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Einstieg Mathematik an der FH
J.Böhm-Rietig
Hilfe zur Selbsthilfe
25.09.2014
Einstieg Mathematik
1
WS 2014
Prof. Böhm-Rietig (1.245)
Dr. Lau
(1.245)
Prof. Giannakopoulos
Fr. Breiderhoff
(2.225)
Internet: http://www.gm.fh-koeln.de/~boehm
http://www.gm.fh-koeln.de/~lau
Lernplattform: https://ilias.fh-koeln.de
dort Faktultät 10 und dann Mathematik 1
Password: Gauss14
Email: [email protected]
Heute: Einweisung, Logik & Mengen, Test
Morgen: Arithmetik, insbes. Potenzen
Nächste Woche: Vektorrechnung
Langweilige Vorlesung?
Fragen?
Anregungen?
Jederzeit!
... aber sonst bitte
aufmerksam und ruhig!
Literatur
Nicht nur zum Auffrischen:
Michael Knorrenschild: Vorkurs Mathematik.
Ein Übungsbuch für Fachhochschulen.
Fachbuchverlag Leipzig.
Preiswerter sehr elementarer Einstieg!
http://homepage.rub.de/Michael.Knorrenschild/lehre/mathFAQ.html
Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi, Gisela Trippler:
Mathematik- Vorkurs
Teubner-Verlag, Leipzig.
Musteraufgaben mit Lösungsweg.
Sehr viele Aufgaben! Hilfe für das ganze erste Semester.
H.Kreul, H.Ziebarth: Mathematik leichtgemacht.
Verlag Harri Deutsch. Sehr ausführlich und Tipps!
www.stefanbartz.de: Kernwissen!
Literatur
Schulformelsammlungen:
„Das große Tafelwerk - Formelsammlung für die
Sekundarstufe I, II“ Cornelsen Verlag.
H. Sieber und L. Huber: „Mathematische Formeln“
(erweiterte Ausgabe E) Klettverlag
Lehrbuch für das erste Semester:
Lothar Papula:
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler.
Band 1
Verlag Vieweg, Fachbücher der Technik, ca. 30€
Mathem. Formelsammlung, ca. 25€ .
Klausur- und Übungsaufgaben sehr zu empfehlen: ca.32€.
Zusammen ewas günstiger!
Internet u.a.
Der anscheinend beliebteste deutsche Mathe Prof auf Youtube:
http://www.youtube.com/user/JoernLoviscach
Darin finden Sie auch Filmchen zu seinen Vorkursen.
Allgemein, aber noch wenig Inhalte und nicht systematisch sortiert:
http://www.youtube.com/user/mathehilfe
Was Sie eigentlich alles von der Schule her kennen sollten
(Bezirksreg. NRW, Perspektive der Lehrer):
http://www.brd.nrw.de/lerntreffs/mathe/
Deutsche Mathe- und Physikaufgabensammlung mit Lös.:
http://btmdx1.mat.uni-bayreuth.de/smart/wp/
http://www.mathematik.de/ger/index.php
Mathematik lernen im Netz (alle kostenlos!):
http://www.matheboard.de/
http://www.mathe-online.at/
http://www.mathe-trainer.com/
Was sind die fachlichen Grundlagen?
Mathematik verstehen
Mathematisches Argumentieren
Eine große Schwierigkeit besteht darin, dass
Mathematiker (wollen Sie nicht werden, aber Sie sollen so
denken lernen!) unwahrscheinlich pingelig beim
Argumentieren sind:
Eine Aussage ist nur dann wahr, wenn Sie unter jeder in
den Voraussetzungen genannten Situation richtig ist.
Sie kann nicht durch nicht zutreffende Voraussetzungen
widerlegt werden, nur durch konkrete Gegenbeispiele
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Mathematisches Argumentieren
Widerlegen einer Aussage durch ein passendes
Gegenbeispiel ist also kinderleicht
Beweisen einer Aussage eher nicht.
Zum Beweis reichen auch unendlich viele zutreffende
Beispiele nicht!
Beweise können nur mittels Symbolen/allgemeinen
Ausdrücken gelingen.
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Beispiel für einen Beweis
Für jedes ebene rechtwinkelige Dreieck gilt der Satz von
Pythagoras: Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem
Hypothenusenquadarat: a2 + b2 = c2
C
•
b
a
h
q
A
p
•
c
B
Ist das Mathematik?
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Beispiel für einen Beweis
Ist das Mathematik?
b
•
c
a
Nein, höchstens eine Veranschaulichung des Satzes
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Beispiel für einen Beweis
Beweistrick:
Erweiterung des Bildes !
Das ist Mathematik! „Erkennen von Strukturen und
Zusammenhängen“.
b
a
b
•
•
c
c
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•
Ab hier sollten Sie selber
weitermachen können!
•
a
13
Erkennen und Beurteilen
Mathematik wird u.a. deshalb gelehrt, weil es uns beim
sicheren Erkennen von Zusammenhängen und beim
rationalen Beurteilen sehr hilft.
Wie das?
Indem die Selbstreflexionsfähigkeit und das kritsche
Hinterfragen des Bauchgefühls trainiert wird.
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Was wird hier vorausgesetzt ?
Vorkurs vom 8.-11.9.: Unterlagen bitte von Kommilitonen
besorgen!
Grundstrukturen : Logik (Und/Oder/Impli-kationen),
Mengen, Abbildung, Invertieren.
Kenntnisse des Zahlbereiches ℝ (z.B. Wurzeln)
Grundrechenregeln, bes. Bruchrechnen, Prozentrechnung.
Rechnen mit Termen : Ausdrücke mit Zahlen,
Rechenzeichen und Symbolen.
Gleichungskalkül bis quad. Gl., insbesondere auch die
Umsetzung von Textaufgaben!
Geometrie: Abstände, Gerade, Kreis, Drei- und Vielecke,
Flächeninhalte, Winkellehre, Trigonometrie, Strahlensätze
Elementare Funktionslehre:
http://www.gm.fh-koeln.de/~konen/Mathe1-WS/Vorkurs_Funk.pdf
bzw: http://www.gm.fh-koeln.de/~konen/Mathe1-WS/
Schlüsseltechnologie
Warum Mathematik?
http://www.youtube.com/watch?v=d02utMTgdS4
Mathematik ist eine Schlüsseltechnologie !
Jürgen Rüttgers, Ex-Ministerpräsident NRW in einer seiner
vorherigen Positionen:
Mathematik ist so etwas wie eine gemeinsame Sprache. Sie schafft
die Möglichkeit der genauen Kommunikation zwischen den
Naturwissenschaften und den Ingenieurwissenschaften und immer
mehr auch den Sozial- und Wirtschaftswissenschaften.
Mathematik ist darüber hinaus eine Schlüsseltechnologie der
Gegenwart. Ein Land, das den globalen Wettlauf um Wissen und
seine Verwertung bestehen will, benötigt Mathematik von höchster
wissenschaftlicher Qualität. Es braucht aber auch eine
mathematisch gebildete Bevölkerung.
Zitat: Rüttgers, J., Bundesminister für Bildung, Wissenschaft, Forschung und Technologie,
Grußadresse zum Internationalen Mathematiker-Kongress 1998. Berlin, Deutschland (1998).
Semesterüberblick
1 Woche Einstieg, Mengenlehre, (Un-)Gleichungen,
Geometrie
2 Wochen Vektorrechnung
1,5 Wochen komplexe Zahlen und Anwendungen
2 Wochen Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit. Dann
besonders gebrochen rationale Funktionen.
1,5 Woche Kurven auch in Polarkoordinaten, Wurzeln,
Exponential- und Logarithmenfunktion sowie Gleichungen
damit.
2,5 Woche Ableitungen und Anwendungen, besonders
Optimierung
2 Wochen Integration und Anwendungen
0,5 Musterklausur und Wiederholungen.
Semesterüberblick
Drei verpflichtende Projektarbeiten im Raum 2.112:
Woche des 22.4. Einstieg Maple: Vektoren, komplexe Zahlen
Woche des 21.5.: „Funktionslehre“
Woche des 17.6.: „Kurvendiskussion“ o.ä.
Termine
Terminefür
fürHausarbeiten
Hausarbeitengenau
genaubeachten!
beachten!
Mathematik-frei vom 22.12.14 – 2.1.15
Klausurwochen ab dem 2.2.2015
Die verbindlichen Testatbedingungen hängen ab nächster Woche
an meinem Büro (1.245) und am Labor (2.112) aus.
Unser Lernangebot
Vorlesungen zur Themenfestlegung und Einführung.
Aktivübungen (Dr. Lau u.a.): Besprechung der Übungen.
Verbesserte Diskussions-möglichkeiten wegen kleinerer
Gruppen. Dort auch Vorrechnen mit Sonderpunkten für
den nächsten Klausurtermin.
Basiskurs (Hr. Großmann) zur Aufarbeitung der
fachlichen Voraussetzungen. Besonders, wenn keine
sinnvolle und erfolgreiche Teilnahme im normalen Tempo
möglich erscheint: Immer Mo., Di. 16:30 o. 17 Uhr
Studentische Tutorien: besonders für mittelmäßig
vorgebildete, unsichere Anfänger
Anmeldung ab Mittwoch:
www.gm.fh-koeln.de/~boehm.
Unser Lernangebot
Dr.Lau und ich teilen das Büro 1.245
Sprechstunden: Mi. 11-12 Uhr in 1.245 .Auch immer kurz
vor/nach den Veranstaltungen.
Kontaktaufnahme per Email: jederzeit willkommen!
Bitte: erkennbare Namen und Betreff „Mathe 1“!
Feedback bitte dort oder auch ins Postfach 7.
Nutzen Sie unsere Lern-Angebote im Ilias (F.2)
Ausnahmsweise finden Sie diese Woche die Downloads
auf meiner Homepage:
http://www.gm.fh-koeln.de/~boehm
Benimm Regeln
Kommen Sie immer pünktlich!
Gehen Sie erst nach dem Ende der Veranstaltung!
Quasseln/telefonieren/“daddeln“/stören Sie nie im
Unterricht.
Aktive Teilnahme ist aber immer sehr erwünscht und dem
eigenen Lernfortschritt dienlich!
Noch einige Lernhinweise
Lernen tut man nur selber und auch nur, wenn man sich
anstrengt und konzentriert.
Lernen kann durch Gruppenarbeit befördert werden. Man
kann sich allerdings auch gegenseitig
herabziehen/behindern.
Lernen heißt aktiv werden. Es ist eine willentliche Tätigkeit,
keine passive Beschäftigung!
„Learn by doing“!
Es hat keinen Sinn, sich den Anfang jeder Aufgabe zeigen
zu lassen und dann nur selber weiter zu machen. In der
Klausur müssen Sie auch selber anfangen.
Aufgabenstellungen abschreiben ist da eine ganz doofe
Idee und bringt keinerlei Punkte!
Bevor Sie die Aufgaben nicht ohne Mustervorlage lösen
können, haben Sie noch nicht genug Hintergrundwissen!
Noch einige Lernhinweise
Machen Sie sich Check-Listen und To-Do-Listen!
Fangen Sie mit den Inhalten der Folien 6, 7 an!
Lernen Sie immer!!!
Der Lernfortschritt lässt sich nicht durch Gewalt oder
Willensstärke oder gar Medikamente/Drogen
beschleunigen.
Das bedeutet, dass Sie sofort anfangen sollten, mögliche
Defizite zu vermerken und sie möglichst umgehend und
gründlich ab zu stellen.
Wiederholen Sie nicht die Fehler Ihrer Schulzeit... Sie
wissen selber am besten, welche!
Bedenken Sie, es gibt auch noch weitere Fächer! Teilen
Sie sich die Zeit gut ein → Stundenplan!
Wie ehrlich sind Sie zu sich selbst?
Wieviel wollen Sie wirklich tun, um diesen Abschluß zu
erreichen?
Können Sie sich kritisch hinterfragen, Fehler als Chance
zum Lernen begreifen?
Entwicklen Sie Ihr Selbstvertrauen, indem Sie konstruktiv
kritisch mit der eigenen Situation umgehen.
Ernsthaftigkeit und das Bemühen, sich wirklich für Ihre
Themen zu engagieren machen Sie stark gegen die
allgegenwärtigen Ablenkungen der modernen Welt.
Stimmt Ihre Werthaltung? Was ist wichtiger: äußeres oder
innere Werte? Sein oder Haben?
Schaffen Sie es, Freude am Lernen (nicht nur Mathematik)
zu haben?
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Nun sind Sie dran!
Fragen, Wünsche?
Kompliziertes aus Einfachem
Entspannen Sie sich bei ein paar schönen „Fractals“:
http://philippe.boiteau.free.fr/
Mengenlehre und Logik
Ohne Mengenlehre sollte man nicht mit der Algebra
(dem Lösen von Gleichungen) weitermachen:
Im Allgemeinen gibt es mehr als eine Lösung, oft auch
(mehrere) Intervalle wie bei |x|>1.
Ohne elementare Logik kann man sich nicht wirklich
unmissverständlich ausdrücken:
x2 = 4 hat die Lösungen x=2 und x=-2,... oder?
Einordnung Logik & Mengenlehre
Geometrie
Algebra
DifferenzialIntegralRechnung
Mathem. Logik ↔ Mengenlehre → Strukturen → Zahlensysteme
Elementare, klassische Logik
Neben der in der elementaren Mathematik überall
vertretenen zweiwertigen Logik (nur richtig/falsch) gibt es
auch höhere Logiken beliebiger Stufe, siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Logik
Elementare, „klassische“ Logik:
http://de.wikipedia.org/wiki/Klassische_Logik
Basierend auf der Axiomatik
Jede Aussage hat einen von genau zwei
Wahrheitswerten, meist falsch und wahr
(Prinzip der Zweiwertigkeit/Bivalenzprinzip).
Der Wahrheitswert jeder zusammengesetzten
Aussage ist eindeutig durch die Wahrheitswerte
ihrer Teilaussagen bestimmt
Elementare, klassische Logik
Wahrheitstabellen: tabellarische Darstellung von
(zusammengesetzen) Aussagen in Spaltenform unter
Verwendung der Abkürzungen w/f bzw. 1/0.
Elementare Operatoren:
nicht
: ¬A
und
: A∧B
oder
: A∨B
Implikation : A ⇒B
Äquivalenz : A⇔B
Zur Bearbeitung ist es sinnvoll, jede Teilaussage und auch
alle Zwischenschritte bei der Abarbeitung
zusammengesetzter Ausdrücke einzeln zu bestimmen.
Klammern beachten!
Für n Teilaussagen benötigt man 2n Zeilen
Elementare, klassische Logik
Beachte 1: das umgangssprachliche „oder“ entspricht eher
dem logischen XOR, d.h. Die Aussage A oder (XOR) B ist
genau dann wahr, wenn genau eine der beiden Aussagen
wahr und die andere falsch ist.
Beispiel: „Wir gehens ins Kino oder in die Kneipe“
Beachte 2: das umgangsprachige „und“ ist mathematisch
oft als „oder“ zu sehen:
x=2 und x=-2 sind die beiden Lösungen von x2=4.
Mathematiker würden korekt sagen:
x2=4 ist äquivalent zu x=2 ∨ x =-2 („oder“)
Beachte 3: Doppelte Negationen/Verneinungen werden im
allgemeinen nicht oder falsch verstanden.
Elementare, klassische Logik
Es ist hier nicht genug Zeit und Platz auf Details
einzugehen. Bitte unbedingt ordentlich
nacharbeiten z.B. bei Knorrenschild.
Beispiel: „Ex falso sequitur quodlibet“
(aus Falschem folgt Beliebiges)
¬p ⇒ (p ⇒ q)
(z. B. „Wenn es nicht regnet, dann ist unter der
Voraussetzung, dass es (am selben Ort und zur
selben Zeit) regnet, die Erde eine Scheibe.“)
Hinweis:
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A⇒B
w
f
w
w
Elementare, klassische Logik
Erstellen einer Wahrheitstabelle aus Einzelaussagen
p
w
w
f
f
q
w
f
w
f
¬p
f
f
w
w
p⇒q
w
f
w
w
¬p ⇒ (p ⇒ q)
w
w
w
w
Man sieht, das diese berühmte Aussage immer wahr ist,
also wenn Sie Politiker werden wollen....
Logik und Mengenlehre
Während die Logik den Wahrheitsgehalt
zusammengesetzter Aussagen aus den
Wahrheitsgehalten der Teile ableitet, also das
Grundgerüst für das Argumentieren darstellt, ist die
Mengenlehre eher eine Beschreibung der Objekte
dieser Aussagen.
Eine Aussage „2 ist eine Primzahl“ ist wie alle
anderen logischen Aussagen verbunden mit einer
Mengenoperation: 2 ∈ℤp
wobei ℤp = {x∈ℕ | x ist Primzahl }.
Arbeitsdefinition
Definition: Mengen
Menge („A“), die Zusammenfassung bestimmter
wohlunterscheidbarer Objekte ( Elemente der Menge) zu
einem Ganzen.
Wichtig:
Es muß immer eindeutig sein, ob ein gegebenes Objekt zur
Menge gehört oder nicht!
Beispiele:
A : Alle PKW mit gültige Anmeldung heute in Gummersbach,
die weiß sind.
B : Alle PKW mit gültige Anmeldung heute in Gummersbach.
C : Alle in Deutschland aktuell angemeldeten PKW mit weißer
Farbe.
Negativbeispiel und Eingrenzung
keine Mengen:
D : Alle weißen PKW.
E : Alle Zahlen.
F : Alle Barbiere, die nur die Menschen rasieren, die
sich nicht selbst rasieren.
G : Die Menge aller Mengen
Erforderlich u.a.: sachliche, zeitliche und räumliche
Festlegung. Am besten auch der Bezug auf eine
wohldefinierte Grundmenge, aus der die Elemnte
abstammen. Kategorienfehler vermeiden!
So geht es:
D' : Alle weißen PKW auf diesem Parkplatz hier in
diesem Moment
E' : Alle natürlichen Zahlen kleiner gleich 10.
G' : Die Menge aller Teilmengen einer Menge A.
Mathematische Notation
Schreibweise
X := { a1; a2; ...; an} für endliche Mengen
X := { a1; a2; a3; ...} für unendliche/unbeschränke Mengen,
aber nur mit wirklich eindeutigem Bildungsgesetz!
X = {1 ; 4 ; 9 ; ...}
X := { x aus A | x besitzt die Eigenschaften ....... von A
und/oder die Eigenschaften ........ von A nicht }
P = {x ist eine natürliche Zahl | x>1 ist nur durch sich
selbst oder 1 ohne Rest teilbar }
X := {x ist eine natürliche Zahl | x = 2k für ein nat. k }
= {x ist eine natürliche Zahl | x/2 ist eine nat.Zahl }
Die erste ist eine Sonderform mit einem „Existenzquantor“: es existiert ein k, so dass...
Die zweite Form setzt weitere Rechnungen voraus.
Besondere Mengen
Zahlensysteme
ℕ : natürliche Zahlen ab 0 nach DIN 5473 : ℕ = { 0; 1; 2; ...}
ℤ : ganze Zahlen :
ℤ = {x | x oder -x ist aus ℕ }
ℚ : rationale Zahlen (gekürzte Bruchzahlen)
ℚ = { p | p aus ℤ und q>0 aus ℕ }
q
ℝ : reelle Zahlen (ℚ und alle möglichen Grenzwerte von
konvergenten Zahlenfolgen darin)
ℂ : komplexe Zahlen, in zwei symbolischen Schreibweisen:
x+jy oder rej
oft „i“ statt „j“ mit j2= 1
Die „Leere Menge“ : Ø = {} : Menge ohne Elemente.
Intervalle : [a;b] ; ]a;b[ ; ]a;b] ; [a;b[ = {xℝ| a ≤ x < b}
Die Potenzmenge einer gegebenen Menge A:
(A) : Menge aller Teilmengen von A, s.u.!
Beziehungen der Zahlenmengen
ℂ
Mengenschreibweise
Da wir fast ausschließlich Mengen reeller Zahlen
und auch Vektoren (wie Punkte, aber evtl. mehr
Koordinaten) behandeln hier die typischen
Schreibweisen:
Alle reellen Zahlen, die höchstens den Abstand 1
von π haben: {x∈ℝ | π-1 ≤ x ≤ π+1}.
Richtige Alternativen: {x∈ℝ | |π-x| ≤ 1} = [π-1 ; π+1]
Die y-Achse und die 45° Winkelhalbierende:
{(x,y)∈ℝ2 | x=0} und {(x,y)∈ℝ2 | x=y}
Alle Punkte der Ebene (Schreibweise ℝ2), die
oberhalb des Parabelbogens y=x2 liegen:
{(x,y)∈ℝ2 | y>x2}
Mengen
Aufgaben
Beschreiben Sie die Menge der durch 7 teilbaren
ganzen Zahlen formal korrekt!
Beschreiben Sie das Intervall von -Unendlich bis
einschließlich 0.
Welche reellen Zahlen haben von 0 einen Abstand
von mehr als 7 ?
2
Welche ganzen Zahlen erfüllen x < 9 ? Wie viele?
Zu welcher der Mengen ℕ, ℤ, ℚ, ℝ gehören diese
Zahlen:
 6,25; π; 1+π/2;
0,333... ; 0,250 ; e
2
Beziehungen
Element sein oder nicht sein
10 ist keine Primzahl, d.h. 10 ist kein Element der
oben genannten Menge P = {x ist eine natürliche Zahl |
x>1 ist nur durch sich selbst oder 1 ohne Rest teilbar }
10  P
aber
z.B. 13 ∈ P.
Das ist manchmal eine schwere Frage, s.o. oder:
Collatz-Problem:
Sei A die Menge aller natürlichen Zahlen, für die ein
einfacher Algorithmus (Collatz) immer auf 1 führt.
Man weiß nicht, ob A = ℕ.
Einzelfallprüfung kann beliebig lange dauern.
z.B. 16 Schritte bei „7“
Beziehungen
Teilmengen
A B
A  C
B ⊄ C
A : Alle PKW mit gültige Anmeldung heute in
Gummersbach, die weiß sind.
B : Alle PKW mit gültige Anmeldung heute in
Gummersbach.
C : Alle in Deutschland aktuell angemeldeten PKW mit
weißer Farbe.
„Nicht B  A“ schreibt man: B  A.
X  Y genau, wenn alle x aus X auch aus Y sind.
Zusammenhang mit der Logik:„wenn X, dann auch Y“.
Beziehungen
Obermenge
irrelevant, kein neues Konzept : B  A .
Schreibweise für Teilmengen: sehr selten A  B !
Also: nicht verwechseln mit < und ≤ .
Von der Definition her kann A  B auch
Gleichheit bedeuten!
Mengengleichheit :
A = B genau dann, wenn A  B und auch B  A .
Verknüpfung: Gemeinsamkeiten
Mengenschnitt
A
A∩B
B
Bei additiver Farbmischung ist der Schnitt von Blau und
Rot Lila/Violett. Bei subtraktiver Farbmischung mit dem
Tintendrucker ist der Schnitt von Cyan mit Magenta?
Mengenschnitt
Anwendung des Mengenschnitts
Definitionsbereich zusammengesetzter Funktionen:
 4− x – ln(x+1)
f(x) =
x≤4
f(x) =
g(x) –
x > -1
h(x)
oder - ; * ; / ; ^ ;...
Df = Dg
∩ Dh
= { x∈ℝ | -1 < x und x ≤ 4 }
= ] -1 ; 4 ]
: „Intervall“
Mengenschnitt
Anwendung bei Gleichungen
Ein nichtlineares Gleichungssystem:
sin(x)
cos(x)
= 0,5
=
(I)
3
(II)
2
1,5
sin(x)
cos(x)
1
0,5
>
0
-7
-0,5
-1
-1,5
-5
-3
-1
1
3
5
7
9
11
Mengenschnitt
Ein nichtlineares Gleichungssystem:
sin(x)
= 0,5
cos(x)
=
(I)
3
2
(II)
Alle Lösungen für (I):
A = {xℝ | x=/6+ 2k oder x=5/6+ 2k für ein kℤ }
Alle Lösungen für (II):
B = {xℝ | x=/6 + 2k oder x= -/6 + 2k für ein kℤ }
Das Gleichungssystem hat diese Lösungsmenge:
IL = A ∩ B = {xℝ | x=/6+2k für ein kℤ }
Mengenschnitt und logisches „und“
Die Elemente der Schnittmenge besitzen genau die
Eigenschaften beider Partner :
A ∩ B = {x | x hat die Eigenschaften von A
UND
x hat die Eigenschaften von B }
Oft ist er Schnitt zweier Mengen leer: keine
Gemeinsamkeiten: {1;2;3} ∩ {0;-1;-2} = Ø = {}
Jeder Schnitt mit der leeren Menge ist leer:
A∩Ø=Ø
immer!
Verknüfung: Zusammenlegungen
Mengenvereinigung:
A : meine Freunde
B : deine Freunde
A ∪ B : unsere Freunde
Achtung: Vereinigung ist keine „Rechnung“/Addition !
Mengenvereinigung
Anwendung der Vereinigung:
Ungleichungen wie :
1
x2 > 1
-1
1
Fall 1 : x  0 : Wurzel ziehen ergibt x > 1 als Teil
der Lösungsmenge :
LA = ] 1 ;  [
Fall 2 : x < 0 : Wurzel ziehen ergibt |x| > 1
also x < -1 als Teil der Lösungsmenge :
LB = ] - ; -1 [
lL = LA  LB = ] - ; -1 [  ] 1 ;  [
Mengenvereinigung
und logisches
„oder“
Die Elemente der Vereinigungsmenge besitzen
genau die Eigenschaften mindestens eines der
beiden Partner :
A  B = {x | x hat die Eigenschaften von A
ODER
x hat die Eigenschaften von B }
Manchmal bringt die Vereinigung nichts wirklich
Neues: {1;2;3;4}  {1;2;4} = {1;2;3;4}
Die Vereinigung mit einer Teilmenge ändert nichts:
AB=A
immer, wenn B  A !
Verknüpfung: Differenzmenge
Das Eine ohne das Andere:
Alle natürlichen Zahlen, die nicht gerade sind:
G := {x ∈ ℤ | x=2k für ein k∈ℤ }
A = ℕ\G
ℕ\G
ℕ
G
A={1;3;5;7;...}
Komplementärmenge : wie oben mit Obermenge
AC oder auch A := X \ A := { x  X | x  A } “nicht in A“
Mengenverknüpfungen
Aufgaben
➢
Bilden Sie die Vereinigung, den Schnitt und die beiden
Differenzmengen für
A = {a; c; e; g}
B = {f; e; d; c}
2
➢
Bestimmen Sie die Lösungsmenge von 4-x < 0
➢
[-3 ; -1[ ∩ ]-2 ; 0[ =
➢
[-3 ; -1[ ∪ ]-2 ; 0[ =
➢
Markieren Sie A\(B∪ C) !
Markieren Sie B\(A∩ C)
und A ∪ (B\C) !
A
B
C
Verbindung zur elementaren Logik
UND-Verknüpfung
↔ Mengenschnitt
ODER-Verknüpfung
↔ Mengenvereinigung
NICHT-Operator
↔ Komplementmenge
Implikation
↔ Teilmenge:
AB
wenn A die Aussage x∈M und
B die Aussage x∈N ist ↔ M  N .
Mengenverknüpfungen - Regeln
Assoziativ, Kommutativ : klar !
Achtung: A  B  C ohne Klammer ist undefiniert !
Distributivgesetze:
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
De Morgan´sche Distributivgesetze:
X \ (A  B) = (X \ A)  (X \ B)
X \ (A  B) = (X \ A)  (X \ B)
Alles sehr leicht mittels „Wolkenbildern“ begründbar:
„Venn-Diagramme“, s.o.!
Mächtigkeit von Mengen
Eine wichtige Anwendung: Das Zählen
Schulklasse mit 30 Schülern :
18 Musikfreunden
15 Lesefreunden
6 Schülern, die sowohl Musik als auch Lesen toll finden.
Wie viele Schüler mögen weder die Musik noch das Lesen?
Mächtigkeit von Mengen
Die Lösung mit Vereinigung und Komplement
Die Vereinigung enthält 27 Elemente
Es verbleiben 3 von 30 Schülern!
Mächtigkeit von Mengen
Rechnung
|Klasse|
= 30
|Musiker|
= 18
|Leser|
= 15
|Musiker ∩ Leser| = 6
|Musiker ∪ Leser| = 18 + 15 - 6
= 27
|“keine Musiker und keine Leser“| = 30 - 27 = 3
„keine Musiker und keine Leser“ =
= (Klasse
= Klasse
\ Musiker) ∩
\ (Musiker ∪
(Klasse
Leser)
\
Leser)
Mächtigkeit von Mengen
Definitionen
Mächtigkeit einer endlichen Menge:
Anzahl ihrer verschiedenen Elemente
Schreibweise :
A = { x 1, x 2 , ...
Mächtigkeit einer unendlichen
unendlich „∞“ .
Ganz raffinierte Leute unterscheiden
| ℕ |= 0 ,
|ℝ| = 1 , …
siehe http://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%A4chtigkeit_%28Mathematik%29
auch http://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_M
%C3%A4chtigkeit_von_Mengen
Mächtigkeit von Mengen
Zählregeln bei endlichen Mengen
|A \ B| = |A| − |A ∩ B|
nur bei Teilmengen: B ⊂ A dann |A \ B| = |A| − |B|
weil |A ∩ B| = B
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
|Menge aller Teilmengen von A| = |℘(A)|=
|A|
2
.
Mächtigkeit von Mengen
Aufgaben
Verständnis
In einer Klasse sind 18 Musiker, 12 Leser und 15 Schüler,
die entweder beides gerne machen oder nichts davon.
Wieviele Schüler sind in der Klasse ?
Teilmengen
Machen Sie sich an einer kleinen Menge klar, das und
warum diese Formel gilt :
|A|
|Menge aller Teilmengen von A| = 2 .
Teilmengenmächtigkeit
Welche Mächtigkeit hat die Menge der Primzahlen?
Sinnfrage
Die Mengenlehre ist für die richtige
Schreibweise z.B. umfangreicherer
Lösungsmengen wie bei Ungleichungen
unumgänglich.
Ohne Mengenlehre können Sie kein
einziges mathematisches Werkzeug wie
z.B. Funktionenlehre, lineare Algebra oder
Statistik erlernen und richtig anwenden.
http://wiki.zum.de/images/archive/f/fa/20090517170315!Kaleidoskop.jpg
Rechnen mit Zahlen und Symbolen
Prozentrechnung ist Bruchrechnung !
19% von
100€ sind (leider) 19€
P.-Satz
Grundwert
P.-Wert
schwieriger:
19% sind 38€. Was ist der Grundwert?
Nicht schwierig sondern ganz einfach mit Symbolen:
p*G=P
Also:
G = P/p
Wie rechnet man das? G = 38€/0,19 = 200€
Prozentsatz verrechnen als Dezimalbruch!
Rechnen mit Zahlen und Symbolen
Worauf müssen wir besonders achten?
Die Umsetzung unscharfer sprachlicher Ausdrücke in
mathematische Symbole (Variablen) und
Rechenoperationen ist nie einfach oder eindeutig!
Die Logik ist wichtig: Was ist gegeben, was ist gesucht,
was benötige ich nur als Zwischenergebnisse („Netto“ im
Bsp.) ?
Zum Üben:
Milch ist 2006 um 20% teurer geworden und 2007
nochmals um 10% im Preis gestiegen (alles Brutto).
Anfang 2008 kostet der Liter 0,89€. Was hat er Anfang
2006 gekostet?
Wie hoch war die mittlere Preissteigerung pro Jahr?
Rechnen mit Zahlen und Symbolen
Haben Sie das so gelöst ?
M2008 = 0,89
p2006 = 20%
Vorgaben
p2007 = 10%
M2006 = ?
gesucht
M2008 = M2006*(1+p2006)*(1+p2007)
Auf-Lösung :
M2006 = M2008/((1+p2006)*(1+p2007))
M2006 = 0,89 /( 1,20
* 1,10
)
M2006 = 0,67
Am Anfang von 2006 hat der Liter 0,67 gekostet.
Ansatz
Rechnen mit Zahlen und Symbolen
Bevor wir die zweite Frage beantworten zunächst einige
Beobachtungen:
Ohne die symbolische Formel im Kopf kann man dieses
Problem nicht lösen.
Auf-Lösen heißt immer Gleichungen umformen bzw.
umstellen.
Algebra
Die Rechenreihenfolge ist wichtig:
Brutto = Netto + Netto*p
≠ 2*Netto*p
Klammern sind ganz wichtig:
Brutto = Netto + Netto*p = Netto*(1+p)
Brüche sind allgegenwärtig :
p = P/G
Rechnen mit Zahlen und Symbolen
Zurück zur Übung:
Wie hoch war die mittlere Preissteigerung pro Jahr?
Vorgaben:
M2006 = 0,67
M2008 = 0,89
ges.: Symbolische mittlere Preissteigerung : p
Ansatz: M2008 = M2006 * (1+p) * (1+p)
= M2006 * (1+p)2
Womit wir bei der Potenzrechnung sind!
Bloß nicht ausmultiplizieren!
Lös.: (1+p) =
also p≈15,25%.

0,89
= 1,152544
0,67
P.S.: Wenn Sie mit 20% und
10% rechnen, dann kommt
nur 1,14891... heraus! Ist OK!
Terme
Terme sind z.B.:
23
7x
7x2+23
!
a∙x2+bx+c
für die
Eindeutigkeit
keine
Verwechslungsmöglichkeit
Auch Terme:
ax by
cx d  y
sin xy 23z
Arbeitsdefinition:
Terme sind Ausdrücke mit Bezug auf eine
Grundmenge, die nur aus Zahlen, Variablen,
Rechenzeichen, Funktionsnamen und Klammern
bestehen.
(Korrektheit vorausgesetzt)
Terme und Variablen
Arbeitsdefinition „Variable“:
Buchstaben oder Symbole, die an Stelle von Zahlen einer
Grundmenge verwendet werden.
Typisch: a, b, ...
x, y, z, x1, x2, ...
i, j, k, ...
α, β, ...
a,b,...: Parameter, also vorgegebene, aber unbekannte
Werte; nicht zu bestimmende Variablen!
i, j, k,... : Index- oder Laufvariablen z.B. für Vektoren oder
Summen.
x, y, z, ... : teilweise noch Unterscheidung nach „freien“
und „gebundenen“ Variablen, z.B. y = x2 .
Terme und Variablen
Wichtig:
gleiches Symbol ↔ gleicher (unbek.) Inhalt
ungleiches Symbol ↔ ungleicher oder auch
gleicher Inhalt !
Beispiel:
a∙x - b∙x = c
Für a=b : 0∙x = c
kann unendlich viele oder keine Lösung haben!
Also : (a-b)∙x = c
nicht einfach durch (a-b) teilen !!!
Klammern
Gerade beim letzten Beispiel Zinsrechnung sah man, wie
einfach das Rechnen wird, wenn man Klammern stehen
läßt.
Klammern legen die Berechnungsreihenfolge fest:
(a+b)∙c also zuerst die Summe!
Klammern legen fest, wo das Argument einer Funktion
steht und wo nicht:
sin(2x+1) ≠ sin 2x + 1
Klammern sind wichtig bei gemeinsamem
Vorzeichen:
ab −a−b
ab
−
=
=
c
c
−c
Klammern
Klammern machen manche Ausdrücke erst eindeutig:
a
c
b
Unbrauchbare
b =?
a =?
Schreibweisen!
Versuchen Sie es:
c
 
24
6
=
≠
24

=
6
3
3
Symbole für öffnende Klammern :
Symbole für schließende Klammern
( [ {
} ] )
Klammern
Natürliche Reihenfolge von Rechenoperationen:
Rechenz.
Rechnung
Vorrang/Priorität Stufe
+, Strichr.
geringste
1.
sin, f, f',...
Funktionen mittlere
2.
nicht überall einheitlich!
*, : oder /
Punktr.
erhöht
^ (Potenzen)
Wurzelr., Potenzr.
höchste
3.
4.
Die Rechnungen höherer Stufe werden immer vor denen
geringerer Stufe vollzogen.
Ansonsten Links-nach-Rechts-Regel.
Knorrenschild sieht das anders: S. 26
Klammern
Gesetze
(a+b)c = ac + bc
(Distributivgesetz)
(a+b)(c+d)=(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
(Ausmultiplizieren)
–(–a) = a
–(a–b) = –a+b
Achtung bei Vorzeichen
Bei Funktionen fast immer erforderlich:
sin(2+7)
f(x) = g(h(x))
y = 2(3x+7)((5-2x)2+sin2(2x+))
Klammern
Faktorisieren →
← Ausmultiplizieren
a2+2ab+b2 = (a+b)2
a2 2ab+b2 = (ab)2
a2 b2
= (a+b)(ab)
Übrigens: allgemeine Binomische Formel:
(a+b)n
n
=
∑
i=1

n i n−i
⋅a ⋅b
i
¿
Nur in Summenschreibweise mit Binomialkoeffizienten
richtig !
Summen:
z.B.
100
a10  a11...  a100 =
∑
i = 10
ai
Klammern
Klammern und das Faktorisieren sind vor allem beim
Gleichungslösen sehr hilfreich:
4
3
2
2
x −4x −3x 10x8 = x−4⋅x1 ⋅x−2
Nullstellen???
Nullstellen: klar!
Klammern üben:
(x+2y)·(y-x) =
9x2+6x =
9x2+6xy =
9 x6  x=
Brüche, Bruchterme
Erstmal: keine Angst mehr vor Brüchen. Sie sind viel
praktischer bei vielen Dingen als „Dezimalbrüche“ :
Können Sie sich unter
0,071428571428571428571428571428571
was vorstellen?
Können Sie!
Denken Sie an eine
Torte mit verbleibenden
14 Stücken.
Leider bekommen Sie
nur eines: 1/14
1/14=0,0714...
Brüche, Bruchterme
Arbeitsdefinition „Brüche“:
Brüche sind symbolisch geschrieben aber nicht
durchgeführte Auflösungen einfacher Gleichungen.
...also echt was für Faule!
Bsp.:
8x = 4
1
→
x= 4
=
8
2
Die Doppeldeutigkeit rührt daher, dass x eben auch
Lösung von 2x=1 ist.
Das nennt man übrigens Kürzungsregel.
Alle Regeln resultieren aus dieser Überlegung:
Brüche, Bruchterme :
(B1)
(B2)
(B3)
(B4)
Regeln
a c
a±c
± =
: gleichnamige Strichrechnung
b b
b
a c
ad±bc
für b⋅d≠0 : ungleichnamig
± =
b d
bd
a c
a⋅c
für b⋅d≠0 : Multiplikation
⋅ =
b d
b⋅d
a
b
a c
a⋅d
für b⋅c⋅d≠0 : Division
: =
=
b d
b⋅c
c
d


Brüche, Bruchterme: Wichtige Folgen
(B3´)
(B3´´)
a⋅c a
=
b⋅c b
Für b≠0 :
für c≠0
: kürzen/erweitern
a
= 0 ⇔ a=0 : Gleichungen lösen
b
(B3´´´) Ungleichungen lösen :
a
0∧b≠0 ⇔ a⋅b0 ⇔ a0∧b0 ∨ a0∧b0
b
Auf Deutsch:
Ein Bruch ist dann positiv,
wenn Zähler und Nenner
das gleiche Vorzeichen haben.
bedeutungsgleich
oder äquivalent
Brüche, Bruchterme
Wie kürzt man richtig?
Die gemeinsamen Faktoren eindeutig herausstellen:
3⋅ x −2y 
3x −6y
=
= x −2y
3
3⋅1
(B3´) und Komm.
Wie kürzt man falsch ?
2
a −a
=a
a
Selber probieren:
3x 6y
=
x 2y
Das Ergebnis ist nur
dann 3, wenn x+2y≠0
Übung: Brüche, Bruchterme
Hinweis Strichrechnung mit Brüchen:
Verwenden Sie nach Möglichkeit das kleinste gemeinsame
Vielfache („kgV“) der Nenner!
Rechnen Sie ohne Taschenrechner :
7 9
− =
6 14
Nun können Sie das auch mit Symbolen:
5
12
−
=
2
6a 9ab
2 2
kgV ist 2·3 ·a ·b
5
12 5b−8a
−
=
2
6a 9ab
6a 2 b
Brüche, Bruchterme
Beweis von (B3) durch die elementare Definition:
a c
a
steht
für
x⋅y
mit
⋅
x=
b d
b
Nach Definition der Brüche ist:
b⋅x =a
c
y=
d
und d⋅y =c
Der Fall a=0 oder c=0 ist trivial. Ansonsten können wir das
Produkt bilden („Äquivalenzumformung“):
b⋅x⋅d⋅y =a⋅c
Kommutativgesetz:
b⋅d⋅x⋅y =a⋅c
Brüche, Bruchterme
Beweis von (B3) , Fortsetzung:
Setze
z = x⋅y, dann gilt:
b⋅d⋅z =a⋅c
Also, da b⋅d≠0 nach Voraussetzung:
a⋅c
z=
Etwas schwindelig
b⋅d
geworden?
„Das“ war zu zeigen!
Das ist Mathematik !
a c
a⋅c
⋅ = x⋅y = z =
Üben Sie den Beweis
b d
b⋅d
für (B2) !
Tipp: die Gl. passend
erweitern, addieren.
Brüche, Bruchterme
Zum Nachdenken: Was ist hier falsch?
9 4
9 −4
= − = 3− 2 = 1
3 2
3 2
Richtig: überhaupt nichts!
Weitere Vorteile der Bruchrechnung:
222
⋅17=6,529⋅17=110,993
34
Das ist natürlich Unsinn! Das Ergebnis muß 111 lauten und
geht mit Bruchrechnung auch im Kopf!
Hinweis Dezimalbrüche: immer auf ausreichende
Genauigkeit achten, also Zwischenergebnisse mit
mindestens einer zusätzlichen tragenden Stelle!
Brüche, Bruchterme
Übung: vereinfachen Sie unter Angabe aller verwendeter
Regel und Voraussetzungen!
2
a
−abac
Leicht:
b−a−c
Schwerer:
2
2
a b
b
a
 − 2
−
b a a  ab abb2
Lösungshinweis: das
Ergebnis ist einfach!
Terme mit Potenzen
Verbindliche Regeln der Potenzrechnung:
Definition von ab nachschlagen!!
In den meisten Fällen muß a>0 sein.
00 ist weder definiert noch definierbar!
(P1) (a·b)c = ac · bc
(gleicher Exponent)
(P1') (a/b)c = ac / bc
(b≠0, gleicher Exponent)
(P2) ab+c = ab · ac
(gleiche Basis)
(P2') ab−c = ab / ac
(a≠0, gleiche Basis)
(P3) (ab)c = a(b·c) = (ac)b
≠ a(bc) im allgemeinen!
Alle anderen „Formeln“ bis auf die „Binomische F.“ sind
falsch!!!
Terme mit Wurzeln
Definition „Wurzel“ :
x ist eine (n-te) Wurzel von a,
falls diese Gleichung erfüllt ist
xn = a
mit:
n eine natürliche Zahl >1 und a≥0 falls n gerade.
Schreibweise für die „erste“ Wurzel einer Zahl:
n
√ a ist eine Zahl (≥0 für n gerade) und Lösung von
xn = a.
Arbeitsdefinition „Wurzelziehen“: derartige Gleichungen
lösen. Beispiel „Quadratwurzel“: 2.Wurzel (≥0)
In den reellen Zahlen gibt es für gerades n immer zwei,
6
6
x = 64 ⇔ x=±√ 64=±2
für ungerades n immer genau eine Wurzel:
x3 =-8 ⇔ x= √3 −8=−2
Terme mit Wurzeln
Achtung: derartige Gleichungen haben häufig mehr als
eine Lösung, es gibt also nicht „die“ 2. Wurzel von 4.
Bei ungeradem n kann man auch a<0 zulassen:
(-2)3 = -8, also ist -2 eine (die) 3. Wurzel von -8.
Im ersten Semester werden Sie die komplexen Zahlen
kennenlernen, dann wird das alles sehr viel einfacher, weil
xn=a für a≠0 stets genau n verschiedene
Wurzeln/Lösungen hat.
Elementare Algebra : Un-, Gleichungen
Algebra: aus dem Arabischen (al-ǧabr : „das Ergänzen“/
„das Einrichten“) mit der Bedeutung von „Rechenverfahren
durch Ergänzen und Ausgleichen“.
Es ging damals um das praktische Bestimmen von
Lösungen für alltägliche Aufgaben, siee Textaufgaben
unten).
Das war früher ganz sicher viel
schwerer, ist aber durch einheitliche,
international verständliche Formalismen
und Sprachelemente der elementaren
Algebra heute für fast jede Person
erlernbar.
Quadratische Gleichungen
√( )
2
−p
p
±
−q
2
2
Eine einzige reelle Lösung für (p/2)2=q
Zwei reelle Lösungen für (p/2)2>q
Für (p/2)2<q keine reellen Lösungen!
Graphische Lösungen:
x 2 + p⋅x +q=0 ⇔ x 1,2 =
Bruchgleichungen
Arbeitsdefinition: Bruchgleichungen sind solche
Gleichungen, bei denen Vielfache der Unbekannten im
Nenner und evtl. Zähler von Brüchen ohne (Potenzen oder)
Funktionen auftreten.
Beispiel:
x 52
=11
x 2
Lösungsweg bei einfachen Formen:
1.Alle Terme mit x nach links!
2.Hauptnenner bilden (kgV) !
3.Unter der Bedingung Hauptnenner≠0 damit
multiplizieren!
4.Alle Terme mit x nach links sollte eine
algebraische Gleichung ergeben.
Bruchgleichungen
Beispiel :
1.
2.
3.
13
16
= 15−
2x −7
x 4
13
16

= 15
2x −7 x 4
13⋅ x 4  16⋅2x−7
= 15
2x−7⋅ x 4
13⋅ x 4  16⋅2x −7 = 15⋅2x −7⋅ x 4
unter der Voraussetzung (2x-7)(x+4)≠0, d.h.
x≠7/2 und x≠-4.
4. ... x2 - x - 12 = 0
also x=4 oder x=-3.
Bruchgleichungen
Beobachtung: obgleich im Nenner nur x bzw. 2x auftreten,
resultiert dennoch eine quadratische Gleichung.
Achtung: Beachten Sie immer den Definitionsbereich!
x −2
z.B.
hat keine Lösung!
=
0
2
x −4
Bruchgleichung zur Übung
Lösen Sie unter Angabe des Definitionsbereiches und
machen Sie eine (korrekte!) Probe :
5
x
1
−
=
2x4 4− x 2
Hinweis zur Probe:
Sie setzen jede Ihrer Lösungen in die gegebene
Gleichung (hier nur auf der linken Seite) ein und formen
solange mittels elementarer Bruchrechnung um, bis klar
ist, ob das Ergebnis auf beiden Seiten übereinstimmt oder
nicht!
Bruchgleichung zur Übung
Diese Gleichung
5
x
1
−
=
2x4 4− x 2
hat genau diese beiden Lösungen: x1=1, x2=-12
Korrekte Schreibweise als Menge: IL ={1;-12}
Sach- sind keine Lachaufgaben
Typische kleine Sachaufgaben wie Mischungsrechnung
o.ä. sind häufig als lineare Gleichungssyteme
behandelbar.
Zwei oder drei lineare Gleichungen
In den einfachsten Fällen linearer Gleichungssysteme löst
man diese meist durch „scharfes Hinsehen“ oder
„Elimination und Einsetzen“.
Arbeitsdefinition lineare Gleichungen:
Eine l.Gl. enthält neben den Variablen in einfacher Form
ausschließlich Zahlen, Zahlenvorfaktoren und
Strichrechnung:
3x + 4y – 5z +2a -77b = 23
ist linear
3x2 + 1/y + sin(z) = 44
ist nichtlinear
x zum Quadrat,
also nicht
„in einfacher Form“
y im Nenner,
also nicht
„in einfacher Form“
z in einer Funktion,
also nicht
„in einfacher Form“
Zwei oder drei lineare Gleichungen
Zunächst werden wir nur den Fall betrachten, dass
genauso viele nutzbare (!) Gleichungen wie Unbekannte
auftreten.
Zwei lineare Gleichungen:
a,b,c,d,e,f seien feste Zahlen,
x,y die beiden Unbekannten:
ax+by = c
Lin. Gl.system in Standardform
dx+ey = f
Man kann nun direkt die Lösung aufschreiben, oder
(nächste Folie) schon mal Elimination und Einsetzen üben:
x=
ce−bf
ae−bd
y=
af −cd
ae−bd
im Fall ae=bd gibt es keine Lösung!
Zwei oder drei lineare Gleichungen
Eliminations- und Einsetzungsverfahren:
Die Idee ist, eine Gleichung „nach einer der Variablen
aufzulösen“ (Elimination) und diesen Wert dann in der
zweiten Gleichung zu verwenden („einzusetzen“), so dass
dann nur eine Gleichung mit einer Unbekannten übrig
bleibt.
Zwei oder drei lineare Gleichungen
Beispiel:
3x – 5y = -7
(−7)∗3−(−5)∗8
3⋅8−(−7)⋅2
x=
y=
3∗3−(−5)∗2
3∗3−(−5)∗2
2x + 3y = 8
Enthält eine Gleichung nur eine Variable, dann
erübrigt/vereinfacht sich der erste Schritt :
z.B. Gl.1 nach x auflösen: x = -7/3 + (5/3)y
Ersetzen (einsetzen bzw. eliminieren) in die andere
Gleichung:
2(-7/3 + (5/3)y) + 3y = 8
Lösen: (19/3)y = 38/3 also y=2.
Rückwärts einsetzen: x = -7/3 + (5/3)y, also x=1.
Zwei oder drei lineare Gleichungen
Die allgemeine Formel für drei Gleichungen kann man sich
schwer merken, daher nur das Eliminationsverfahren im
Beispiel.
Bitte unbedingt sehr sorgfältig durchführen, am besten mit
kurzen Notizen, welche Variable in welcher Reihenfolge
bearbeitet wird:
Hat man eine Gleichung nach einer Variable aufgelöst
(geschickt wählen!), dann setzen man in die beiden
verbleibenden ein und erhält ein lineares
Gleichungssystem mit nur noch zwei Variablen, welches
man dann mit den obigen Methoden knacken kann:
Drei lineare Gleichungen
Beispiel: 2x - 3y + 4z
=8
x- y - z
= -4
3x + y – z
=2
Günstig ist Gl.2 für jede der Variablen:
Wähle Gl. 2 für x:
x = -4 + y + z
Einsetzen in die Gl. 1 und 3:
2(-4 + y + z) - 3y + 4z = 8
3(-4 + y + z) + y – z
=2
Vereinfachen in die Standardform:
-y + 6z = 16
4y + 2z = 14
Lösung: y=2, z=3 und damit auch x=1.
Einfache Sach- und Textaufgaben
Es geht darum, einen realen Zusammenhang
in ein mathematisches Modell abzubilden,
aus dem Modell die Lösung/die Lösungsmenge
und weitere Hinweise zur Lösung abzuleiten
und schließlich die Lösung in die Realität / in den
Zusammenhang der Aufgabenstellung zurück zu
transferieren.
Einfache Sach- und Textaufgaben
Mein Vorschlag: 2 oder 3 Spalten:
Realität –
Aufgabenstellung
Gegeben:
Gesucht:
Nebenbedingungen:
Kurzfassung auch mit
korrekte
unzulässiger
mathematische
mathematischer
Notation
Notation
...
a,b,... Parameter
...
x,y,...EntscheidungsVariablen
Gültigkeitsbereiche
BestimmungsWas ist wichtig, was
gleichung oft
irrelevant?
Zielfunktion.
Weitere Un-/
Gleichungen
Einfache Sach- und Textaufgaben
Aufgabe:
Der Start zum 200m-Lauf innerhalb eines Sportfestes erfolgt
mittels Startpistole (Knall).
Dabei steht der Starter 10m hinter der Startlinie.
Die Zeitnehmer am Ziel betätigen ihre Stoppuhren, sobald der
Abschußrauch sichbar wird.
Wie groß ist die Zeitdifferenz, die man gegenüber dem
akustischen Signal auf diese Weise ausschaltet, wenn die
Schallgeschwindigkeit 340 m/s beträgt?
(Schäfer-G.-T. Kap. 6, A.1.7.27)
Einfache Sach- und Textaufgaben
Realität
Sammlung
Aufgabenbearbeitung
Geg.: 200m
Akustik:
10m hinter Start
vs=340m/s
Schallgeschw.
Optik: vL=c
340m/s
Strecke: d=190m
Ges.: Zeitdifferenz
Strecke/Zeit
Signale
=
Nebenbed.:
DurchschnittsWegstrecke ist
geschwindigkeit
190m (oder ?)
lang.
Lichtgeschw. ∞
Mathematik
Entsch.Var.: „t“ für die
Zeitdauer des
akustischen Signals
t[0;[
s/t=v  t = s/v
mit s=d und v=vs
t = 190 [m] / 340 [m/s]
t =0,56 [s]
Dimensionskontrolle !
Einfache Sach- und Textaufgaben
Rückkopplung in die Realität, d.h. Interpretation im
Aufgabenkontext: Die Zeitdifferenz zwischen dem
akustischen und dem optischen Signal beträgt 0,559s,
wenn Start, Ziel und Startschuß in einer Linie liegen.
Weitere Diskussion:
Das Ergebnis lautet 0,618s, wenn man den Starter
210m von der Ziellinie vermutet (wie SGT).
Im Stadion sind 100m entlang eines Halbkreises zu
rechnen!
Schallgeschw. hängt von der Situation ab!
Reaktionszeiten??
Einfache Sach- und Textaufgaben
Zum Üben: SGT K.6, Bsp. 6.8
2 Bahnstationen sind 30km voneinander entfernt. Von A
fährt ein Güterzug mit einer konstanten Geschw. Von 30
km/h in Richtung B. Von B fährt ein D-Zug mit 90 km/h in
Richtung A.
Wo/Wann treffen sich die Züge, wenn Sie gleichzeitig
abfahren?
Lösungshinweis: nach 15 Minuten!
Diskutieren Sie Details wie Zuglänge, Trassenführung!
Was heißt „treffen“ genau?
Entspannung
http://philippe.boiteau.free.fr/
Gleichungen und Ungleichungen
Beide Themen hängen eng zusammen, aber bei
Ungleichungen kommen praktisch immer
zusammengesetzte Mengen heraus!
Eine einfache gedankenlose Rückführung auf Gleichungen
funktioniert nur im einfachsten Fall !
Beispiel: -x < 3 .
Löse -x = 3 und schau, wie es rechts und links der Lösung
aussieht:
x=-3.
Für x<-3 ist die Ungleichung nicht erfüllt,
für x>-3 ist sie erfüllt: IL=]-3;∞[.
Also: -x < 3 und x > -3 sind gleich bedeutend!
!
Einfache Ungleichungen
Ungleichungen sind auch Aussageformen und daher
müssen Sie immer mit einem Definitionsbereich
festgelegt werden!
Bei Ungleichungen ist die Vorzeichenfalle zu beachten:
-x < a  x > -a
„gleich bedeutend“!
Additionen/Subtraktionen auf beiden Seiten sind
unbeschränkt erlaubt!
Multplikation/Division mit c>0 ist immer erlaubt.
Multplikation/Division mit c<0 ist nur mit Drehen des
„Relationszeichens“ erlaubt (s.o.!) !!!
Auch: -3x ≥ a
 x ≤ -a/3
!
Einfache Ungleichungen
Lineare Ungleichung : Lösungsmenge ist immer ein
unendliches Intervall.
Quadratische Ungleichung
Am einfachsten ist die graphische Lösung!
Ansonsten bestimme man die Nullstellen der linken Seite
(mit x) und diskutiere dann alle Teilintervalle:
Beispiel: x2-2x-3 ≥ 0
(Standardform mit 0 rechts)
Lösungen der quadrat. Gleichung x1=3, x2=-1
Fall 1: für x≤-1 ist x2-2x-3 ≥ 0
Fall 2: für 3≤x ist x2-2x-3 ≥ 0 (nach oben offene Parabel)
Fall 3: für -1<x<3 muss demzufolge x2-2x-3<0
sein, da an den Rändern die Nullstellen liegen.
IL = ]-∞;-1]∪[3;∞[ . Achtung mit >,≥ ...
Einfache Ungleichungen
Beispiel: x2+2x+2 ≥ 0
Lösungen der quadrat. Gleichung :
keine Lösung in ℝ!
Diskussion über das gesamte Intervall:
Die Ungl. ist stets erfüllt!
IL = ]-∞;∞[ . Beispiel: x2+2x+2 < 0 (keine Lösung in ℝ s.o.)
Diskussion über das gesamte Intervall:
Die Ungl. ist nie erfüllt! IL ={}
Beispiel: x2-2x+1 > 0
Lösungen der quadrat. Gleichung :
Nur eine Lösung x=1 in ℝ!
Diskussion über das gesamte Intervall:
IL = ]-∞;1 [ ∪ ]1 ;∞[ = ℝ\{1} . Betrags-Gleichungen und Ungleichungen
Mit dem Betrag (der Betragsfunktion) haben viele
Studierende große Schwierigkeiten.
Was bedeutet „Betrag“?
Auf keinen Fall „ohne Vorzeichen“!!!
Das ist ganz falsch verstanden!
Betrag eines Ausdrucks ist der Ausdruck selber, wenn er
≥ 0 ist.
Ansonsten wird das Vorzeichen umgekehrt!
Beispiel:
∣x+4∣=
{
x+4 für x ≥-4
−( x+4) für x < -4
siehe folgendes Bild
|a-b| ist der Abstand der beiden Zahlen a,b !
Betragsgleichungen und -ungleichungen
Graph der Funktion
Anschaulich:
| | spiegelt
alles „von unten
nach oben“
∣x+4∣=
{
x +4 für x +4≥0
−( x+4) für x +4<0
4
-4
-4
Geometrisch:
|x-a| ist der Abstand zwischen x und a !
Hier also zwischen x und (-4).
Betrags-Gleichungen und Ungleichungen
Zunächst nur der einfache Fall:
|x+3|=2
Welche Zahl hat von (-3) den Abstand 2?
Na die beiden Lösungen x=-5 und x=-1
Ungleichung:
|x+3|>2
Alle Zahlen, die von (-3) mehr als den Abstand 2 haben: IL
=]-∞;-5[]-3;∞[
Betrags-Gleichungen und Ungleichungen
Ungleichung:
| 3 - 2x | > 2
Vorfaktoren von x können aus dem Betrag
herausgezogen werden:
| 3 - 2x | = | 2x – 3| = 2·|x - 3/2|
Löse erst die Betragsgleichung und entscheide
dann über alle Teilintervalle der reellen Zahlenachse
(„Fallunterscheidung“, s.u.)!
2·|x - 3/2 | = 2
also |x - 3/2 | = 1
also x=1/2 oder x=5/2
Für sehr große positive und negative Werte für x ist
die Ungleichung sicher erfüllt. Im Bereich zwischen
1/2 und 5/2 ist der Abstand von 3/2 zu gering:
IL =]-∞;1/2[]5/2;∞[.
Stets
StetsStichprobenkontrolle!
Stichprobenkontrolle!
Einfache Wurzel- und Potenzgleichungen
Gerade bei der Zinseszinsrechnung (siehe oben) und in
sehr vielen anderen Zusammenhängen müssen
(Un-)Gleichungen gelöst werden, bei denen die
Unbekannte/Variable als Basis einer Potenz auftritt:
Beispiel: K = K0·qn
die Formel der Zinseszinsrechnung mit n gleichen
Zinsperioden. K ist das End- und K0 das Anfangskapital.
So ist z.B. bei der Kapitalverdopplung q gesucht, die
anderen Größen sind bekannt:
Bei Potenz- und Wurzelgleichungen immer zuerst den
Definitionsbereich bestimmen!
Potenzgleichung
Beispiel:
Zu welchem Zinssatz p muss ich mein Geld anlegen,
damit es sich innerhalb von 10 Jahren verdoppelt?
Ansatz: 2·K0 = K0·q10
wobei K0 selber irrelevant ist und q=1+p gilt.
Lösung:
Der Definitionsbereich ist sicher p>0 (≥0)
q=
10
√ 2=1,07177
da nur die Lösung q>1 interessiert
also für etwa p=7,2% muss das Geld investiert werden.
Die Lösung q=-1,07177 von q10=2 ist nicht praxisrelevant!
Wurzelgleichungen
Da die Wurzelberechnung die Umkehrung des
Potenzierens ist nutzt man genau diese Rechentechnik,
um Wurzelgleichungen zu lösen.
Aber Achtung:
Zuerst den Definitionsbereich festlegen!
Immer eine Einsetzprobe machen, da z.B. beim
Quadrieren zusätzliche falsche Lösungen entstehen
können!
Beispiel:
4
√ 3x +1−2=0
Def.: 3x+1≥0, also x≥-1/3.
Erst die Wurzel isolieren, sonst keine sinnvolle
4
Potenzrechnung:
√ 3x+1=2 | ()4
3x+1 = 24 = 16
also x=5 (Probe OK).
Kleine Entspannung
http://philippe.boiteau.free.fr/
Etwas Geometrie
Dreieckslehre:
Alle Dreiecke haben eine Innenwinkelsumme von 180°
γ C
A
α
α+β+γ = 180°
a
b
β
c
B
bes. für Physik: griechische Buchstaben lernen!
Die Dreicksfläche ist immer Grundseite mal Höhe mal 0,5:
h
F=½·c·h
c
Geometrie: Dreiecke
Seiten mit kleinen, Punkte mit großen Buchstaben:
C
b
A
a
B
c
Wichtige Dreiecksbedingung:
a < b+c
b < a+c
c < a+b
Das auch: a > |b-c|
Standard:
Standard:
entgegen
entgegendem
dem
Uhrzeigersinn
Uhrzeigersinn
b > |a-c|
c > |a-b|
Geometrie
·
Pythagoras:
ausdrücklich
nur bei
rechtwinkligen
Dreiecken!!!
Geometrie : Dreieckslehre
Dreieckslehre: Quelle: www.stefanbartz.de
Geometrie : Dreiecke
Kongruente Dreiecke:
Sie können durch Drehung und Verschiebung genau
übereinander gelegt werden.
Kongruenzsätze sind für alle Konstruktionen und
Nachweise sehr wichtig:
Seite, Seite, Seite (SSS)
2 Seiten und eingeschlossener Winkel (SWS)
(SSW)
(WSW)
Geometrie : Ähnlichkeit von 3-Ecken
Ähnliche Dreicke: Sie entstehen durch gleichmäßige
Vergrößerung oder Verkleinerung:
Dabei bleiben alle Winkel gleich.
→ Sätze über Gegenund Wechselwinkel
α
β
β
α
Die Seitenverhältnisse ändern sich nicht!
→ Strahlensätze!
·
·
Geometrie : Strahlensätze
Alle Strahlensätze haben diese Grundlage:
Quelle: www.stefanbartz.de
Aufgabe Strahlensätze
Wie lang sind die nicht vermaßten Strecken?
1
3
5
7
Lösungen:
Die rote Strecke ist 18/5 lang.
Die Strecke 7 besteht aus den Stücken 35/6 und 7/6.
Dreieckslehre - Kosinussatz
Ideal zur SWS
Berechnung!
B
C
A
Quelle: www.stefanbartz.de
Dreieckslehre - Sinussatz
Ideal für WSWBerechnung.
„Peilungen über
Grundseite“.
Anwendung nicht
immer ganz
offensichtlich, daher
das Symbol!
Tipp: erst eine
Dreiecksseite, dann die
Höhe bestimmen.
Quelle: www.stefanbartz.de
Sin, Cos, Tan
Zur Erinnerung:
Im rechtwinkligen Dreieck sind:
a
sin (α)=
c
b
cos(α)=
c
α
a
tan(α)=
b
·
a
b
c
a:
a:Gegenkathete
Gegenkathetevon
vonαα
b:
b:Ankathete
Ankathetevon
vonαα
c:c:Hypothenuse
Hypothenuse
Diese Funktionen (und Ihre Umkehrfunktionen) vermitteln
zwischen den Längen und den Winkeln!
Sinus- und Kosinussatz
Lösungen der beiden Aufgaben
Die Fährstrecke ist etwa 4,2(43) km lang.
Der dritte Winkel ist γ=76°, ohne ihn geht die Rechnung
nicht!
Die Seite a (rechts) ist 23,3m und die Seite b=28,3m.
Die Flussbreite ist 23,3·sin(59°)=28,3·sin(45°)=20,0m
Als kleine Probe schaue ich mir immer an, ob die
kürzeste/längste Seite auch wirklich dem kleinsten/größten
Winkel gegenüber liegt.
Typische Aufgabenstellungen
In rechtwinkligen Dreiecken ist die Seiten- und
Winkelbestimmung besonders einfach:
2 Seiten gegeben : 3. Seite mit Pythagoras!
Ein nicht rechter Winkel gegeben: siehe Winkelsumme!
Eine Seite und ein Winkel (nicht der rechte) gegeben:
Bestimme die anderen Seiten unter Verwendung der
Definition von sin, cos und/oder tan.
Beispiel: In obiger Aufgabe ist b=28,3 die Hypothenuse
des linken rechtwinkligen Teildreiecks mit Winkel α=45°.
Also ist die Gegenkathete die gesuchte Höhe und
somit h=28,3·sin(45°).
Geometrie : Aufgaben zu Dreiecken
Bestimmen Sie die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks
der Seitenlänge a (>0)!
Hinweise: zuerst eine Skizze, dann schauen, was
gegeben, was gesucht wird und was fehlt. Kann die
fehlende Größe aus den bekannten Größen durch
Anwendung eines der oben genannten Gesetze bestimmt
werden?
3 2

⋅a unter Verwendung von
Richtig: Lösung ist A=
4
Pythagoras.
Geometrie : Aufgaben zu Dreiecken
Bestimmen Sie die fehlenden Größen:
C
2,5
2
3,307
1
8
1,4
2
=?
2
x
x1=?
A
2,5
B
·
6
α = 55,77°
β = 41,41°
γ=?
Geometrie : Aufgaben zu Dreiecken
x1: Verwenden Sie den Satz von Pythagoras!
x2: Der Schwerpunkt teilt die Seitenmitten in einem
bestimmten Verhältnis!
Kein Tipp für γ !
Lösungen:
x1=2,25 (ganz genau sogar 27/12)
x2=2,963
γ=82,82°
Wem das zu einfach war:
175
Finden Sie selber die Formel für die Höhe (hc= 16 )
1
und die Länge der Seitenhalbierenden (sa=  106 ) (nur
2
mit dem Kosinussatz oder nach Formelsammlung)!

Kreise
Kreis: Menge der Punkte in einer Ebene, die von einem
festen Punkt, dem Mittelpunkt M, alle den gleichen
Abstand r haben:
r
M
Umfang : U=2πr=πd
Fläche : A=πr2 .
d
Teilflächen des Kreises
Kreis-Sektor:
Einfacher Dreisatz für

2
die Fläche: AS=
⋅r
360 °
r
φ
AS
b
Einfacher Dreisatz für 
2 ⋅r
die Bogenlänge b=

360 ° 2 ⋅r
360 °
Hinweis zur Rechnung mit Winkeln:
In der ganzen Analysis muss man mit Radiant
(Bogenmaß) rechnen und darf nicht die Winkelgrad
verwenden: Wir ersetzen den Winkel durch die Länge des
zugehörigen Kreisbogens mit r=1:
Umrechnung in Radiant „Rad“:
Gradmaß
Bogenmaß=
⋅
180 °
Kreissegmente und Kreissektoren
Aufgabe: bestimmen Sie die Fläche dieses
Kreissegments!
φ
Hinweis: Vom Sektor
eine passende Dreicksfläche
(gleichseitiges Dreieck!)
abziehen.
Lösung:
2
r
⋅ −sin  
Fläche=
2
φ muss in Rad gemessen sein!
r
Zusammenhang mit Dreiecken
Der Satz von Thales sagt, das jedes Dreieck über dem
Druchmesser eines Kreises ein rechtwinkliges ist, wenn
denn der dritte Punkt auf dem Kreisbogen liegt:
·
r
·
Es gibt weitere faszinierende Eigenheiten, z.B. den
Zusammenhang zwischen Zentriwinkel und
Peripheriewinkel über einem Bogen/einer Sehne und die
oben genannten Zusammenhänge mit den
Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten.
Vierecke
Zu den allgemeinen Vierecken gibt es wenig
Regelmäßigkeiten!
Winkelsumme ist 360°.
Fläche wird durch zwei Dreiecksflächen bestimmt.
Diagonalen auch durch Rückgriff auf Dreiecke und z.B.
Kosinussatz.
Nur spezielle Vierecke haben auch interessantere
allgemeine Eigenschaften!
Quadrat : alle Seiten gleich, Winkel ebenso
Rechteck: Seiten parallel und alle Winkel gleich
Rhombus/Raute: Alle Seiten gleich lang.
Parallelogramm: Gegenseiten sind parallel und
gleich lang
Vierecke
Interessant ist das Trapez: zwei gegenüber liegende
Seiten sind parallel.
c
d
b
h
a
Zerlege es in zwei Dreiecke gleicher Höhe :
Fläche: A= ac⋅h
2
dabei ist die Höhe h der Abstand der Parallelen.
Geometrie : Körper im Raum
Für die folgenden Körper mit Radius r, Höhe h, Grundfläche
G gilt:
4
Kugel: Volumen
V=  r 3
3
2
Oberfläche O=4π·r
Prisma: alle Querschnitt
entlang der Achse sind gleich:
Volumen V=G·h
Zylinder: Prisma
mit kreisförmigem
Querschnitt:
V=π·r2·h O=2π·r2+π·r·h
Geometrie : Körper im Raum
Volumen von Kegelkörpern:
Kegel haben immer eine Grundfläche und eine Spitze. Sie
müssen für dies Formel so geformt sein, dass jeder
Querschnitt in Richtung Spitze entsprechend der Höhe
proportional „ähnlich“ (also proportional verkleinert) ist.
Geometrie : Körper im Raum
Aufgaben:
Berechnen Sie die Länge der Raumdiagonale eines
Würfels mit der Kantenlänge a!
Auf einen Kreiszylinder mit Radius r=9 cm und der Höhe
25 cm wird ein gerader Kreiskegel mit dem gleichen
Radius und der Höhe 10 cm aufgesetzt.
Berechnen Sie Volumen (in l!) und Oberfläche (in cm²) des
dadurch enstandenen Körpers.
Ein gerader Kreiskegel besitze den Radius r und die Höhe
h. In welcher Höhe h' muss der Kegel horizontal
geschnitten werden, so das beide Restteile das gleiche
Volumen aufweisen?
Geometrie : Körper im Raum
Lösungen:
 3⋅a
V=7210 cm³ =7,210 l
O=2049 cm2.
Am besten mit dem Strahlensatz rechnen!
1
h'= h⋅ 1− 3
2

