Mathematik 1 + 2 ¨Ubung 2

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Prof. Dr. Matthias Gerdts
Dr. Sven-Joachim Kimmerle
Wintertrimester 2014
Mathematik 1 + 2
Übung 2
1) (Gleichungen mit Wurzeln)
Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen. Beachten Sie dabei, dass das
Quadrieren von Gleichungen i. A. keine äquivalente Umformung ist.
a)
b)
√
√
x−1+
x−1−
√
√
x+2=5
x+2=5
2) (Polynomdivision mit Rest)
Gegeben sei die rationale Funktion
p(x) =
x3 − 3x2 − 5x + 1
.
x2 + 2x − 1
Führen Sie zuerst eine Polynomdivision mit Rest durch.
Untersuchen Sie p auf Polstellen (mit/ohne Vorzeichenwechsel ?) und auf asymptotisches
Verhalten für x → ±∞.
3) (Additionstheoreme)
Zeigen Sie die folgenden Formeln:
a)
cos
5π
− 2x
2
= sin(2x)
b)
cos(3γ) = 4 cos3 γ − 3 cos γ
c)
tan(α ± β) =
tan α ± tan β
,
1 ∓ tan α tan β
wobei −π/2 < α, β, α ± β < π/2.
4) (Kettenlinie)
Die Form eines zwischen zwei gleich hohen Masten aufgehängten Seiles wird durch die
Kettenlinie y(x) = a cosh(x/a) beschrieben. In der Mitte zwischen den Masten gilt x = 0
und die Seilhöhe beträgt 80 m. Zudem sind die Masten 150 m voneinander entfernt. Wie
hoch sind die Masten?
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5) (Komplexe Zahlen (in kartesischen Koordinaten), siehe Übung 1, Aufg. 10)
Gegeben seien die komplexen Zahlen z1 = 1 + i, z2 = 2 + i, z3 = 3 + 4i, z4 = 4 − 3i, z5 = i.
Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen in kartesischer Darstellung an und berechnen
Sie deren Betrag.
1) z1 + z3 , 2) z1 z2 , 3) z1 /z2 , 4) z4 /z3 , 5) −z52 .
6) (Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten)
Gegeben seien widerum die komplexen Zahlen z1 = 1 + i, z2 = 2 + i, z3 = 3 + 4i, z4 =
4 − 3i, z5 = i.
Geben Sie die folgenden komplexen Zahlen in Polardarstellung an. Interpretieren Sie das
Ergebnis grafisch.
1) z1 , 2) z4 /z3 , 3) z5 , 4) z1 z5 .
7) (Gleichungen mit komplexwertigen Lösungen)
Lösen Sie die folgenden Gleichungen in C!
a) z 2 + 8z + 25 = 0,
b) z 2 + 5 = 0,
c) z 3 + 2z − 3 = 0,
d) z 4 − 13z 2 + 36 = 0
8) (Komplexes Wurzelziehen)
Finden Sie alle z ∈ C, für die gilt
a)
√
3
1
i,
z =− +
2
2
3
b)
5
5
z = 32 cos( π) + i sin( π) .
4
4
5
9) (Linearfaktoren)
Bestimmen Sie sämtliche reellen bzw. komplexen Nullstellen des Polynomns
f (z) = 2z 3 + 4z 2 + 42z − 116
und stellen Sie f (z) jeweils in Produktform dar.
Tipp: Es gilt f (1) = −68 und f (3) = 216. Versuchen Sie die erste Nullstelle im Intervall
(1, 3) durch Ausprobieren zu finden.
Besprechung in den Übungen von Freitag, 17.10.2014 bis Donnerstag, 23.10.2014