Exponentialfunktion und Logarithmus

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Exponentialfunktion und Logarithmus
Die Exponentialfunktion (e-Funktion) wird definiert durch: ex =
∞
P
n=0
xn
n!
e wird in diesem Fall als Basis bezeichnet, x als Exponent. Man kann die
Exponentialfunktion auch bezüglich anderer Basen betrachten. Es gelten folgende
Rechenregeln:
ax ay = ax+y ,
ax
= ax−y
ay
ax bx = (ab)x , (ax )y = (ay )x = axy
Der natürliche Logarithmus (ln) ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Also sind
x = ey und y = ln x äquivalente Gleichungen. Hier gilt:
ax = ex ln a ,
(a > 0)
x
ln(xy) = ln x + ln y , ln( y ) = ln x − ln y
ln xn = n ln x
Auch der Logarithmus kann für verschiedene Basen betrachtet werden: Man schreibt
logb x = u diese Gleichung ist wieder äquivalent zu bu = x.
Beispiel: log2 1024 = log2 210 = 10
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Folgen und Reihen
Eine Folge ist eine unendlich Folge von Zahlen. Eine Reihe ist eine unendliche Summe.
Konvergieren die Folgen (an ) und (bn ), dann gilt:
lim (an + bn ) = lim an + lim bn , lim (an bn ) = ( lim an )( lim bn )
n→∞
n→∞
n→∞
an
n→∞ bn
lim
∞
P
Betrachtet man die Reihe
n=0
=
n→∞
lim an
n→∞
lim bn
n→∞
n→∞
, falls lim bn 6= 0
n→∞
n→∞
an = a0 + a1 + a2 + ..., dann gilt:
lim an = 0 ist notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe, d.h.
∞
P
lim an 6= 0 ⇒
an konvergiert nicht!
n→∞
n→∞
n=0
Leibnizkriterium: Ist (|an |) eine monoton fallende Folge mit lim an = 0 und
n→∞
(an ) ist alternierend (d.h. abwechselndes Vorzeichen), dann konvergiert die Reihe
∞
P
an .
n=0
Majorantenkriterium: Sei
∞
P
n=0
bn eine konvergente Reihe, ausserdem seien
an > 0, bn > 0 und an < bn für n > n0 , dann konvergiert auch
Minorantenkriterium: Sei
∞
P
n=0
Quotientenkriterium: Gilt für die Reihe
∞
P
n=0
ist die Reihe konvergent.
Ist an ein Quotient von Polynomen (z.B.: an =
tioniert das Quotientenkriterium nicht!
∞
P
n=0
an .
bn eine divergente Reihe, ausserdem seien
an > 0, bn > 0 und an > bn für n > n0 , dann divergiert auch
Die Reihe
∞
P
∞
P
n=0
an .
| ≤ q < 1 für n > n0 , so
an : | aan+1
n
n+1
5n3 +n2 −7
oder an =
1
5n ),
so funk-
an , a ∈ IR nennt man geometrische Reihe.
n=0
Ist |a| < 1, a 6= 0, dann ist
∞
P
an =
n=0
Wichtig: Ist (an ) eine Folge und
1
1−a .
∞
P
n=0
an die dazugehörige Reihe, dann hat die
Folge im allgemeinen einen anderen Grenzwert als die Reihe!!