¨Ubungen Mathematik I, Blatt 3

Übungen Mathematik I, Blatt 3
Prof. Dr. L. Eichner∗
Wintersemester 1999/2000
3
Abbildungen
3.1
Welche Abbildungen sind surjektiv, injektiv oder bijektiv?
a) f : Z → Z mit f (z) = z 2 , z ∈ Z,
b) g : N → N mit g(n) = 2n, n ∈ N,
c) h : R → R mit h(r) = 2r, r ∈ R,
d) j : N → {0, 1, 2} mit j(n) = kleinster positiver Rest von (n geteilt durch 3), n ∈ N.
3.2
a) Sei A = {a, b, c} und B = {0, 1}. Geben Sie sämtliche Abbildungen von A in B an.
b) Sei A eine beliebige, endliche Menge, sei n = |A|. Wieviele Abbildungen gibt es von A in die
Menge {0, 1}?
c) Wieviele Teilmengen besitzt eine endliche Menge mit n Elementen?
3.3
Wieviel Permutationen besitzt eine Menge aus 6 Elementen?
4
Reelle Zahlen
4.1
Zeigen sie an Hand der Grundgesetze der reellen Zahlen: Jede Gleichung a + x = b mit a, b ∈ R
besitzt genau eine Lösung in R.
4.2
Beweisen Sie: x3 = 2 hat keine rationale Lösung.
∗ Fachbereich
MNI
1
5
Vollständige Induktion, Binome
5.1
Zeigen Sie durch vollständige Induktion:
a) 2n > n für n ≥ 1
b) n! > 2n−1 für n ≥ 3
5.2
Zeigen Sie durch vollständige Induktion:
a)
n
k=1
b)
n
k=1
n
1
=
k(k + 1)
n+1
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
5.3
Zeigen Sie durch vollständige Induktion: n verschiedene Geraden, die in einer Ebene durch einen
gemeinsamen Punkt gehen, teilen die Ebene in 2n Teile.
5.4
Berechnen Sie die folgenden Binomialkoeffizienten:
9
9
100
2
7
98
1000
0
1000
1000
5.5
Wenden Sie den binomischen Satz auf (a − b)5 an.
3. Hausaufgabe. Abgabe bis Mo, 1.11.1999, 11.20 Uhr
H.5
0 für t∈T
a) Sei A = {u, v, w, x, y, z}. Sei T ⊂ A. Sei fT (t) = 1 für t∈T . Legt man die feste Reihenfolge
u, v, w, x, y, z zugrunde, so wird mittels fT jeder Teilmenge von A umkehrbar eindeutig eine
6-stellige Dualzahl zugeordnet. Geben Sie an:
a1) zu den folgenden Teilmengen die zugeordneten Dualzahlen:
T1 = {u, w, z}
T2 = {u}
T3 = A
a2) zu den folgenden Dualzahlen die zugeordneten Teilmengen:
D1 = 101101
D2 = 000001
D3 = 000000
D4 = 011000
b) Wieviele Teilmengen besitzt eine Menge A, wenn für ihre Potenzmenge P (A) (= Menge aller
Teilmengen von A) gilt: |P (a)| = 2048.
2
H.6
a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion: 2n > 2n für alle n ∈ N mit n ≥ 3.
√
√
b) Vereinfachen Sie: (1 + x)4 − (1 − x)4 .
3