Mathematik 1 - Hochschule Augsburg

Mathematik 1
für Wirtschaftsinformatik
Wintersemester 2012/13
Stefan Etschberger
Hochschule Augsburg
Vorlesungsbegleitende Unterlagen
Arbeitsmaterial: Foliensatz, Aufgabenskript,
Mitschrift auf Wunsch
Bücher (unterstützend):
Luderer, Bernd (2003). Einstieg in die Wirtschaftsmathematik.
5. Aufl. Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden: Teubner.
Opitz, O. (2004). Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler.
9. Aufl. München: Oldenbourg.
Schäfer, Wolfgang, Kurt Georgi, Gisela Trippler und Christa Otto
(2009). Mathematik-Vorkurs: Übungs- und Arbeitsbuch für Studienanfänger. 6., durchges. Aufl., [1. Nachdr.] Studium. Wiesbaden: Teubner. ISBN: 9783835100367.
Sydsaeter, Knut und Peter Hammond (2008). Essential Mathematics for Economic Analysis. 3. Aufl. Prentice Hall. ISBN:
0273713248.
Teschl, Gerald und Susanne Teschl (2007). Mathematik für Informatiker. Bd. 2. Berlin, Heidelberg: Springer.
G. Teschl und S. Teschl (2007) Opitz (2004) Luderer (2003) Sydsaeter und Hammond (2008) Schäfer u. a. (2009)
Prüfung
Klausur:
Klausur am Ende des Semesters
Bearbeitungszeit: 60 Minuten
Erreichbare Punktzahl: 50
Hilfsmittel:
Schreibzeug,
Taschenrechner, der nicht 70! berechnen kann,
ein Blatt (DIN-A4, vorne und hinten beschrieben) mit
handgeschriebenen Notizen (keine Kopien oder Ausdrucke),
Veranstaltungskonzept
Mitschrift!
Folien sind nur
ergänzendes
Material zur
Mitschrift
Aufteilung
in Vorlesung
und Rechnen von
Beispielen und
Übungsaufgaben
Viele Aufgaben als Hausaufgabe, Besprechung in
Übungsgruppen (Frau Dr. Zerbe)
Ohne (selbständiges) Rechnen aller (!) Übungsaufgaben ist
Nutzen der Veranstaltung sehr gering
Fragenstellen ist jederzeit erwünscht [email protected]
hs-augsburg.de/~ste
Informations-Backbone für Unterlagen und mehr: Homepage
Bei Fragen oder Problemen: E-Mail
Zitate
Es gibt Dinge, die den
meisten Menschen
unglaublich
erscheinen, die nicht
Mathematik studiert
haben.
– Archimedes
Die Mathematik muss man schon deswegen studieren, weil sie die
Gedanken ordnet.
- M. W. Lomonossow
Physics is the study of the world, while mathematics is the study of all
possible worlds.
– Clifford Taubes
In mathematics you don’t understand things. You just get used to them.
– John von Neumann,
Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist
Menschenwerk.
– Leopold Kronecker
Du wolltest doch Algebra, da hast du den Salat.
– Jules Verne
Es ist schon alles gesagt worden, aber noch nicht von allen.
– Karl Valentin
Probleme, ...
...die Sie nach dem Kurs lösen können:
Sich widersprechende Politiker entlarven,
Bedarf an Einzelteilen in Produktionsprozessen bestimmen,
die Käuferfluktuation zwischen verschiedenen Produkten im
Zeitablauf analysieren,
die Nachfragereaktion von Kaffee auf Preisänderungen
bestimmen
Ihre Rente ausrechnen
Große Kisten in kleine Ecken quetschen
Möglichst viel Gewinn bei möglichst wenig
Ressourcenverbrauch machen
EduVote
Umfragen in Vorlesung mit EduVote:
System zur Abstimmung im Hörsaal
Herunterladen oder direkt benutzen unter eduvote.de
User-Id: [email protected]
EduVote
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System zur Abstimmung im Hörsaal
Herunterladen oder direkt benutzen unter eduvote.de
User-Id: [email protected]
Testfrage: Was ist ein Veterinär?
A) Ein ehemaliger Soldat
B) Ein Tierarzt
C) Jemand, der kein Fleisch isst
Vorbelastung mit Mathe?
Wie lange ist letzte Mathestunde her?
A) 0 bis 6 Monate
B) mehr als 6 Monate bis 1 Jahr
C) mehr als 1 Jahr bis 2 Jahre
D) mehr als 2 Jahre bis 4 Jahre
E) mehr als 4 Jahre
Begriffe
Begriff
Logarithmus
Kartesisches Produkt
Geometrische Reihe
Kapitalwert
Simplex-Algorithmus
Nie gehört
Gehört
Kann ich erklären
Mathematik 1: Gliederung
1
Grundlegende Bausteine
2
Grundlegende Werkzeuge
3
Aussagenlogik
4
Komplexe Zahlen
5
Lineare Algebra
6
Lineare Programme
1
Grundlegende Bausteine
Reelle Zahlen
Ganzzahlige Potenzen
Algebraische Umformungen
Brüche
Nichtganzzahlige Potenzen
Logarithmen
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Zahlen
„Vernünftige“ Zahlen
Natürliche Zahlen: N
1. Grundlegende
Bausteine
Ganze Zahlen; N
1.1. Reelle Zahlen
Rationale Zahlen: Q
1.2. Ganzzahlige Potenzen
Rationale Zahlen liegen unendlich dicht auf dem
Zahlenstrahl
1.3. Algebraische
Umformungen
1.4. Brüche
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
Aber
2. Grundlegende
Werkzeuge
Aber: Lösungen von Gleichungen wie
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
2
x =2
haben keine rationale Lösung
Folge: Es gibt auch irrationale Zahlen: Z.B.
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
√
2
10
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Dezimaldarstellung rationaler Zahlen
Zahldarstellung über Vielfache von 10
Die meisten Leute schreiben Zahlen heute im Dezimalsystem
Damit möglich: Schreiben jeder natürlichen Zahl mit
Kombinationen der Ziffern 0, 1, . . . , 9
3
2
1
0
z.B.: 2009 = 2 · 10 + 0 · 10 + 0 · 10 + 9 · 10
z.B.: 2,36 = 2 · 100 + 3 · 1011 + 6 · 1012 (endlicher Dezimalbruch)
1
101
+3·
1
102
+3·
1.1. Reelle Zahlen
1.2. Ganzzahlige Potenzen
1.3. Algebraische
Umformungen
1.4. Brüche
Mit Dezimalkomma: Schreiben rationaler Zahlen möglich
z.B.: 10
3 = 3,333 . . . = 3 + 3 ·
(unendlicher Dezimalbruch)
1. Grundlegende
Bausteine
1
103
+ ...
Jede rationale Zahl kann man über einen periodischen
Dezimalbruch darstellen
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
11
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Definition reeller Zahlen
Eine reelle Zahl hat die Form
x = m, a1 a2 a3 . . .
1. Grundlegende
Bausteine
Dabei: m: Ganze Zahl
1.1. Reelle Zahlen
und ai (mit i = 1, 2, . . .) ist unendliche Folge von Ziffern
von 0 bis 9
1.2. Ganzzahlige Potenzen
Damit: Nichtperiodische Dezimalbrüche heißen irrationale
Zahlen
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.3. Algebraische
Umformungen
1.4. Brüche
1.6. Logarithmen
2. Grundlegende
Werkzeuge
Beispiele:
√
2,
√
− 17,
3. Aussagenlogik
π,
0,1121121112 . . .
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
Rechenoperationen +, −, ·, : mit reellen Zahlen ergeben
wieder reelle Zahlen
Einzige Ausnahme: p0 ist keine reelle Zahl
6. Lineare Programme
12
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Ganzzahlige Potenzen
Abkürzung: 3 · 3 · 3 · 3 = 34 oder
Allgemein:
1
2
·
1
2
·
an = a · a · . . . a
1
2
·
1
2
·
1
2
=
1 5
2
1. Grundlegende
Bausteine
1.1. Reelle Zahlen
1.2. Ganzzahlige Potenzen
Rechenregeln:
1.3. Algebraische
Umformungen
1
a
= n
a
ar · as = ar+s
−n
s
(ar ) = ar·s
1.4. Brüche
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
Achtung: im allgemeinen
6. Lineare Programme
(a + b)r 6= ar + br
13
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Anwendungsbeispiel für Potenzen
Zinseszinsen
Anlage von 1000 € auf Bankkonto
Verzinsung jeweils am Jahresende 2,5 %
Zinsen nach einem Jahr: 1000 · 2,5 % = 25
Kontostand am Jahresende:
1. Grundlegende
Bausteine
1.1. Reelle Zahlen
1.2. Ganzzahlige Potenzen
1000 + 1000 · 2,5 % = 1000 · (1 + 0,025) = 1000 · 1,025
1.3. Algebraische
Umformungen
1.4. Brüche
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
Kontostand am Ende des zweiten Jahres:
1.6. Logarithmen
(1000 · 1,025) + (1000 · 1,025) · 0,025
= 1000 · 1,025 · (1 + 0,025)
2
= 1000 · 1,025 · 1,025 = 1000 · 1,025
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
Allgemein: Kontostand ist bei Anfangskapital K und einem
Zinssatz von i nach n Jahren
Kn = K · (1 + i)
n
14
Wichtige Rechenregeln
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Es gilt für beliebige Zahlen a, b, c:
(1) a + b = b + a
(2) (a + b) + c = a + (b + c)
(3) a + 0 = a
(4) a + (−a) = 0
(5) ab = ba
(6) (ab)c = a(bc)
(7) 1 · a = a
(8) aa−1 = 1 (für a 6= 0)
(9) (−a)b = a(−b) = −ab
(10) (−a)(−b) = ab
1. Grundlegende
Bausteine
1.1. Reelle Zahlen
1.2. Ganzzahlige Potenzen
1.3. Algebraische
Umformungen
1.4. Brüche
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
(11) a(b + c) = ab + ac
(12) (a + b)c = ac + bc
15
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Einfache Algebra
Algebraische Ausdrücke
Beispiel für einen algebraischen Ausdruck:
4x2 y2 + 7y4 x − 9xy + 11xy4
2 2
Die einzelnen Summanden (4x y , −9xy, usw.) heißen
Terme des Ausdrucks
Faktoren vor den Buchstaben (4, 7, −9, 11): Koeffizienten
Terme, die sich maximal durch Koeffizienten unterscheiden,
genannt Koeffizienten von der gleichen Art, können
zusammengefasst werden:
1. Grundlegende
Bausteine
1.1. Reelle Zahlen
1.2. Ganzzahlige Potenzen
1.3. Algebraische
Umformungen
1.4. Brüche
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4
4
4
7y x + 11xy = 18xy
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
Binomische Formeln
6. Lineare Programme
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)(a − b) = a2 − b2
16
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Faktorisieren
Primfaktorzerlegung
Zahlen können multiplikativ in Primfaktoren zerlegt werden,
1. Grundlegende
Bausteine
Beispiel
1.1. Reelle Zahlen
64 = 8 · 8 oder
1848 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11
Faktorisierung algebraischer Ausdrücke
Analog bei algebraischen Ausdrücken:
Zerlegung in irreduzible Faktoren
Beispiele:
5a2 b3 − 15ab2 = 5 · a · b2 · (ab − 3)
16a4 b2 − 9b4 = b2 · 4a2 − 3b · 4a2 + 3b
1.2. Ganzzahlige Potenzen
1.3. Algebraische
Umformungen
1.4. Brüche
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
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Mathematik 1
Stefan Etschberger
Brüche
Division zweier Zahlen (a, b ∈ R, b 6= 0) kann durch Bruch geschrieben
werden
a:b=
a
= a/b
b
1. Grundlegende
Bausteine
1.1. Reelle Zahlen
Rechenregeln (a, b, c ∈ R):
1.2. Ganzzahlige Potenzen
1.3. Algebraische
Umformungen
1.4. Brüche
a·c
a
=
b·c
b
−
(b, c 6= 0)
a
a
(−1)a
−a
= (−1) =
=
b
b
b
b
a
c
ad + cb
+ =
b
d
bd
a·
b
ab
=
c
c
−a
(−a) · (−1)
a
=
=
−b
(−b) · (−1)
b
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
a
b
a+b
+ =
c
c
c
2. Grundlegende
Werkzeuge
b
ac + b
a+ =
c
c
4. Komplexe Zahlen
a c
ac
· =
b d
bd
6. Lineare Programme
3. Aussagenlogik
5. Lineare Algebra
a c
a d
ad
: = · =
b d
b c
bc
18
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Quadratwurzel
Potenz mit ax , wenn a ≥ 0 und x = 1/2: Quadratwurzel
Schreibweise:
1
a2 =
√
a
wenn a ≥ 0
Rechenregeln für a 6= 0 und b > 0:
√
√ √
ab = a b
r
√
a
a
= √
b
b
1. Grundlegende
Bausteine
1.1. Reelle Zahlen
1.2. Ganzzahlige Potenzen
1.3. Algebraische
Umformungen
1.4. Brüche
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
Achtung: Im allgemeinen:
√
√
√
a + b 6= a + b
6. Lineare Programme
19
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N-te Wurzeln
1
Problem: Was bedeutet z.B. 5 3 ?
1
Damit Rechenregeln gültig bleiben: 5 3 ist Lösung der
Gleichung x3 = 5
Also Allgemein (a ∈ R, n ∈ N):
1 n
= a1 = a
an
Schreibweise:
1
an =
√
n
a
1. Grundlegende
Bausteine
1.1. Reelle Zahlen
1.2. Ganzzahlige Potenzen
1.3. Algebraische
Umformungen
1.4. Brüche
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
Allgemeine rationale Exponenten (a ∈ R, p ∈ N, q ∈ N):
a
p
q
= a
1
q
p
√ p
= qa
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
20
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Logarithmen
Wie löst man die Gleichung ax = b nach x auf?
(dabei soll gelten a, b > 0 und a 6= 1)
Neues Symbol: Der Logarithmus von b zur Basis a:
ax = b
⇔
x = loga b
1. Grundlegende
Bausteine
1.1. Reelle Zahlen
1.2. Ganzzahlige Potenzen
Beobachtungen:
loga a = 1
loga 1 = 0
loga (an ) = n
Rechenregeln:
1.3. Algebraische
Umformungen
1.4. Brüche
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
loga (c · d) = loga c + loga d
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
c
loga = loga c − loga d
d
loga bn = n · loga b
21
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Logarithmen
Spezielle Logarithmen:
log2 x = ld x
Logarithmus dualis
log10 x = log x
loge x = ln x
Dekadischer Logarithmus
Logarithmus naturalis
1. Grundlegende
Bausteine
Umrechnung von Basen
1.1. Reelle Zahlen
1.2. Ganzzahlige Potenzen
1.3. Algebraische
Umformungen
logc b
loga b =
logc a
1.4. Brüche
1.5. Nichtganzzahlige
Potenzen
1.6. Logarithmen
Beispiel
2. Grundlegende
Werkzeuge
Nach wieviel Jahren verdoppelt sich ein Anfangskapital K mit einem
jährlichen Zins von 5%?
3. Aussagenlogik
Lösung:
5. Lineare Algebra
n
n
2K = K · (1 + 5%) = K · 1,05
4. Komplexe Zahlen
6. Lineare Programme
n
⇔
1,05 = 2
⇔
n = log1,05 2 =
ln 2
≈ 14,2
ln 1,05
22