| ≤ 1 ∧ |z| ≤ 1
(b) |x| + |y| + |z| ≤ 3
15. (3 Punkte) Stellen Sie eine Formel (mit logischen und arithmetischen
Ausdrücken) in den Variablen x und y auf, die den nebenstehenden
Bereich der Ebene beschreibt.
1
0
−1
1
2
16. Rationale und reelle Zahlen (0 Punkte)
Bestimmen Sie für die folgenden periodischen Dezimalbrüche Darstellungen als gekürzte Brüche aus ganzzahligen Zählern und Nennern. Verwenden Sie den Euklidischen
Algorithmus zur Bestimmung der gekürzten Darstellung.
(a) q1 = 1,24
(b) q2 = 0,072
(c) q3 = 1,2615384
17. Komplexe Zahlen (3 Punkte, Abgabe erst mit dem 4. Übungsblatt bis 8. Mai)
Berechnen Sie
3+i
(c) (1 + i)−12
(a) (3 + i) · (4 + 5i)
(b)
4 − 5i
18. Komplexe Zahlen (0 Punkte)
√
(a) Berechnen Sie ( 3 − i)12 .
(b) Berechnen Sie (2 + i)/(1 − 5i).
√
(c) Wandeln Sie − 3 + 3i in Polarform um.
(d) Wandeln Sie die komplexe Zahl z mit |z| = 2 und arg(z) = −3π
in die Form
4
z = a + bi um.
(e) Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen z der Gleichung z 2 = 4z − 15.
3
x
Mathematik für Informatiker II, SS 2008 — 4. Übungsblatt
Abgabe bis Donnerstag, 8. Mai 2008, 10:00 Uhr (außer Aufgabe 23 und 25)
17. Komplexe Zahlen (3 Punkte, Wiederholung vom 3. Übungsblatt). Berechnen Sie
(a) (3 + i) · (4 + 5i)
(b)
3+i
4 − 5i
(c) (1 + i)−12
19. (2 Punkte) Finden Sie alle komplexen Lösungen z für die folgenden Gleichungen:
(a) (0 Punkte) 2z z̄ + 3(z + z̄) = −9
(b) (0 Punkte) 3z z̄ + 4(z + z̄) = 1 + i
(c) (2 Punkte) z z̄ + 2(z − z̄) = 10 + 4i
20. (0 Punkte) Zeigen Sie, dass die komplexen Zahlen mit Betrag 1 bezüglich der Muliplikation eine kommutative Gruppe bilden.
21. Geometrische Interpretation der Multiplikation komplexer Zahlen (0 Punkte)
(a) Rechnen Sie nach, dass die Multiplikation mit i einer Rotation um 90◦ gegen den
Uhrzeigersinn um den Ursprung der Gauß’schen Zahlenebene entspricht.
(b) Wie kann man eine Rotation um 180◦ oder eine Rotation um 90◦ im Uhrzeigersinn
ausdrücken? Wie kann man eine Rotation um 90◦ gegen den Uhrzeigersinn um den
Punkt z = 3 + 2i ausdrücken?
22. Schatzsuche (0 Punkte; Sonderpunkte sind an der bezeichneten Stelle vergraben.)
“Geh von der Südwestecke des Schlosses in Richtung der Birke am Ufer des Sees, und
folge dieser Linie geradeaus noch einmal die gleiche Strecke über die Birke hinaus. Von
dort, geh in Richtung auf die große Linde, und folge dieser Linie die gleiche Strecke über
die Linde hinaus. Dann geh in Richtung auf die alte Eiche, und folge dieser Linie die
gleiche Strecke über die Eiche hinaus. Von dort geh wieder in Richtung auf die Birke
am Ufer des Sees, und folge dieser Linie noch einmal die gleiche Strecke über die Birke
hinaus.” Die Linde und die Eiche sind klar zu sehen, und auch das Schloss steht noch,
aber die Birke scheint in den See gestürzt zu sein. Wo liegt der Schatz?
23. Horner-Schema (3 Punkte, Abgabe erst mit dem 5. Übungsblatt bis 15. Mai)
Führen Sie die folgenden Polynomdivisionen mit dem Horner-Schema aus:
(a) (0 Punkte) (x5 + 3x4 + 2x3 − x2 + 8) : (x + 2)
(b) (3 Punkte) (x6 − 64) : (x − 2)
24. Polynomauswertung (0 Punkte)
Berechnen Sie den Wert des Polynoms
f (x) = 4x3 − 6x2 − 2x − 10
für x = 8 (a) über den reellen Zahlen, (b) modulo 10, (c) modulo 100, (d) modulo 8,
(e) modulo 13.
25. Polynomauswertung (3 Punkte, Abgabe erst mit dem 5. Übungsblatt bis 15. Mai)
Berechnen Sie den Wert des Polynoms
g(x) = x9 + 7x6 + 2x4 + x3 − 4x2 + x − 2
an der Stelle x = 2
(a) (1 Punkt) modulo 100,
(b) (2 Punkte) modulo 13.
4
Mathematik für Informatiker II, SS 2008 — 5. Übungsblatt
Abgabe bis Donnerstag, 15. Mai 2008, 10:00 Uhr
(Änderung der Punkteskala: 2 neue Punkte = 1 bisheriger Punkt)
23. Horner-Schema (6 neue Punkte, Wiederholung vom 4. Übungsblatt)
Führen Sie die folgenden Polynomdivisionen mit dem Horner-Schema aus:
(b) (x6 − 64) : (x − 2)
25. Polynomauswertung (6 neue Punkte, Wiederholung vom 4. Übungsblatt)
Berechnen Sie den Wert des folgenden Polynoms an der Stelle x = 2:
g(x) = x9 + 7x6 + 2x4 + x3 − 4x2 + x − 2
(a) (2 neue Punkte) modulo 100,
(b) (4 neue Punkte) modulo 13.
26. Interpolation (0 Punkte). Bestimmen Sie ein quadratisches Polynom der Form f (x) =
a2 x2 + a1 x + a0 mit f (2,6) = f (4) = 0 und f (3,1) = 1. Ist die Lösung eindeutig?
27. Polynome als Funktionen (0 neue Punkte)
(a) Wie viele Polynome vom Grad 3 gibt es in Z2 [x]?
(b) Wie viele verschiedene Funktionen f : Z2 → Z2 gibt es?
(c) Finden Sie zwei Polynome vom Grad 3 in Z2 [x], die die gleiche Funktion Z2 → Z2
beschreiben.
(d) Gibt es zwei Polynome vom Grad 2 in Z2 [x], die die gleiche Funktion beschreiben?
(e) Gibt eine Funktion Z2 → Z2 , die nicht durch ein Polynom beschrieben wird?
28. Polynomdivision (4 neue Punkte)
Berechnen Sie den Quotienten und den Rest bei folgenden Divisionen:
(a) (0 neue Punkte) (z 4 + 9z 3 + 29z 2 + 39z + 18)/(z 3 + z 2 − 5z + 2)
(b) (0 Punkte) (z 4 + 9z 3 + 29z 2 + 39z + 18)/(3z 2 − 2)
(c) (4 neue Punkte) (4x4 + 2x)/(x2 + x − 1)
29. Nullstellen von Polynomen (5 neue Punkte)
Berechnen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen:
(a)
(b)
(c)
(d)
(0
(0
(0
(5
Punkte) z 4 − z 3 + 8z − 8 = 0. (Eine Lösung ist leicht zu erraten.)
Punkte) z 6 + z 3 − 6 = 0
Punkte) z 4 + 9z 3 + 29z 2 + 39z + 18 = 0
neue Punkte) z 3 + 3z 2 + 6z + 4 = 0
30. Komplexe Nullstellen bei linearen Rekursionen (0 Punkte)
Bestimmen Sie eine Formel für die Lösung der Rekursionsgleichung
fn = 2fn−1 − 4fn−2 , für n ≥ 2
mit den Anfangswerten f0 = f1 = 1. Ihre Formel soll keine komplexen Zahlen enthalten.
31. Die n-ten Einheitswurzeln (0 Punkte)
2π
ζn sei die Zahl cos 2π
n + i sin n . (ζ ist das kleine griechische z; es heißt ”zeta“.)
(a) Für jedes k ∈ Z erfüllt z = (ζn )k die Gleichung z n = 1, und die Zahlen (ζn )0 ,
(ζn )1 , (ζn )2 , . . ., (ζn )n−1 sind alle verschieden.
P
(b) Berechnen Sie 5i=0 (ζ6 )i . Interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch.
P
P
(c) Bestimmen Sie 9i=0 (ζ10 )2i und 9i=0 (ζ10 )3i .
5
Mathematik für Informatiker II, SS 2008 — 6. Übungsblatt
Abgabe bis Donnerstag, 22. Mai 2008, 10:00 Uhr
32. Prüfziffern (5 Punkte)
Berechnen Sie die Prüfbits nach dem Polynomdivisionsverfahren in Z2 [x]
(a) (3 Punkte) für die Bitfolge 10110011 und das Generatorpolynom g(x) = x2 +x+1;
(b) (2 Punkte) für die Bitfolge 101001110000001110000000100011 und das Generatorpolynom g(x) = x + 1.
(c) (0 Punkte) Wie kann man die Prüfbits für das Generatorpolynom g(x) = x + 1
einfach ausrechnen?
(d) (0 Punkte) Ist das Polynom g(x) = x2 + 1 gut geeignet als Generatorpolynom zum
Erzeugen von Prüfbits?
33. Übereinstimmende Polynome (5 Punkte)
Beweisen Sie: Wenn zwei Polynome f, g ∈ R[x] vom Grad d an d + 1 verschiedenen
Stellen xi übereinstimmen (f (xi ) = g(xi )), dann sind sie gleich. (Gilt die Aussage auch
für d = 0 und d = −1?)
34. Anzahl der Nullstellen (0 Punkte)
(a) Zeigen Sie, dass es kein Polynom vom Grad 5 gibt, dessen Graph die Gerade
y = 3x + 4 sechsmal schneidet.
(b) Zeigen Sie, dass es kein Polynom p(x) von Grad ≤ 4 mit folgenden Eigenschaften
gibt. Das geht auch ohne großen Rechenaufwand!
p(−2) = p(2) = 16, p(−1) = p(1) = 1, p(0) = 0, und p(10) = 1000
35. Rechnen in Polarform (0 Punkte)
Bestimmen Sie alle (komplexen) Wurzeln des Polynoms f (x) = x4 + 1.
36. Zerlegung reeller Polynome (5 Punkte)
Stellen Sie das Polynom f (x) = x4 + 1 als Produkt reeller Linearfaktoren oder quadratischen Faktoren (ohne reelle Nullstellen) dar.
37. Zerlegung komplexer Polynome (0 Punkte)
Stellen Sie das Polynom f (x) = x3 + (
faktoren dar.
√
3
2
− 2i )x2 + ( 21 −
√
i 3
2 )x
als Produkt von Linear-
38. Lagrange-Interpolation (5 Punkte)
Bestimmen Sie ein Polynom f vom Grad ≤ 3 mit
(a) (5 Punkte) f (1) = f (4) = −1, f (0) = 1, f (2) = −2;
(b) (0 Punkte) f (−1) = −1, f (0) = 1, f (2) = −2, f (3) = 0,
39. Elementare Geometrie (0 Punkte)
Berechnen Sie die Steigung der Geraden durch die Punkte (x1 , f (x1 )) und (x2 , f (x2 ))
für die Polynomfunktion f (x) = 2x2 + x
(a) für x1 = 3, x2 = 4,
(b) für x1 = 6, x2 = −1.
6
Mathematik für Informatiker II, SS 2008 — 7. Übungsblatt
Abgabe bis Donnerstag, 29. Mai 2008, 10:00 Uhr
40. Rechnen mit Ungleichungen (5 Punkte)
Was ist bei diesem Induktionsbeweis für folgenden Spezialfall der Bernoulli-Ungleichung
(1 − x)n ≥ 1 − nx, für 0 ≤ x < 1 und n ∈ N
falsch?
³
(1 − x)n+1 = (1 − x)n · (1 − x) ≥ (1 − nx) · (1 − x) ≥ (1 − nx) · 1 −
I.V.
x
1−nx
Korrigieren und vervollständigen Sie den Beweis.
´
= 1 − (n + 1)x
41. (0 Punkte) Beweisen Sie den anderen Fall der Bernoulli-Ungleichung:
(1 + x)n ≥ 1 + nx, für x ≥ 0 und n ∈ N
(a) durch vollständige Induktion,
(b) mit dem binomischen Lehrsatz.
42. Konvergenz und bestimmte Divergenz (0 Punkte)
Begründen Sie die folgenden Aussagen an Hand der Definitionen:
(a) Ist limn→∞ an = ∞ und (bn )n∈N beschränkt, dann gilt limn→∞ (an + bn ) = ∞.
(b) Ist (an )n∈N Nullfolge und (bn )n∈N beschränkt, dann gilt limn→∞ (an · bn ) = 0.
(c) Ist limn→∞ an = ∞ und limn→∞ bn = −∞, dann gilt limn→∞ (an · bn ) = −∞.
43. Zinseszinsrechnung (0 Punkte)
Die ABC-Bank bietet zur kurzfristigen Geldanlage ein Tagesgeldkonto mit einer Verzinsung von 3,8 % an. Die Zinsen werden am Ende des Jahres gutgeschrieben. Die DEFBank bietet ein Tagesgeldkonto mit einem jährlichen Zinssatz von nur 3,75 % an, aber
dafür werden die Zinsen jedes Vierteljahr gutgeschrieben (und ab dann mit verzinst).
Die XYZ-Bank bietet Konto mit einem Zinssatz von 3,7 % an, bei dem die Zinsen sogar
monatlich gutgeschrieben werden.
Welcher Bank soll ich den Vorzug geben, wenn ich 1000 Euro von 1. Januar bis 31. Dezember eines Jahres anlegen möchte?
44. Grenzwerte (6 Punkte)
Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie (soweit das
möglich ist) die Grenzwerte. Gegeben Sie in jedem Schritt an, welche Rechenregeln oder
Konvergenzkriterien Sie anwenden.
√
2
2
n ·n
(a) (0 Punkte) an = n − n2 + 3n
− (n+1)
(c) (3 Punkte) cn = n +(−1)
n−1
n−2
q
2
n ·n
4n3 +1
(b) (3 Punkte) bn = 4n − n(n+3)
(d) (0 Punkte) dn = n +(−1)
(n−2)2
45. Vergleichskriterium (5 Punkte)
Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:
√
(a) (2 Punkte) lim n a für beliebiges vorgegebenes a > 0. Hinweis: Unterscheiden Sie
n→∞
√
die Fälle a ≥ 1 und a < 1, und benützen Sie den Grenzwert von n n.
v
u n
uX √
1
2
− 2n
n
(b) (1 Punkt) lim (4n)
(c) (2 Punkte) lim t
k
n→∞
n→∞
7
k=0
Vorname:
FAMILIENNAME:
Tutorium (Wochentag, Uhrzeit):
,
Tutor/in:
Mathematik für Informatiker II, SS 2008 — freiwillige Zwischenklausur
Jede Aufgabe hat 5 Punkte. Abgabe bis Dienstag, 27. Mai 2008, 11:45 Uhr
46. Absolutbetrag und Ungleichungen
Welche reellen Werte von x erfüllen die folgende Bedingung?
|x − 3| − |2x| ≤ −1
47. Komplexe Zahlen
(a) Bestimmen Sie Betrag und Argument von
z=
−1 + i
.
2
Berechnen Sie z −10 in der Form z −10 = a + bi
(b) Finden Sie eine Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten, die von z erfüllt wird.
48. Polynomdivision modulo 2
Berechnen Sie den Quotienten und den Rest für die Division der beiden folgenden
Polynome aus Z2 [x]:
(x7 + x5 + x4 + x + 1) : (x2 + 1)
49. Interpolation
Bestimmen Sie ein reelles Polynom f vom Grad höchstens 3 mit
f (0) = f (4) = 1,
f (1) = 4,
f (2) = 5
50. Berechnen Sie alle (komplexen) Nullstellen des Polynoms
f (x) = x5 + 3x4 + 6x3 + 7x2 + 3x
Zerlegen Sie es in ein Produkt von linearen und quadratischen reellen Polynomen.
51. Unendliche Folgen und Reihen
Bestimmen Sie
(a) Bestimmen Sie limn→∞ an für
an =
(b) Ist die Reihe
P∞
n=1 an
konvergent?
8
2n + 2
n2 + 2n
Mathematik für Informatiker II, SS 2008 — 9. Übungsblatt
Abgabe bis Donnerstag, 12. Juni 2008, 10:00 Uhr
52. Geometrische Reihen (0 Punkte)
Bestimmen Sie die Werte der folgenden unendlichen Reihen:
(a)
∞
X
k=0
3
23k−4
(b)
∞
X
(−1)k
k=0
3k−1
∞
X
ak
(c)
, wobei ak =
2k+1
k=0
(
1, falls k gerade,
3, falls k ungerade.
53. Vertauschung von Grenzübergängen (4 Punkte)
Berechnen Sie lim lim amn und lim lim amn , sofern die Grenzwerte existieren, für
n→∞ m→∞
m→∞ n→∞
(
¶m
µ
7 für m > 2n
1
(b) (2 Punkte) amn =
(a) (2 Punkte) amn = 1 +
n+1
5 für m ≤ 2n
54. Grenzwerte (6 Punkte)
(a) (3 Punkte) Was kann man über den Grenzwert einer unbeschränkten monotonen
Folge aussagen?
¢n+1
¡
streng monoton fallend
(b) (3 Punkte) Beweisen Sie, dass die Folge an = 1 + n1
ist. Bestimmen Sie Ihren Grenzwert.
55. Grenzwerte mit e (5 Punkte)
µ
¶n+2
1
(a) (0 Punkte) lim 1 +
n→∞
n+2
¶2n+3
µ
1
(b) (2 Punkte) lim 1 +
n→∞
n+1
µ
¶
2n + 6 2n+4
(c) (0 Punkte) lim
n→∞ 2n + 2
(d) (0 Punkte) lim
n→∞
µ
n2 − 2
n2
¶2n2
¶n
1
n→∞
2n + 1
¶n
µ 2
n − 2n
(f) (3 Punkte) lim
n→∞ n2 + 3n
(e) (0 Punkte) lim
µ
1+
56. (0 Punkte) Cauchy-Kriterium
(a) Beweisen Sie, dass das Cauchy-Kriterium eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Folge ist.
P
(b) Aus dem Cauchy-Kriterium für die Reihe ∞
i=1 ai folgt, dass sie nur dann konvergieren kann, wenn die Folge (ai ) eine Nullfolge ist.
57. P
(0 Punkte) Rechnen Sie die Beziehung ea · eb = ea+b an Hand der Gleichung ex =
∞ xn
n
a+b mit
n=0 n! nach, indem Sie die Potenzen (a + b) im Grenzwertausdruck für e
dem binomischen Lehrsatz ausmultiplizieren.
58. Stetigkeit (5 Punkte)
Beweisen Sie: Wenn die Funktion f : R → R an der Stelle a stetig ist und die Funktion
g : R → R an der Stelle f (a) stetig ist, dann ist die Funktion h = f ◦g mit h(x) = g(f (x))
an der Stelle a stetig.
59. Laufzeit von Algorithmen (0 Punkte)
Drei Algorithmen A, B, C haben bei einer Eingabe der Größe n die Laufzeiten
fA (n) = 30n2 + 100n,
fB (n) = 5 · 3n ,
fC (n) = 10000 n log2 n.
(in Millisekunden). Aufgaben welcher Größe kann man damit (a) in einer Sekunde,
(b) in einer Stunde, (c) in einem Tag lösen? Wie ändern sich die Antworten, wenn man
einen Rechner verwendet, der zehnmal schneller ist?
9
Mathematik für Informatiker II, SS 2008 — 10. Übungsblatt
Abgabe bis Donnerstag, 19. Juni 2008, 10:00 Uhr
60. Nullfolgen und bestimmte Divergenz (4 Punkte)
Welche der folgenden Aussagen ist gültig? Beweisen Sie die Aussage gegebenenfalls,
oder finden Sie ein Gegenbeispiel.
(a)
(b)
(c)
(d)
Wenn limn→∞ an = ∞ ist, dann ist limn→∞ 1/an = 0.
Wenn limn→∞ an = −∞ ist, dann ist limn→∞ exp an = 0.
Wenn limn→∞ exp an = 0 ist, dann ist limn→∞ an = −∞.
Ist (an ) eine Nullfolge mit von 0 verschiedenen Werten, dann ist limn→∞ 1/an = ∞.
61. Exponentialfunktion schlägt jede Potenz. (5 Punkte)
(a) (1 Punkt) Beweisen Sie, dass for Folge (n2 /en )n∈N ab einem gewissen n0 monoton
fallend und daher beschränkt ist.
(b) (2 Punkte) Beweisen Sie durch Vergleich mit der Folge (n2 /en )n , dass die Folge
(n/en )n eine Nullfolge ist.
(c) (2 Punkte) Beweisen Sie für jedes a > 1 und jedes k:
an
lim k = ∞
n→∞ n
62. O-Notation und asymptotisches Wachstum (4 Punkte)
Beweisen Sie die folgenden Aussagen, indem Sie explizite Werte für die Konstanten c
und n0 bestimmen, sodass die Bedingung in der Definition der O-Notation erfüllt ist.
Beweisen Sie dann jeweils, dass die Bedingung für alle n ≥ n0 gilt.
(a) (2 Punkte) 3n2 + 5n + 100 = O(n2 )
(c) (0 Punkte) 3(log n)2 = O(n)
(b) (2 Punkte) 3n2 = O(2n )
(d) (0 Punkte) 3n = O(2
√
n)
63. O-Notation (6 Punkte)
Welche der folgenden Aussagen ist gültig? Beweisen Sie die Aussage gegebenenfalls,
oder finden Sie ein Gegenbeispiel. f und g sind Funktionen N → R>0 .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(2 Punkte) Wenn f (n) = O(g(n)) ist, dann ist f (n) + g(n) = O(g(n)).
(2 Punkte) Wenn f (n) = O(g(n)) ist, dann ist f (n) · g(n) = O(g(n)).
(2 Punkte) max{f (n), g(n)} = O(f (n) + g(n)).
(0 Punkte) f (n) + g(n) = O(max{f (n), g(n)}).
(0 Punkte) Wenn f (n) = O(g(n)) ist, dann ist 2f (n) = O(2g(n) ).
(0 Punkte) Aus f1 (n) = Ω(g1 (n)) und f2 (n) = O(g2 (n)) folgt f1 (n) + f2 (n) =
Θ(g1 (n) + g2 (n)).
64. Wachstum von Funktionen (0 Punkte)
Ordnen Sie die folgenden Funktionen aufsteigend nach ihrem asymptotische Wachstum,
d.h., wenn f vor g steht, muss f (n) = O(g(n)) gelten. Geben Sie jeweils eine kurze
Begründung, aus der ersichtlich wird, welche Umformungen und Regeln Sie angewendet
haben. Kennzeichnen Sie alle Funktionen, die das gleiche asymptotische Wachstum
haben (d.h. f (n) = Θ(g(n))).
f1 (n) = (3n)3
f2 (n) = (log2 n)!
f5 (n) = nlog2 n
f6 (n) = (log2 n)log2 n
10
f3 (n) = 3n · 4n
f7 (n) = log2 (n!)
f4 (n) = 4n · 3n
f8 (n) = 8log2 n
Mathematik für Informatiker II, SS 2008 — 11. Übungsblatt
Abgabe bis Donnerstag, 26. Juni 2008, 10:00 Uhr
65. Mathematische Modellierung und Extremwertbestimmung (5 Punkte)
Ein Schiff hat eine Strecke von 50 km stromaufwärts zurückzulegen, wobei der Fluss
mit 7 km/h strömt. Für die allgemeinen Betriebskosten muss man 55 Euro pro Stunde
berechnen. Die Kraftstoffkosten steigen quadratisch mit der Geschwindigkeit: Sie liegen
bei 0,3 v 2 Euro pro Stunde, wobei v die Geschwindigkeit des Schiffs in km/h relativ
zum Wasser angibt.
Mit welcher Geschwindigkeit muss das Schiff fahren, um die Kosten zu minimieren?
Welche Gesamtkosten fallen dabei an?
66. Regel von Bernoulli-L’Hospital (6 Punkte)
Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte, sofern sie existieren.
2
e2x + 2e−x − 3
x→∞
x2
(b) (2 Punkte) lim
(c) (2 Punkte) lim
x→0
3
ex − ex
(d) (0 Punkte) lim
x→1 x2 − 1
¶
µ
ln x 2
(e) (2 Punkte) lim
x→0 cot x
1 − cos x
(a) (0 Punkte) lim
x→0
x
1 − cos 4x
x2
(f) (0 Punkte) lim (1 − cos x) ln x
x→0+
67. Mittelwertsatz der Differentialrechnung (5 Punkte). Beweisen Sie folgenden Satz:
Sei p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 ein Polynom vom Grad n (d.h. an 6= 0), das n verschiedene reelle Nullstellen hat. Dann liegt jede Stelle, an der p(x) ein lokales Extremum
hat, zwischen der kleinsten und der größten Nullstelle des Polynoms.
Zeigen Sie, dass die Aussage ohne die Voraussetzung über die Nullstellen nicht gilt.
68. Kurvendiskussion: Extremstellen und Wendepunkte (5 Punkte)
Bestimmen Sie für die Funktion f (x) = 0,5x4 − 5x3 + 18x2 − 23x + 5 alle lokalen
Extremstellen und alle Wendepunkte. Stellen Sie dabei fest, um welche Arten von Extremstellen bzw. Wendepunkten es sich handelt.
Hinweis: Eine Nullstelle der ersten Ableitung kann leicht erraten werden. Zur Bestimmung der numerischen Werte der anderen Nullstellen und zur Entscheidung, ob es sich
um ein Maximum oder Minimum handelt, kann ein Taschenrechner verwendet werden.
69. Optimierung (0 Punkte). Für welchen Wert von x > 0 wird der Ausdruck x logx n
minimiert? (In Abhängigkeit von n ∈ N, n > 1.)
70. O-Notation (0 Punkte). Bestimmen Sie einen möglichst einfachen Ausdruck der Gestalt
Θ(f (n)) für folgende Formel. d·e steht hier für das Aufrunden zur nächsten ganzen Zahl.
2 )e
2dlog(n
/ log n + 2 · min{5, n} · max{5, 2n}
71. Extremwerte (0 Punkte)
Zwei Autos A1 und A2 fahren auf zwei geraden Straßen, die sich sich im Winkel von
30◦ kreuzen. Zum Zeitpunkt t = 0 passiert das Auto A1 gerade die Mitte der Kreuzung,
das Auto A2 hat die Kreuzung bereits passiert und befindet sich 600 m weiter. Auto A2
fährt mit konstanter Geschwindigkeit
von v2 = 20 m/s, während sich A1 fast doppelt
√
so schnell, nämlich mit v1 = 20 3 m/s, auf der anderen Straße bewegt.
Zu welchem Zeitpunkt ist die Entfernung zwischen den beiden Fahrzeugen am kleinsten?
11
Mathematik für Informatiker II, SS 2008 — 12. Übungsblatt
Abgabe bis Donnerstag, 3. Juli 2008, 10:00 Uhr
72. Optimierung der Laufzeit (6 Punkte)
Das Verfahren Radixsort kann n ganze Zahlen zwischen 1 und B in Zeit f (n) =
Θ(dlogb Be · (n + b)) sortieren, wobei der ganzzahlige Parameter b ≥ 2 frei gewählt
werden kann.
(a) (0 Punkte) Bestimmen Sie für n = 500, B = 232 den optimalen Wert von b, bei
dem dlogb Be · (n + b) am kleinsten wird (eventuell mit Hilfe eines Rechners).
(b) (2 Punkte) Bestimmen Sie die Laufzeit f ∗ (n), wenn man b := min{n, B} wählt.
(c) (4 Punkte) Zeigen Sie, dass dies bestenfalls um einen konstanten Faktor schlechter
ist als die beste Laufzeit, die man durch optimale Wahl von b erreichen kann.
Unterscheiden Sie dazu die folgenden beiden Fälle:
i. b ≥ n. In diesem Fall ist f (n) = Θ(logb B · b). Für welchen Wert b ≥ n wird
der Ausdruck logb B · b minimiert?
ii. b ≤ n. In diesem Fall ist f (n) = Θ(logb B · n). Für welchen Wert b ≤ n wird
der Ausdruck logb B · n minimiert?
Zeigen Sie, dass in beiden Fällen das Minimum in Ω(f ∗ (n)) liegt.
73. (3 Punkte) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion g(x) = arctan x als Inverse zur
Tangensfunktion.
74. Hyperbelfunktionen und inverse Hyperbelfunktionen (0 Punkte)
Die Funktionen Sinus hyperbolicus, Cosinus hyperbolicus, und Tangens hyperbolicus sind
so definiert:
ex − e−x
ex + e−x
sinh x
, cosh x :=
, tanh x :=
2
2
cosh x
Bestimmen Sie die Ableitungen dieser Funktionen. Welche Beziehung besteht zwischen
(sinh x)2 und (cosh x)2 ?
sinh x :=
Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heißen arsinh y, arcosh y, und artanh y
( Areasinus hyperbolicus“ usw. mit Betonung auf der ersten Silbe). Wie kann man
”
diese Funktionen direkt mit Hilfe der Logarithmusfunktion ausdrücken? Bestimmen Sie
geeignete Intervalle, auf denen sie definiert sind, und bestimmen Sie die Ableitungen.
2
75. (a) (2 Punkte) Bestimmen Sie die Ableitung von f (x) = esin(1+x ) .
(b) (1 Punkt) Bestimmen Sie ein geeignetes Intervall, in dem die Funktion f bijektiv
ist, und berechnen Sie die Umkehrfunktion.
(c) (2 Punkt) Berechnen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion.
76. (5 Punkte) Leiten Sie folgende Ausdrücke nach x ab.
µ
¶
2
3
1 − cos2 x
x
ex − ex
ln x 2
,
,
,
,
2
1 − cos x
x −1
cot x
ln(xsin x )
x2 · log2 log2 x
77. (0 Punkte) Bestimmen Sie die folgenden Integrale durch geeignete Substitutionen:
Z
Z
Z
Z
x
x
2e3x + 3ex
1
dx,
dx,
dx,
dx
1−x
1 − x2
x4 + 2x2 + 1
e2x + 1
12
Mathematik für Informatiker II, SS 2008 — 13. Übungsblatt
Abgabe bis Donnerstag, 10. Juli 2008, 10:00 Uhr
Sie können zusätzlich höchstens zwei Aufgaben aus den Aufgaben ab Nr. 90 abgeben und
dadurch bis zu 11 zusätzliche Punkte bekommen.
78. (4 Punkte) Bestimmen Sie das folgende Integral durch die Substitution u = cos t.
Z
1/2
−1
u
du
1 − u2
79. (0 Punkte) Bestimmen Sie die folgenden Integrale durch geeignete Substitutionen.
Z ∞
Z ∞
Z ∞
1
1
1
dx,
dx,
dx
2
2
2
x +9
x + 6x + 10
x + 6x + 9
1
1
1
80. Partialbruchzerlegung (5 Punkte)
Berechnen Sie
Z
−10
−11
3x − 3
dx.
x2 − 9
Hinweis: Der Nenner lässt sich in die Faktoren x2 − 9 = (x − 3)(x + 3) zerlegen. Stellen
B
A
+ x+3
mit geeigneten Konstanten A und B dar.
Sie den Integranden in der Form x−3
81. Abschätzung von Summen durch Integrale P
(5 Punkte)
Bestimmen Sie eine Funktion f (n), sodass nk=1 kdlog2 ke2 = Θ(f (n)) ist.
Hinweis: Prüfen Sie die folgende Ungleichung nach und summieren Sie dann über k.
Z k+1
Z k
2
2
x(1 + log2 x)2 dx
x(log2 x) dx ≤ kdlog2 ke ≤
k
k−1
82. (0 Punkte) Die Gammafunktion ist definiert als
Z ∞
Γ(x) =
tx−1 e−t dt.
0
Beweisen Sie Γ(x + 1) = x · Γ(x) durch partielle Integration. (Für welche x gilt diese
Gleichung?) Berechnen Sie Γ(1). Berechnen Sie Γ(10).
83. (a) (6 Punkte) Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion
f (x) = arcsin
2x
,
1 + x2
sowie die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs. Bestimmen Sie Monotonieverhalten und Asymptoten. Finden Sie lokale Extremalstellen und Wendepunkte, falls vorhanden. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion.
(b) (0 Punkte) Vergleichen Sie f 0 mit der Ableitung der arctan-Funktion.
84. (4 Punkte) Bestimmen Sie die ersten 5 Glieder der Taylor-Entwicklung der Funktion
f (x) = (1 + sin x)x um den Punkt x0 = 0.
85. (4 Punkte) Bis zu welcher Ordnung muss man die Taylor-Reihe von sin x entwickeln,
damit der Fehler für |x| ≤ π6 kleiner als 10−8 wird? Wie ist es für den Bereich |x| ≤ π2 ?
√
¡
¢
86. (0 Punkte) Bestimmen Sie lim t · ln t und lim sin12 x − x12 .
x→0
t→0+
13
87. (0 Punkte) Zeigen Sie, dass f (x) = tan x − x im Intervall (−π/2, π/2) umkehrbar ist
und dass die Umkehrfunktion g(y) die Gleichung g 0 (y) = (g(y) + y)−2 erfüllt.
88. (0 Punkte) Für die harmonischen Zahlen Hn gilt die Näherungsformel Hn = ln n +
1
+ O( n12 ) mit der Euler’schen Konstanten γ ≈ 0,57721. Beweisen Sie daraus die
γ + 2n
alternative Formel Hn = ln(n + 12 ) + γ + O( n12 ), indem Sie zeigen, dass die Differenz
zwischen den beiden Formeln von der Ordnung O( n12 ) ist.
Leiten Sie aus der Näherungsformel den Wert für die alternierende harmonische Reihe
1 − 12 + 13 − 41 + 51 − · · · = ln 2 her.
89. Operationen mit Potenzreihen (0 Punkte)
Die Taylor-Reihe für eine Funktion f (x) an der Stelle x0 = 2 beginnt mit
f (x) = 3 + 2(x − 2) − 5(x − 2)2 + · · ·
(a) Bestimmen Sie das Taylor-Polynom zweiten Grades für die Funktion ln f (x).
(Hinweis: Erste Möglichkeit: Sie setzen die Reihe für f (x) in die Taylor-Reihe für
ln y an der Stelle y0 = 3 ein.
Zweite Möglichkeit: Sie verwenden die Ableitungen von ln f (x) und setzen die erste
und zweite Ableitung von f an der Stelle x0 = 2, die Sie kennen, ein.)
(b) Bestimmen Sie das Taylor-Polynom zweiten Grades für die Funktion (f (x))2 .
(c) Bestimmen Sie das Taylor-Polynom zweiten Grades für die Umkehrfunktion g(y)
an der Stelle y0 = 3.
90. (4 freiwillige Zusatzpunkte) Bestimmen Sie das Taylorpolynom dritten Grades im Punkt
x0 = 0 für die Funktion f (x) = ln(1−x+2x2 ). Werten Sie das Polynom und die Funktion
an den Stellen x = −1, −0,9, −0,8, . . . , 0,9, 1 aus.
91. Harmonischer Holzhaufen (0 Punkte)
n gleich große, übereinandergestapelte Bretter von 1 m Länge sollen nach der rechten
Seite so weit wie möglich verschoben werden, ohne dass der Stapel umkippt. Physikalisch
bedeutet das, dass der gemeinsame Schwerpunkt aller Bretter, die auf einem Brett B
liegen, über B liegen muss. sn sei der Abstand des rechten Randes des obersten Brettes
zum rechten Rand des untersten Brettes. Also zum Beispiel s2 = 50 cm. Berechnen Sie
s50 , s100 und den Grenzwert für n → ∞.
92. (6 freiwillige Zusatzpunkte) Leiten Sie die folgenden Ausdrücke nach x ab.
r q
p
√
x2
2
x 1 − x + arcsin x, arctan √
,
x x x, x3 cos x, cos3 x,
x2 + x + 1
cos(x3 )
93. (4 freiwillige Zusatzpunkte) Zeigen Sie, dass für jede konvergente Folge (an ) auch die
n
konvergiert, und zwar gegen den gleichen Grenzwert. Geben Sie ein
Folge a1 +a2 +···+a
n
Bespiel dafür an, dass die Umkehrung der Aussage im Allgemeinen nicht gilt.
94. (0 Punkte) Welche Beziehung besteht zwischen sinh x und sin ix? Zwischen sin x und
sinh ix? Zwischen cosh x und cos ix? (Betrachten Sie dazu die Potenzreihen dieser Funktionen.) Welche Beziehung besteht zwischen arsinh y und arcsin y?
95. Kurvendiskussion (5 freiwillige Zusatzpunkte)
Betrachten Sie die Funktion f (x) = x/ ln x. Bestimmen Sie den Definitionsbereich sowie
die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs. Bestimmen Sie Monotonieverhalten und Asymptoten. Finden Sie lokale Extremalstellen und Wendepunkte, falls
vorhanden, und fertigen Sie eine Skizze der Kurve an.
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