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Realschule Wahlstedt: Mathematik
Formelsammlung
Inhalt:
I
Termumformungen
Potenzen und Wurzeln
Quadratische Gleichungen
Logarithmen
Zinseszins und Wachstum
II
Flächen
Körperberechnungen
Funktionen
III
Trigonometrie
Reihen
Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit
Realschule Wahlstedt:
Mathematik - Formelsammlung
I
1. Binomische Formel
( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b2
( a – b ) 2 = a 2 - 2 ab + b 2
(a+b)(a–b)=a2–b2
Termumformungen
2. Binomische Formel
3. Binomische Formel
Potenzen und Wurzeln
a n bn   a b 
a m a n  a m n
n
n
an  a
n
a

b
n
a 
a m : a n  a m n
an  a 
 
bn  b 
m
n
a
n 1
n
a0  1
 a mn
1 1
 n  
a
a
n
a
n
m n
n
bna b
n
a a
 a
b  m n a
n
a
b
n
m
1
n
 a a
n
m
m
n
Quadratische Gleichung
2
Normalform:
x² + px + q = 0
2
2
2
=>
p
p
   q  0  2   q  0
2
p
  q0
2
=> 1 Lösung
=> 2 Lösg.
=> keine
Lösung
p
p
x1       q
2
2
2

Zerlegung in Linearfaktoren:
 x  x1  x  x 2   0
p
p
x2       q
2
2
Satz von Vieta:
x1  x 2  p
L x   x1 , x 2 
x1 x 2  q
Logarithmen
loga b  x  a x  b
 a, b  0 und a  1
loga a  1
log  a b   log a  log b
loga 1  0
a
log    log a  log b
b
log x  log10 x
log a n  n log a
ln x  loge x
log a
1
  log a b
b
log n a 
1
log a
n
(e = 2,718281828459…)
Umrechnung zur Basis 10: loga x 
log10 x
log10 a
Zinseszins und Wachstum
Kn  K qn
 qn 1 
Kn  R 

 q 1 
Kn 
R q n 1
q 1
ya b
x
d
q  1
p
100
Endwert einer einmaligen Zahlung K nach n Jahren bei p%
Verzinsung, Anfangswert K, Faktor q, Anzahl der Jahre n
Endwert regelmäßiger nachschüssiger Zahlungen,
Rate R
Endwert regelmäßiger vorschüssiger Zahlungen
Wachstumsfunktion, Anfangswert a, Wachstumsfaktor b,
Vervielfachungsweite d
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Mathematik - Formelsammlung
II
Flächensätze
Satz des Pythagoras
Höhensatz
a² + b² = c²
h² = p q
Kathetensatz
a² = c p
b² = c q
Flächen
Allgemeines Dreieck:
g h
2
A
Quadrat Rechteck Parallelogramm
A = a²
A=a·b
U = 4a
U = 2(a+b)
A
Rechtwinkliges Dreieck:
Raute
A = a · ha= b · hb
A
U = 2(a+b)
Drachen
e f
2
A
U = 4a
a b
2
Trapez
e f
2
A
U=2(a+b)
ac
h
2
U = a+b+c+d
Kreis und Kreisteile
Kreis-Fläche
A   r2
Kreis-Umfang
U2  r  d
 2
d
4

Kreisausschnitt (Sektor)
A
 r² 
360
A
br
2
b
r
180
Körperberechnung
Pyramide
1
V  G hk
3
O=G+M
Pyramidenstumpf
V
Zylinder
M  2  r hk
Kegel
M r s
Kegelstumpf
M   s  r1  r2 
Kugel
O  4 r 2

1
h k G1  G1 G 2  G 2
3

O = M + 2G
O=G+M
V = G·hk
1
V  G hk
3

1
V   h k r12  r1 r2  r2 2
3

V  43  r 3
Kugel-Ausschnitt (-Sektor) Kugel-Abschnitt (-Segment) Kugelkappe
V
xy
2 2
 r hk
3
x  f (x)
 x  D,
A  2 r h k
Funktionen
y = f (x)
y  W
y = mx + b
1
V   h k 2  3r  h k 
3
Definition: Die Elemente x einer Definitionsmenge D werden durch eine
Zuordnungsvorschrift f den Elementen y einer Wertemenge W zugeordnet,
so dass jedem Element y  D genau ein Element y  W entspricht.
Lineare Funktion: DieGraphen dieser Funktionen stellen Geraden dar, die
durch den Steigungsfaktor m und die Verschiebung b auf der y-Achse
gekennzeichnet sind.
Scheitelpunkt von Parabeln : y = t · [(x – s)² + r] --> S(s/t ·r)
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III
Trigonometrie
Definitionen für spitze Winkel
a Gegenkathete
b
Ankathete
cos   

c Hypotenuse
c
Hypotenuse
a Gegenkathete
b
Ankathete
tan   
cot   
a Gegenkathete
b
Ankathete
Beziehungen zwischen den Kreisfunktionen
sin   cos(90   )
cos   sin( 90   )
1
tan  
,   90
cot 
tan   cot(90   )
1
sin 
cot  
,   0
tan  
,   90
tan 
cos 
Sinussatz
Kosinussatz
Flächeninhalt eines
Dreiecks
a : b : c  sin  : sin  : sin 
a ²  b²  c ²  2bc cos 
1
A  s1 s2  sin(s1 / s 2 )
a sin  a sin  b sin  b²  a ²  c ²  2ac cos 
2



b sin  c sin  c sin  c ²  a ²  b²  2ab cos 
a
b
c
s12  s22  s32  2 s2 s2 cos(s2 / s3 )


 2r
sin  sin  sin 
(im rechtwinkligen ABC
mit   90)
sin  
Reihen
Arithmetische Reihe:
Arithm. Mittel
an 
a n 1  a n 1
2
Geometrische Reihe:
an  a1  (n  1)d
n
Summe s n  (a1  a n ) oder:
2
n 1
Endglied a n  a1  q
Endglied
Geometrische Mittel
an  an1  an1
Summe ( q >1)
Unendliche geometrische Reihe
Summe s n 
Kombinatorik/Wahrscheinlichkeit
g
, wobei 0  w  1
n
w  1  w „Gegenwahrscheinlichkeit“
w
Vn (k )  n k
Vn ( k ) 
n!
, wobei n!=1· 2 · 3 ·… ·
(n  k )!
sn 
a1 (q n  1)
q 1
n
s n  [2a1  (n  1)d ]
2
Summe ( q <1)
sn 
a1 (1  q n )
1 q
a1
(q  1, n  )
1 q
Sprechweise:
Nebenbedingung
für n und k:
Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ergebnis eintritt,
ist definiert als Quotient aus der Anzahl der
günstigen Fälle g und der Anzahl n der möglichen
Fälle.
Wahrscheinlichkeit für das Nichteintreten eines
Ereignisses („Gegenereignis“)
Anzahl der Variationen mit Wiederholung von n
Elementen zur k-ten Klasse
Anzahl der Variationen ohne Wiederholungen von …
n, k beliebig
kn
n
Pn  n!
n
K n (k )   
k 
Anzahl der Permutationen von n Elementen
n
n!
, wobei   
 k  k! ( n  k )!
 
 n  k  1

K n (k )  
 k

n beliebig
(Spezialfall k=n)
Anzahl der Kombination ohne Wiederholung von n
Elementen
zur k-ten Klasse
kn
Anzahl der Kombination mit Wiederholung von…
n, k beliebig