Die isometrischen Normalformen für n = 2 und n = 3

Die isometrischen Normalformen im Fall n = 2 .
m
m′
p
Polynom P
Fall (a) m′ = m
1
1
1
2
2
2
2
1
2
Bezeichnung für V (P )
+T12
(Doppel-)Gerade
+r1 T12 − T22
+r1 T12 + T22
Zwei sich schneidende Geraden
Punkt
Fall (b) m′ = m + 1
1
2
0
−r1 T12 − 1
∅
1
2
2
2
3
3
1
0
1
+r1 T12 − 1
−r1 T12 − r2 T22 − 1
+r1 T12 − r2 T22 − 1
Zwei parallele Geraden
∅
Hyperbel
2
3
2
+r1 T12 + r2 T22 − 1
Ellipse
+r1 T12 − T2
Parabel
Fall (c) m′ = m + 2
1
3
1
Die isometrischen Normalformen im Fall n = 3 .
m
m′
p
Polynom P
Fall (a) m′ = m
1
1
1
Bezeichnung für V (P )
+T12
(Doppel-)Ebene
2
2
2
2
1
2
+r1 T12 − T22
+r1 T12 + T22
Zwei sich schneidende Ebenen
Gerade
3
3
3
3
2
3
+r1 T12 + r2 T22 − T32
+r1 T12 + r2 T22 + T33
elliptischer Kegel
Punkt
Fall (b) m′ = m + 1
1
1
2
2
0
1
−r1 T12 − 1
+r1 T12 − 1
∅
Zwei parallele Ebenen
2
2
3
3
0
1
−r1 T12 − r2 T22 − 1
+r1 T12 − r2 T22 − 1
∅
Hyperbolischer Zylinder
2
3
3
3
4
4
2
0
1
+r1 T12 + r2 T22 − 1
−r1 T12 − r2 T22 − r3 T32 − 1
+r1 T12 − r2 T22 − r3 T32 − 1
Elliptischer Zylinder
∅
Zweischaliges Hyperboloid
3
3
4
4
2
3
+r1 T12 + r2 T22 − r3 T32 − 1
+r1 T12 + r2 T22 + r3 T32 − 1
Einschaliges Hyperboloid
Ellipsoid
Fall (c) m′ = m + 2
1
3
1
+r1 T12 − T2
2
2
4
4
1
2
+r1 T12
+r1 T12
−
+
r2 T22
r2 T22
Parabolischer Zylinder
− T3
− T3
Hyperbolisches Paraboloid
Elliptisches Paraboloid
Es gilt jeweils: die Zahlen ri sind positive reelle Zahlen.
Die Zahlen m, m′ , p haben folgende Bedeutung: Sei P = P2 + P1 + P0 , mit Pi homogen
vom Grad i, und P2 6= 0 . Sei A die Koeffizientenmatrix von P2 und A′ die (erweiterte)
Koeffizientenmatrix von P .
Es ist m = rang(A) und m′ = rang(A′ ) , und A hat die Signatur (p, m − p, n − m) .