Lösung zur 1. Übung zur Analytischen Geometrie

Lösung zur 1. Übung zur Analytischen Geometrie
im Wintersemester 2013/14
Aufgabe 1.1
Gegeben ist eine Parkettierung der Ebene mit Quadraten, deren Seitenlängen den Katheten eines vorgegebenen rechtwinkligen Dreiecks entsprechen. Mit den Benennungen a, b, c
der Seitenlängen des Dreiecks wie in der Angabe haben die weißen Quadrate jeweils den
Flächeninhalt a2 und die grauen den Flächeninhalt b2 .
In die Parkettierung ist das Dreieck eingezeichnet, und mit dessen Hilfe wurde eine Parkettierung durch schräg gezeichnete Quadrate der Seitenlänge c konstruiert.
Es bleibt zu zeigen, dass der Flächeninhalt c2 eines schräg gezeichneten Quadrats gleich
der Summe der Flächeninhalte eines grauen und eines weißen Quadrats ist. Dazu betrachte man die grau bzw. weiß gefärbten Teile eines der schrägen Quadrate.
1 und 1 ’ haben beide die Seitenlängen a, b, c und sind
Argumentation 1: Die Dreiecke 4 und 4 ’ sind
somit nach dem Kongruenzsatz sss kongruent. Die Seiten der Dreiecke per Konstruktion parallel, ihre Innenwinkel also gleich. Da die senkrechten Seiten beider
4 und 4 ’ nach dem Kongruenzsatz wsw kongruent.
Dreiecke die Länge a − b haben, sind 5 zu einem der grauen Quadrate ergänzt mit 2 ’. Die
Bezeichne nun das Dreieck, das 2 und 2 ’ haben wieder parallele Seiten, und die senkrechten Seiten beider DreiDreiecke ecke haben die Länge b. Auch diese beiden Dreiecke sind also nach dem Kongruenzsatz
1 ’, 3 und 4 ’ bzw.
wsw kongruent. Da kongruente Dreiecke flächengleich sind, und da 2 ’ und 5 ein weißes bzw. ein graues Viereck bilden, folgt die Aussage.
Argumentation 2: Eine beliebige Translation, die einen Eckpunkt der schrägen Parkettierung auf einen anderen abbildet, stellt eine Symmetrie beider Parkettierungen dar. Daher
1 und 1 ’ bzw. 4 und 4 ’ bzw. 5 und 5 ’ bis auf eine solche Transsind die Flächen 2 und 5 lassen sich daher zu einem der grauen Quadrate zusammenfügen
lation gleich. und 1 , 3 und 4 zu einem der weißen. Es folgt die Aussage.