Merkhilfe Integralrechnung

Merkhilfe Integralrechnung
Integralfunktion
Aa (x) = ?
Hauptsatz
A′a (x) = ?
Z
b
a
f (x) dx = ?
Bestandsfunktion
F (x) = ?
mittlerer Funktionswert
m =?
Volumen eines
Rotationskörpers
V =?
Stammfunktion von
k · f (x)
xr (r 6= −1)
sin x
cos x
ex
1
(x > 0)
x
f (ax + b)
Wachstumsfunktionen
Differenzialgleichung
Funktion
linear
f ′ (x) = ?
f (x) = ?
exponentiell
f ′ (x) = ?
f (x) = ?
beschränkt
f ′ (x) = ?
f (x) = ?
logistisch
f ′ (x) = ?
−
durchschnittliche (mittlere) Änderungsrate von f auf dem Intervall [a, b]
m =?
momentane (lokale) Änderungsrate von f an der Stelle a
?
c Roolfs
1
Inhalt der Fläche zwischen zwei Graphen,
obere Funktion f , untere g, Grenzen a, b
A =?
mehrere Schnittstellen
A =?
uneigentliches Integral
Z∞
f (x) dx = ?
a
Volumen eines Hohlkörpers
obere Funktion f , untere g, Grenzen a, b
V =?
c Roolfs
2
c Roolfs
3
Integralfunktion
Aa (x) =
Z
x
f (u) du
a
y
A−1 (x) =
bc
f (t) = 2 − 29 t2
−1
x
t
←−
c Roolfs
4
Z
x
2 3
52
f (t) dt = 2x − 27
x + 27
−1
Hauptsatz
A′a (x) = f (x)
Z
b
a
h
f (x) dx = F (x)
ib
a
= F (b) − F (a)
←−
c Roolfs
5
Bestandsfunktion
F (x) = F (a) +
Z
x
f (u) du
a
y
2
Höhenwachstum
1
Wachstumsgeschwindigkeit
2
4
6
8
x Zeit (in Monaten)
Gegeben ist die Wachstumsgeschwindigkeit (in m/Monat) von Sonnenblumen.
Zeichne den Verlauf des Höhenwachstums in Abhängigkeit von der Zeit, zur Zeit x = 0
beträgt die Höhe 0,20 m.
←−
c Roolfs
6
1
mittlerer Funktionswert m = b −a
Z
a
b
f (x) dx
y
f
m
3
2
1
1
2
←−
c Roolfs
7
3
4
5
6
7
x
Volumen eines
Rotationskörpers
V =π
Z
b
a
2
[ f (x) ] dx
y
f (x) =
1
1
←−
c Roolfs
8
x
√
x
Stammfunktion von
k · f (x)
xr (r 6= −1)
sin x
cos x
ex
1
(x > 0)
x
f (ax + b)
k · F (x)
←−
c Roolfs
9
Stammfunktion von
k · f (x)
xr (r 6= −1)
sin x
cos x
ex
1
(x > 0)
x
f (ax + b)
1
xr+1
r+1
←−
c Roolfs
10
Stammfunktion von
k · f (x)
xr (r 6= −1)
sin x
cos x
ex
1
(x > 0)
x
f (ax + b)
− cos x
←−
c Roolfs
11
Stammfunktion von
k · f (x)
xr (r 6= −1)
sin x
cos x
ex
1
(x > 0)
x
f (ax + b)
sin x
←−
c Roolfs
12
Stammfunktion von
k · f (x)
xr (r 6= −1)
sin x
cos x
ex
1
(x > 0)
x
f (ax + b)
ex
←−
c Roolfs
13
Stammfunktion von
k · f (x)
xr (r 6= −1)
sin x
cos x
ex
1
(x > 0)
x
f (ax + b)
ln x
←−
c Roolfs
14
Stammfunktion von
k · f (x)
xr (r 6= −1)
sin x
cos x
ex
1
(x > 0)
x
f (ax + b)
1
F (ax + b)
a
←−
c Roolfs
15
Wachstumsfunktionen
Differenzialgleichung
Funktion
linear
f ′ (x) = k
f (x) = ?
exponentiell
f ′ (x) = ?
f (x) = ?
beschränkt
f ′ (x) = ?
f (x) = ?
logistisch
f ′ (x) = ?
−
←−
c Roolfs
16
Wachstumsfunktionen
Differenzialgleichung
Funktion
linear
f ′ (x) = k
f (x) = kx + c
exponentiell
f ′ (x) = ?
f (x) = ?
beschränkt
f ′ (x) = ?
f (x) = ?
logistisch
f ′ (x) = ?
−
←−
c Roolfs
17
Wachstumsfunktionen
Differenzialgleichung
Funktion
linear
f ′ (x) = ?
f (x) = ?
exponentiell
f ′ (x) = kf (x)
f (x) = ?
beschränkt
f ′ (x) = ?
f (x) = ?
logistisch
f ′ (x) = ?
−
←−
c Roolfs
18
Wachstumsfunktionen
Differenzialgleichung
Funktion
linear
f ′ (x) = ?
f (x) = ?
exponentiell
f ′ (x) = kf (x)
f (x) = aekx
beschränkt
f ′ (x) = ?
f (x) = ?
logistisch
f ′ (x) = ?
−
y
x
←−
c Roolfs
19
Wachstumsfunktionen
Differenzialgleichung
Funktion
linear
f ′ (x) = ?
f (x) = ?
exponentiell
f ′ (x) = ?
f (x) = ?
beschränkt
f ′ (x) = k(S − f (x))
f (x) = ?
logistisch
f ′ (x) = ?
−
←−
c Roolfs
20
Wachstumsfunktionen
Differenzialgleichung
Funktion
linear
f ′ (x) = ?
f (x) = ?
exponentiell
f ′ (x) = ?
f (x) = ?
beschränkt
f ′ (x) = k(S − f (x))
f (x) = S − ae−kx
logistisch
f ′ (x) = ?
−
y
x
←−
c Roolfs
21
Wachstumsfunktionen
Differenzialgleichung
Funktion
linear
f ′ (x) = ?
f (x) = ?
exponentiell
f ′ (x) = ?
f (x) = ?
beschränkt
f ′ (x) = ?
f (x) = ?
logistisch
f ′ (x) = k(S − f (x))f (x)
−
y
x
←−
c Roolfs
22
durchschnittliche (mittlere) Änderungsrate von f auf dem Intervall [a, b]
m=
momentane (lokale) Änderungsrate von f an der Stelle a
?
y
f
7
6
5
4
3
2
f′
1
1
←−
c Roolfs
23
2
3
4
5
6
x
f (b) − f (a)
b−a
durchschnittliche (mittlere) Änderungsrate von f auf dem Intervall [a, b]
m =?
momentane (lokale) Änderungsrate von f an der Stelle a
f ′ (a)
←−
c Roolfs
24
Inhalt der Fläche zwischen zwei Graphen,
obere Funktion f , untere g, Grenzen a, b
A(x) =
mehrere Schnittstellen
Z
A(x) =
y
3
2
1
-1
g
f
1
2
-1
←−
c Roolfs
25
3
x
b
a
(f (x) − g(x)) dx
Inhalt der Fläche zwischen zwei Graphen,
obere Funktion f , untere g, Grenzen a, b
A=?
mehrere Schnittstellen
A=
Z
b
a
|f (x) − g(x)| dx
GTR, abs( )
oder abschnittsweise Berechnung
y
5
4
f
g
3
2
1
1
2
3
-1
←−
-2
c Roolfs
26
4
5
x
uneigentliches Integral
Z∞
Zu
a
a
f (x) dx = u→∞
lim
f (x) dx
y
3
f
2
g
1
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
Gegeben sind die Funktionen:
f (x) = (x + 1)2 · e−x
g(x) = 2(x + 1) · e−x
Deuten Sie
lim
Z
t
t→∞ −1
( f (x) − g(x)) dx = 0
geometrisch.
Zeigen Sie, dass f ′ (x) = g(x) − f (x) gilt und berechnen Sie den Inhalt der Fläche A,
die im Bereich −1 ≤ x ≤ 1 von den Graphen von f und g eingeschlossen wird.
[ zur Kontrolle: A = 4e ]
←−
c Roolfs
27
8
x
Volumen eines Hohlkörpers
obere Funktion f , untere g, Grenzen a, b
V =π
6= π
←−
c Roolfs
28
Z
Z
b
a
2
[ f (x) ] dx − π
Z
b
a
b
a
(f (x) − g(x))2 dx
2
[ g(x) ] dx