Ubungsblatt 10 - Mathematisches Institut Heidelberg

Universität Heidelberg
Mathematisches Institut
Dr. Hendrik Kasten
Peter Gräf
24. Juni 2015
Einführung in die Geometrie – Übungsblatt 10
Sommersemester 2015
Aufgabe 1
(6 Punkte)
Sei H = (P, G, ?, ∼
=, ') eine Hilbertebene, die das starke Parallelenaxiom (P ) erfüllt und seien
g, h ∈ G , sodass g ⊥ h . Man zeige, dass die Abbildung
ωg,h : P → g × h
P 7→ (Lg P, Lh P )
bijektiv ist und gebe die Umkehrabbildung an.
Aufgabe 2
(3+3 Punkte)
a1
b
2
Für A =
∈ R und B = 1 ∈ R2 setzen wir
a2
b2
a1 b1
(A, B) :=
∈ M2 (R)
a2 b2
sowie
[A, B] := det(A, B) ∈ R.
(a) Seien A, B, C ∈ R2 paarweise verschieden. Wir setzen
[A, B, C] := [B, C] − [A, C] + [A, B].
Man zeige, dass die Punkte A, B, C kollinear sind genau dann wenn [A, B, C] = 0 .
(b) Seien A, B ∈ R2 sowie u, v ∈ R2 \ {0} , sodass gA,u ∦ gB,v . Man zeige, dass dann gilt:
gA,u ∧ gB,v =
1
([B, v]u − [A, u]v).
[u, v]
Hinweis: Man verwende die üblichen Rechenregeln für die Determinante.
Aufgabe 3
(6 Punkte)
Seien A, B, C ∈ R2 sowie u, v, w ∈ R2 \ {0} . Man zeige: Die Geraden gA,u , gB,v , gC,w ∈ GR
gehören dem selben Geraden- oder Parallelenbüschel an genau dann wenn (mit der Notation aus
Aufgabe 2) gilt:
[C, w][u, v] + [A, u][v, w] + [B, v][w, u] = 0.
Hinweis: Man verwende Aufgabe 2 (b).
Aufgabe 4
(3+3 Punkte)
Für drei paarweise verschiedene kollineare Punkte A, B, C ∈ R2 existiert eine eindeutige reelle
Zahl λ 6= 0, 1 mit C = λB + (1 − λ)A . Wir definieren das Geradenmaß des Tripels (A, C, B)
als
1−λ
∈ R× .
G(A, C, B) :=
λ
Das Geradenmaß ist invariant unter Affinitäten in Aff 2 (R) .
Sei weiter 4ABC ein Dreieck in A2 (R) sowie P ∈ A ∨ B , Q ∈ B ∨ C und R ∈ C ∨ A mit
P, Q, R ∈
/ {A, B, C} . Wir setzen
QR
∆PABC
:= G(A, P, B) · G(B, Q, C) · G(C, R, A) ∈ R× .
(a) Man beweise den Satz von Ceva: Die Geraden A ∨ Q , B ∨ R und C ∨ P gehören dem
QR
selben Geraden- oder Parallelenbüschel an genau dann wenn ∆PABC
= 1.
Hinweis: Man verwende die Invarianz des Geradenmaßes unter Affinitäten um ohne Einschränkung A = 0 anzunehmen. Anschließend benutze man Aufgabe 3.
(b) Man beweise den Satz von Menelaos: Die Punkte P, Q, R sind kollinear genau dann wenn
QR
∆PABC
= −1 .
Hinweis: Man argumentiere wie in (a), dass ohne Einschränkung A = 0 angenommen
werden darf und verwende Aufgabe 2 (a).
Abgabe: Bis Mittwoch, den 1. Juli 2015, bis spätestens um 13 Uhr s. t. in die Tutorenbriefkästen
rechts neben HS 6.