2. Übungsblatt: 9. November 2005

ts
Mathematik für Naturwissenschaftler
Wintersemester 2005/06
2. Übungsblatt: 9. November 2005
Aufgabe 4:
(a) Es sei z = 1 + 3i, w = 2 − i. Geben Sie folgende komplexe Zahlen sowohl in der Standardform
x + iy als auch in Polarkoordinaten reiϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ) an:
(ii) z 2
(i) z
(iii)
1
z
(iv) z · w
(v)
z
w
(vi) w−2 .
(b) Es sei z = cos π3 + i sin π3 . Berechnen Sie die Potenzen z k , k = 1, 2, . . . , 6, und zeichnen Sie sie in
der komplexen Ebene.
Aufgabe 5:
Leiten Sie folgende Formeln aus den Additionstheoremen für sin und cos her:
(a) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
(b) cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x)
x+y
2
tan(x)+tan(y)
1−tan(x) tan(y)
(c) sin(x) + sin(y) = 2 sin
(d) tan(x + y) =
cos
x−y
2
Aufgabe 6:
Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen
(a) f : IR \ {0} → IR,
(b) g : IR → IR,
f (x) := x − x1 ,
g(x) :=
4x
x2 +1 .
Aufgabe 7:
In der Formel für negatives exponentielles Wachstum
N (t) = N0 e−λt
ist die Geschwindigkeit der Abnahme durch die Zerfallskonstante λ bestimmt. Beim radioaktiven
Zerfall sind beispielsweise nach der Zeit t von N0 Ausgangskernen noch N übrig.
Die physikalische Halbwertszeit ist in der Kernphysik die Zeitspanne, die statistisch gesehen verstreicht, bis die Menge eines bestimmten radioaktiven Isotops auf die Hälfte gesunken ist, das heisst
sich in andere Atome umgewandelt hat. Für jedes Isotop ist die Halbwertszeit eine Konstante. Beim
radioaktiven Zerfall des Kohlenstoffisotops C 14 beträgt die Halbwertszeit 5570 Jahre.
Das Isotop C 14 ist in unserer Atmosphäre enthalten. Durch Einatmen und durch Nahrungsaufnahme
kommt es im Körper aller Lebewesen zu einem festen Verhältnis zwischen stabilem C 12 und instabilem C 14 . Wenn nun ein Lebewesen stirbt, dann hört es auf zu Atmen beziehungsweise Nahrung
aufzunehmen. Das hat zur Folge, dass der Anteil an C 14 durch radioaktiven Zerfall immer geringer
wird. Anhand der radioaktiven Strahlung, die von einem toten Lebewesen ausgeht, kann man nun
bestimmen, wieviel Prozent des ursprünglichen C 14 Anteils noch vorhanden sind. In der Folge kann
man den Zeitpunkt des Todes des Lebewesens und damit das Alter des Fundes herausfinden.
(a) Bestimmen Sie die Zerfallskonstante λ des Kohlenstoffisotops C 14 anhand der gegebenen Halbwertszeit.
(b) Bei Ausgrabungen wurden pflanzliche Substanzen gefunden, deren C 14 -Radioaktivität 95.7% der
Aktivität von lebenden Planzen betrug (d.h. 95.7% des urspünglichen C 14 -Anteils waren noch
vorhanden). Wie alt waren die gefundenen Substanzen?
ts
Ausgabe: Mittwoch, 9. November 2005
Besprechung: Mittwoch, 16. November bzw. Freitag 18. November 2005
Prof. Dr. M. Hanke-Bourgeois · Dipl.-Math. Bastian Gebauer
Fachbereich Mathematik & Informatik, Johannes Gutenberg-Universität Mainz, D-55099 Mainz
http://www.numerik.mathematik.uni-mainz.de/MatNatWS0506