2. Serie - EAH Jena

Statistik f u
• r AO
SS 2017
[email protected]
2.Übungsserie: Ereignisse, Wahrscheinlichkeit
1. Beschreiben Sie mengentheoretisch das Ereignis C, das genau dann eintritt, wenn
a) keines der Ereignisse A, B eintritt
b) A oder B eintritt
c) entweder A oder B eintritt
d) mindestens eins der Ereignisse A, B eintritt
e) genau eins der Ereignisse A, B eintritt
f ) A nicht, aber B eintritt
g) Veranschaulichen Sie sich die Beziehungen an folgendem Beispiel:
= f1; 2; 3; 4; 5g ; A = f4; 5g ; B = f5g
2. In einem See in der Nähe eines Industriegebietes wurden Wasserproben auf Schwermetalle untersucht.
Dabei enthielten 38% der Proben Blei oder Quecksilber, 32% der Proben enthielten Blei. 10% der
Proben enthielten sowohl Blei als auch Quecksilber.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält eine Probe Quecksilber?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält sie nur Blei?
3. Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Maximum der von
beiden Würfeln gezeigten Augenzahlen größ
er als 4?
4. Eine Münze wird viermal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt mindestens 2mal Zahl?
5. Es seien P (A) = 0; 3 P (B) = 0; 5 P (A \ B) = 0; 2 .
Man berechne P (A [ B) ; P (A [ B) ; P (A [ B):
6. In ein Gerät sind drei Teile eingebaut. Die Ereignisse A, B und C bezeichnen das Funktionieren des
jeweiligen Teils. Das Gerät kann seine Funktion nicht mehr wahrnehmen, wenn
(1) bei einer ersten Schaltung alle drei Teile ausfallen
(2) bei einer zweiten Schaltung bereits eines dieser Teile ausfällt.
a) Stellen Sie bei jeder Schaltung das Ereignis ’Gerät defekt’ durch Verknüpfen der Ereignisse zum
Funktionieren der Teile dar.
b) Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gerät ausfällt, wenn jedes Teil eine
Ausfallwahrscheinlichkeit von 10% hat und unabhängig von den anderen funktioniert.
7. Drei Kandidaten A, B, C bewerben sich um das Amt des Baudezernenten. Eine Meinungsumfrage
schätzt ihre Siegchancen auf 25% für A, 35% für B bzw. 40% für C. Nach ihrer Wahlpropaganda
kann man erwarten, dass die Kandidaten den Bau eines Studentenwohnheims mit einer Chance von 0.6
(A), 0.9 (B) bzw. 0.8 (C) durchsetzen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mit dem Neubau zu rechnen?
8. Bei diagnostischen Tests muss man i.a. auch mit Fehldiagnosen rechnen. Man unterscheidet die folgenden Situationen:
richtig positiv: Test reagiert positiv, wenn Person krank ist (krank richtig erkannt)
falsch positiv: Test reagiert positiv, wenn Person gesund ist
richtig negativ: Test reagiert negativ, wenn Person gesund ist (gesund richtig erkannt)
1
falsch negativ: Test reagiert negativ, wenn Person krank ist.
Realität
Diagnose krank gesund
gesamt
T+
a
b
a+b
T
c
d
c+d
gesamt
a+c
b+d n=a+b+c+d
In der Entwicklungsphase eines Tests kennt man den Zustand krank/gesund jedes Probanden der
Stichprobe. Es sind folgende Kenngröß
en interessant
b
+
falsch-positiver Anteil P (T /gesund) =
,
b+d
c
falsch-negativer P (T /krank) =
.
a+c
a
beschreibt die Emp…ndlichkeit des Tests bei Kranken. Ist sie hoch,
Sensitivität: P(T+ =krank) =
a+c
werden kaum Kranke übersehen.
d
Spezi…tät: P(T =gesund) =
beschreibt die Tre¤sicherheit bei Gesunden. Ist sie hoch, werden
b+d
kaum Gesunde als krank diagnostiziert.
Für die Anwendungsphase des Tests kennt man die Diagnose. Zur Beurteilung der Tauglichkeit des
Tests bestimmt man die Größ
en
a
positiver prädiktiver Wert: P(krank/T+ ) =
(Anteil Kranker unter den Testpositiven),
a+b
d
negativer prädiktiver Wert: P(gesund/T ) =
(Anteil Gesunder unter den Testnegativen).
c+d
Diese Größ
en hängen zusätzlich von der Häu…gkeit der Erkrankung ab, d.h. von der Prävalenz:
P(krank)
1985 ging man von einer Prävalenz von HIV-In…zierten unter der heterosexuellen Bevölkerung von
0.1% aus.
a) Bestimmen Sie die Werte a, b, c, d in der obigen Tabelle, wenn ein Screening-Test mit einer Sensitivität von 0.98 und einer Spezi…tät von 0.99 zur Verfügung steht und 1000000 zufällig ausgewählte
heterosexuelle Bundesbürger für diesen Test zugrunde gelegt werden.
b) Berechnen Sie den positiven und negativen prädiktiven Wert des Tests.
c) Führen Sie die gleichen Berechnungen durch, wenn für die Population eine Prävalenz von 30%
angenommen wird.
9. Ein Diagnoseverfahren habe folgende Eigenschaft: Ist eine Person erkrankt, ist der Testbefund mit
Wahrscheinlichkeit 0.99 positiv. Ist die Person gesund, ist der Befund mit Wahrscheinlichkeit 0.92
negativ. Erfahrungsgemäßliegt der Anteil der Erkrankten bei 0.5%. Berechnen Sie
a) die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit positivem Befund wirklich krank ist (positiver prädiktiver Wert)
b) die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit positivem Befund gesund ist
c) die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit negativem Befund gesund ist (negativer prädiktiver
Wert)
d) die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit negativem Befund krank ist .
10. Es wird erwartet, dass ein neues Medikament in 1% aller Fälle eine bestimmte Nebenwirkung verursacht.
a) Wie großist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer zufälligen Stichprobe von 100 Personen diese
Nebenwirkung nicht beobachtet wird?
b) Wieviel Probanden müß
ten in einer Studie mindestens erfasst werden, um diese Nebenwirkung mit
Sicherheit von 95% mindestens einmal zu beobachten?
2