Das elektrische Potential

Teil 23 Elektrisches Potential
ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS
Tipler-Mosca
23. Das elektrische Potential (Electric potential)
23.1 Die Potentialdifferenz (Potential difference)
23.2 Das Potential eines Punktladungssystems (Potential due to a system of point charges)
23.3 Die Berechnung des elektrischen Feldes aus dem Potential (Computing the electric field
from the potential)
23.4 Die Berechnung des elektrischen Potentials Φ kontinuierlicher Ladungsverteilungen
(Calculation of Φ from continuous charge distributions)
23.5 Äquipotentialflächen (Equipotential surfaces)
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Teil 23 Elektrisches Potential
Dubbel
Seite 2
Teil 23 Elektrisches Potential
Die elektrische Kraft (genauso wie die Gravitation) ist eine konservative Kraft, so daß ihr eine potentielle
Energie Epot zugeordnet ist:
Probeladung q0 in ein elektrisches Feld ⇒ elektrische Energie proportional q0 ⇒
die elektrische Energie pro Einheitsladung hängt von der räumlichen Lage der Ladung ab, und wird das
elektrische Potential (
skalares Feld) genannt.
23.1 Die Potentialdifferenz (Potential difference)
Angriffspunkt einer konservativen Kraft F um Strecke d verschoben ⇒ Änderung der potentiellen Energie
dEpot = −F ⋅ d
dEel = −q0 E ⋅ d
dφ =
⇒ Kraft auf eine Punktladung q0 : F = q0 E ⇒ Änderung der elektrischen Energie dEpot =dEel :
⇒ Potentialdifferenz dφ: Änderung der elektrischen Energie pro Einheitsladung
dEel
= −E ⋅ d
q0
b
ΔEel
Potentialdifferenz bei einer endlichen Verschiebung von Punkt a nach Punkt b : Δφ = φb − φa =
= −∫ E ⋅ d
q0
a
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Teil 23 Elektrisches Potential
Das elektrisches Potential φ ist eine skalare Funktion des Ortes (E vektorielle Funktion des Ortes).
Wie bei der potentiellen Energie sind lediglich Differenzen des Potentials φ physikalisch von Bedeutung ⇒
das Potential kann an einem geeigneten Punkt null gesetzt werden ⇒ Eel = q0φ
Zur Stetigkeit des Potentials φ
Das Potential ist überall (mit Ausnahme der Punkte an denen sich eine Punkt- oder Linienladung befindet) stetig:
Gebiet mit einem elektrischen Feld E ⇒ Potentialdifferenz zwischen zwei nahe gelegenen Punkten dφ = −E ⋅ d =
= −Et d
⇒ wenn E zwischen den beiden nahe gelegenen Punkten entlang der infinitesimalen Strecke d
endlich bleibt, so ist auch dφ infinitesimal ⇒ das Potential ist stetig
Maßeinheiten
Elektrisches Potential = elektrische Energie pro Einheitsladung ⇒ SI-Einheit J C-1 = V (Volt)
Elektrische Spannung = Potentialdifferenz (in Volt) zwischen zwei Punkten
Aus Gl. (23.2a) dφ [V] = −E [N C-1 ] ⋅ d [m] ⇒ Maßeinheiten in SI-Einheiten für das elektrische Potential φ: V=N m C -1
⇒ Maßeinheiten in SI-Einheiten für das elektrische Feld E: V m-1 =N C-1
Aus Gl. (23.3) ⇒ Eel [J] = q0 [C] φ [V]
⇒
das Produkt aus Elementarladung (e = 1.60 × 10 −19 C) und 1 V ist eine Energieeinheit ⇒
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Teil 23 Elektrisches Potential
Potential und elektrische Felder
Die Arbeit, die das Gravitationsfeld an einer Masse m verrichtet,
ist gleich der Abnahme der potentiellen Gravitationsenergie.
Die Arbeit, die das elektrische Deld auf einer Ladung q verrichtet,
ist gleich der Abnahme der elektrischen Energie
Das elektrische Feld zeigt in die Richtung, in der das Potential am schnellsten abnimmt
Hohes φ
Tiefes φ
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Teil 23 Elektrisches Potential
Beispiel 23.1: Ermitteln Sie das Potential Φ eines konstanten elektrischen Feldes E
Gegeben: elektrisches Feld mit E = 10 N C-1 = 10 V m-1 in positiver x - Richtung.
Gesucht: Potential in Abhängigkeit von x unter der Annahme, daß Φ( x = 0) = 0 ⇒
Aus Gl. (23.2a) dΦ( x ) = −E ⋅ d = −E ex ⋅ ( dx ex + dy ey + dz ez ) = −Edx ⇒
Φ( x ) = − ∫ dΦ( x ) = − ∫ Edx = −E ∫ dx = −Ex + C
mit Φ( x = 0) = 0
⇒
C=0
⇒
(
)
Φ( x ) = −Ex = − 10 V m-1 x
23.2 Das Potential eines Punktladungssystems (Potential due to a system of point charges)
Das elektrische Potential φ im Abstand r von einer Punktladung im
Koordinatenursprung läßt sich aus dem elektrischen Feld berechnen ⇒
aus E =
q
r
er wobei er =
2
r
4πε 0 r
1
dφ = − E ⋅ d = − E ⋅ dr =
⇒
q
1 q
er ⋅ dr =
dr da für eine konservative
2
4πε 0 r 2
4πε 0 r
1
Kraft die Potentialdifferenz zwischen zwei Orten unabhängig von Weg zwischen
den beiden Orten ist ⇒ aus Gl. (23.2b)
rP
dr
1
r −1
∫ dφ = −ref∫ E ⋅ dr = − 4πε 0 q ref∫ r 2 = − 4πε 0 q ( −1)
ref
r
P
P
1
P
ref
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=
1
q
1 q
−
4πε 0 rP 4πε 0 rref
Teil 23 Elektrisches Potential
⇒ da Bezugspunkt ref frei wählbar ⇒ rref = ∞ damit das Potential die einfachste Form annimmt ⇒
φ=
1
q
4πε 0 rP
⇒ mit rP = r
1
q
Coulomb-Potential
4πε 0 r
φ=
⇒
Elektrische Energie E el einer Probeladung q0 in einem Abstand r von der Punktladung
bei r → ∞ Eel → 0
Probeladung q0 aus dem Unendlichen zum Punkt P gebracht
⇒ verrichtete Arbeit W = ΔEmech =
Arbeit pro Einheitsladung =
q
4πε 0 r
1
qq0
4πε 0 r
1
φ
Probeladung q0 bei P losgelassen: Ekin,P =0 Epot,P =
qq0
4πε 0 r
1
⇒ wenn q0 bei r = ∞ ⇒ Epot,∞ =0 ⇒
ΔEpot = Epot,∞ − Epot,P = −
W = ΔEkin =
qq0
4πε 0 r
1
qq0
= −ΔEkin = −(Ekin,∞ − Ekin,P ) ⇒
4πε 0 r
1
vom elektrischen Feld verrichtete Arbeit
Seite 7
Teil 23 Elektrisches Potential
Beispiel 23.2: Die elektrische Energie eines Wasserstoffatoms
a) Gesucht: elektrisches Potential Φ im Abstand r = 0.529 × 10 -10 m von einem Proton.
b) Gesucht: elektrische Energie E el eines Elektrons und eines Protons in diesem Abstand.
1.6 × 10 −19 C
1 e
q
2
-2
= 27.2 N m C-1 = 27.2 V
Teil a) Φ =
=
= (8.99 × 109 N m C )
-10
4πε 0 r
4πε 0 r
0.529 × 10 m
1
Teil b) Eel = q0 Φ = ( −e)Φ = ( −1.6 × 10−19 C)(27.2 V) = −43.5 × 10 −19 J = −27.2 eV
Beispiel 23.3: Die elektrische Energie von Kernspaltungsprodukten
mögliches Prüfungsbeispiel
Aus dem Superpositionsprinzip für das elektrische Feld ⇒ Das Potential φ an einem Punkt im elektrischen
Feld mehrerer Punktladungen ist die Summe der Potentiale jeder Einzelladung für sich:
φ=∑
i
qi
4πε 0 ri
1
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Teil 23 Elektrisches Potential
Beispiel 23.4: Das Potential zweier Punktladungen
Punktladung q1 = +5 nC im Koordinatenursprung,
Punktladung q2 = +5 nC bei x = 8 cm.
Gesucht: a) Potential im Feldpunkt bei P1(4 cm, 0 cm), und
b) Potential im Feldpunkt bei P2 (0 cm, 6 cm) ⇒
aus Gl. (23.10) φ = ∑
i
qi
1 q1
1 q2
=
+
4πε 0 ri
4πε 0 r1 4πε 0 r2
1
⇒
Teil a) mit r1 = r2 = r = 0.04 m und q1 = q2 = q = +5 nC ⇒
φ=
q1
1 q2
1 2q
=
=
+
4πε 0 r1 4πε 0 r2
4πε 0 r
1
= (8.99 × 10 N m C )
9
2
-2
(
2 5 × 10−9 C
( 0.04 m )
Teil b) mit r1 = 0.06 m und r2 =
φ=
) = 2250 V = 2.25 kV
xq22 + y P22 =
( 0.08 m )
2
+ ( 0.06 m ) = 0.0100 m = 0.10 m
2
q1
1 q2
+
=
4πε 0 r1 4πε 0 r2
1
= (8.99 × 109 N m2 C-2 )
5 × 10 −9 C
5 × 10−9 C
+ (8.99 × 109 N m2 C-2 )
= 749 V + 450 V = 1199 V
0.06 m
0.10 m
Beispiel 23.5: Das Potential auf der x-Achse
mögliches Prüfungsbeispiel
Seite 9
Teil 23 Elektrisches Potential
Beispiel 23.6: Das Potential eines elektrischen Dipols
Elektrischer Dipol: + q bei x = +a und - q bei x = −a;
gesucht: elektrisches Potential φ auf der x-Achse für x
a,
als Funktion des Dipolmomentes p = 2qa
aus Gl. (23.10) φ = ∑
i
φ=
qi
1 q1
1 q2
=
+
4πε 0 ri
4πε 0 r1 4πε 0 r2
1
⇒ φ=
q
1 ( −q )
1 q ( x + a ) − q ( x − a))
=
⇒
+
4πε 0 x − a 4πε 0 x + a 4πε 0
x 2 − a2
1
2qa
1
p
=
2
2
4πε 0 x − a
4πε 0 x − a 2
für x
1
2
a
⇒ φ≈
1
p
4πε 0 x 2
Elektrostatisches Potential in der Ebene eines Dipols
Seite 10
Teil 23 Elektrisches Potential
23.3 Die Berechnung des elektrischen Feldes aus dem Potential (Computing the electric field from the potential)
Wenn das Potential φ einer Ladungsverteilung bekannt ist ⇒
dann kann man daraus deren elektrisches Feld E berechnen (E = −∇φ ) :
kleine Verschiebung d im einem beliebigen elektrischen Feld E ⇒ Potentialänderung dφ = −E ⋅ d
dφ
mit Tangentialkomponente Et = E cos θ ⇒ dφ = −E ⋅ d = E cos θ d = Et d ⇒ Et =
;
d
Falls Verschiebung d ⊥ E ⇒ dφ = 0; falls Verschiebung d
E ⇒ dφ = maximal ⇒
⇒
Ein Vektor, der in Richtung der größten Änderung einer skalaren Funktion zeigt und dessen Betrag gleich der
Ortsableitung der Funktion in dieser Richtung ist, heißt Gradient der Funktion ⇒
E ist gleich dem Negativen des Gradienten von φ, die elektrischen Feldlinien zeigen in Richtung des stärksten
Abfalles von φ ( r )
wenn φ ( x ) ⇒ E = E ex = −
dφ ( x )
ex ;
dx
wenn φ ( r )
Kugelsymmetrie ⇒ E = E er = −
dφ ( r )
er
dr
Beispiel 23.7: Das elektrische Feld E eines x -abhängigen Potentials
Gegeben: Potential φ ( x ) = 100 V −
( 25 V m ) x
da φ = f ( x ) ⇒ aus Gl. (23.14) E = −
-1
⇒ gesucht: elektrisches Feld E
dφ ( x )
⇒ E x = 25 V m-1 ⇒ E = 25 V m-1 ex
dx
(
)
Der allgemeine Zusammenhang zwischen dem Feld E und dem Potential φ
In der Vektorschreibweise wird das Gradient von φ als ∇φ geschrieben:
⎛ ∂
⎞
∂
∂
∇=⎜
ex +
ey +
ez ⎟ Nabla-Operator
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
⇒ E = −∇φ = −
siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Nabla-Operator
Seite 11
∂E y
∂E x
∂Ez
ex +
ey +
ez
∂x
∂y
∂z
Teil 23 Elektrisches Potential
23.4 Die Berechnung des elektrischen Potentials φ kontinuierlicher Ladungsverteilungen (Calculation of Φ from continuous charge distributions)
Aus Gl. (23.10) φ = ∑
i
qi
4πε 0 ri
1
mit Ladungselement dq als Punktladung und Anwendung des
Superpositionsprinzipes ⇒
φ=∫
dq
4πε 0 r
1
Das Potential φ auf der Achse eines Ladungsrings
Gegeben: homogen geladener Ring mit Radius a und Ladung q ⇒
gesucht: Potential φ im Punkt P auf der Achse im Abstand x vom
Mittelpunkt des Ringes ⇒
Abstand zwischen P und Ladungselement dq gegeben durch
r =
x 2 + a2
φ=
1
4πε 0
∫
⇒ aus Gl. (23.19) φ = ∫
dq
x 2 + a2
1
dq
4πε 0 r
⇒
da Abstand r aller Ladungselemente bezüglich P
gleich bleibt ⇒ φ =
1
1
4πε 0
x 2 + a2
1
∫ dq = 4πε
q
0
x 2 + a2
=
1
4πε 0
q
x
1
⎛a⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝x⎠
2
für x
a
⇒ φ=
1
4πε 0
q
x
Potential einer Punktladung im
Koordinatenursprung
Seite 12
Teil 23 Elektrisches Potential
Beispiel 23.8: Ein Teilchen im Feld eines Ladungsrings
In der y-z-Ebene befindet sich ein homogen geladener Ring, q = 8 nC, mit r = 4 cm und mit dem
Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Bei xi = 3 cm wird ein Teilchen mit m = 6 mg, q0 = 5 nC
losgelassen. Gesucht: Geschwindigkeit des Teilchens in großer Entfernung x f → ∞
Aus Gl. (23.20) φ =
1
q
4πε 0
x 2 + a2
⇒ Eel = q0φ =
Aus Gl. (7.7) Ekin,f + Epot,f = Ekin,i + Epot,i
1
1
mv f2 +
2
4πε 0
v f2 =
2q0 q
4πε 0 m
q0 q
x +a
2
f
1
2
=
1
xi2 + a 2
1
4πε 0
⇒
q0 q
x +a
2
i
2
⇒
q0 q
1
4πε 0
x 2 + a2
mit Ekin,i = 0 und Ekin,f =
mit xf → ∞
1
mv f2
2
⇒
1
1
mv f2 =
2
4πε 0
⇒
q0 q
x +a
⎡
2 5 × 10 −9 C 8 × 10 −9 C
⎢
9
2
-2
⇒ v f = ⎢ 8.99 × 10 N m C
6 × 10 −6 kg
⎢
⎣
(
⇒
)
(
(
⇒ v f = 1.55 m s-1
Das Potential φ auf der Achse einer hologen geladenen Scheibe
Aus dem Potential auf der Achse eines Ladungsrings ⇒
durch Integration Potential auf der Achse eines Ladungsscheibe
(siehe Beispiel 23.9)
Seite 13
)(
)
2
i
2
⇒
)
1
( 3 × 10
−2
m
) + ( 4 × 10
2
−2
m
)
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
12
Teil 23 Elektrisches Potential
Beispiel 23.9: Das Potential F einer geladenen Scheibe
mögliches Prüfungsbeispiel
Beispiel 23.10: Berechnung des elektrischen Feldes E aus dem Potential φ
Anhand der gegebenen Potentiale ⇒ Berechnung des elektrischen Feldes auf der Achse
a) eines homogen geladenen Rings, b) einer homogen geladenen Scheibe:
−1 2
1
q
1
dφ ( x )
Teil a) aus Gl. (23.20) φ ( x ) =
⇒ φ(x ) =
⇒ aus Gl. (23.14) E = E ex = −
q x 2 + a2
ex
4πε 0 x 2 + a 2
4πε 0
dx
(
⇒ E =−
dφ ( x )
1
⎛ 1⎞
=−
q ⎜ − ⎟ x 2 + a2
dx
4πε 0 ⎝ 2 ⎠
(
) (2x )
−3 2
⇒ E=
)
1
qx
(
4πε 0 x 2 + a 2
((
)
32
, siehe Gl. (22.10)
)
⎛
⎞
12
1
R2
1
Teil b) aus Gl. (23.21) φ ( x ) =
σ x ⎜ 1 + 2 − 1⎟ =
σ x2 + R2
− x
⎜
⎟ 2ε 0
2ε 0
x
⎝
⎠
⎛1
⎛
dx ⎞
dx
−1 2
dφ ( x )
1
1
x
⇒ E =−
=−
−
σ ⎜⎜ x 2 + R 2
σ ⎜⎜
( 2x ) −
⎟⎟ = −
dx
2ε 0 ⎝ 2
dx ⎠
2ε 0 ⎝ x 2 + R 2
dx
dx
dx
= 1 für x > 0 und
= −1 für x < 0
⇒
mit
dx
dx
⎛
⎞
⎜
⎟
⎛
⎞
1
1
1
x
⎜
⎟ und
− 1⎟ = +
σ 1−
für x > 0 E = −
σ⎜
2
2
2
⎜
2ε 0
2ε 0 ⎝ x + R
R ⎟
⎠
⎜
1+ 2 ⎟
x ⎠
⎝
⎛
⎞
⎜
⎟
⎛
⎞
1
x
1
1
⎜
⎟
für x < 0 E = −
+ 1⎟ = −
σ⎜
σ 1−
2
2
2
⎜
2ε 0 ⎝ x + R
2ε 0
R ⎟
⎠
⎜
1+ 2 ⎟
x ⎠
⎝
(
)
Seite 14
)
⇒ aus Gl. (23.14) E = E ex = −
⎞
⎟⎟
⎠
⇒
dφ ( x )
ex
dx
Teil 23 Elektrisches Potential
Das Potential φ einer unendlich ausgedehnten Ladungsebene
In den Fällen mit unendlich ausgedehnten Ladungsverteilungen kann man E durch direkte Integration oder
aus dem Gauß'schen Gesetz berechnen, und anschließend aus der Definition dφ = −E ⋅ d das Potential bestimmen.
Für eine unendlich ausgedehnte Ebene aus Gl. (22.20) ⇒ für positive x
⎛ σ
⎞
σ
dφ = −E ⋅ d = − ⎜
dx
ex ⎟ ( dx ex + dy ey + dz ez ) = −
2
2
ε
ε
0
⎝ 0
⎠
für negative x
E=−
σ
ex
2ε 0
⇒ dφ = −E ⋅ d = +
⇒ für positive und negative x : φ = φ0 −
σ
dx
2ε 0
σ
x + φ0 wobei φ0 = φ ( x = 0)
2ε 0
⇒
Integration φ = +
σ
x + φ0 wobei φ0 = φ ( x = 0)
2ε 0
Gegeben: unedlich ausgedehnte Ladungsebene mit homogener
Ladungsdichte σ in der Ebene x = 0, und Punktladung q auf der
x-Achse bei x = a.
Gesucht: Potential φ (r) im Punkt P im Abstand r von der Punktladung:
1 q
σ
x , aus Gl. (23.7) φPunkt =
aus Gl. (23.22) φEbene = φ0,Ebene −
+ φ0,Punkt
2ε 0
4πε 0 r
⇒ mit φ0,Ebene + φ0,Punkt = C
sei φ = 0 bei x = y = z = 0 : 0=0+
φ =−
1
σ
x +
2ε 0
4πε 0
( x − a)
2
+ y 2 + z2
1 q
1 q
+C ⇒ C = −
4πε 0 a
4πε 0 a
q
2
( x − a)
+ y 2 + z2
−
⇒
Integration φ = −
σ
x
2ε 0
1 q
σ
x +
+ C wobei r =
2ε 0
4πε 0 r
σ
ex
2ε 0
⇒
Beispiel 23.11: Eine Ladungsebene und eine Punktladung
φ = φEbene + φPunkt = −
E=
⇒
1 q
4πε 0 a
Seite 15
Teil 23 Elektrisches Potential
Das Potential φ innerhalb und außerhalb einer geladenen Kugelschale
Im Prinzip Gl. (23.19) φ =
1
∫ 4πε
0
dq
verwendbar, einfacher aber über Gauß'scher Satz und dφ = −E ⋅ d
r
Außerhalb der geladenen Kugelschale ist E radial (d.h. E er =
dφ = −E ⋅ dr = −
1
q
1 q
er ⋅ dr = −
dr
2
4πε 0 r
4πε 0 r 2
⇒
rP
φ=
r
1
1
q
4πε 0 r
⇒
Integration vom Bezugspunkt bei r = ∞ bis Punkt P ⇒
P
q
r −1
1
1
1 q
−2
r
q
r
r
q
d
=
−
d
=
−
=
φ = −∫
2
∫
4πε 0 r
4πε 0 ∞
4πε 0 ( −1) ∞ 4πε 0 rP
∞
rP
r
1 q
), siehe Gl. (22.21a), E =
er
r
4πε 0 r 2
⇒
da rP beliebig für r > R ⇒ rP = r
⇒
für r > R
Innerhalb der Kugelschale ist E = 0, siehe Gl. (22.21b), ⇒ Integration vom Bezugspunkt bei r = ∞ bis Punkt P ⇒
R
P
q
1
1
r −1
1 q
−2
dr − ∫ 0 dr = −
q ∫ r dr = −
q
=
≠0
φ = −∫
2
4
4
4
(
1)
4
R
−
πε
πε
πε
πε
r
0
0
0
0
∞
∞
R
∞
R
1
r
R
Seite 16
Teil 23 Elektrisches Potential
Beispiel 23.12: Das Potential φ einer homogen geladenen Kugel
Proton-Modell: geladene Kugel mit homogener Volumenladungsdichte, Gesamtladung q = +e, und Radius R;
1 q
1 q
r.
elektrisches Feld außerhalb von R aus Gl. (22.22a) E =
, innerhalb von R aus Gl. (22.22b) E =
2
4πε 0 r
4πε 0 R 3
Gesucht: elektrisches Potential φ außerhalb und innerhalb der Kugel ⇒
für r > R ist das elektrische Feld gleich dem einer Punktladung ⇒ aus Gl. (23.8) φ ( r ) =
für r < R
dφ = −E dr = −E =
1
q
r dr
4πε 0 R 3
1
q
für r > R
4πε 0 r
⇒
rP
R
r
P
1 q
q
r dr =
Integration vom Bezugspunkt bei r = ∞ bis Punkt P innerhalb R ⇒ φP = − ∫ E dr = − ∫
dr − ∫
2
3
πε
πε
4
4
r
R
0
0
∞
∞
R
1 q r2
q
=
−
4πε 0 R 4πε 0 R 3 2
1
=
rP
=
R
1
(
)
1
q
q
−
rP2 − R 2 =
3
4πε 0 R 4πε 0 2R
q 2
1
1 q
1 3q
q
q 2
1
rP =
r +
−
=
−
3 P
4πε 0 R 4πε 0 2R
4πε 0 2R 4πε 0 2R 4πε 0 2R 3
1
rP2 ⎞
q ⎛
=
⎜3 − 2 ⎟
4πε 0 2R ⎝
R ⎠
da rP beliebig innerhalb R
1
⇒ rP = r gesetzt
⇒
q ⎛
r2 ⎞
φ (r ) =
⎜ 3 − 2 ⎟ für r < R
4πε 0 2R ⎝
R ⎠
1
Seite 17
1
Teil 23 Elektrisches Potential
Das Potential φ einer unendlich ausgedehnten Linienladung
Gegeben sei eine unendlich ausgedehnte homogene Linienladung mit Linienladungsdichte λ ⇒
1 2λ
Integration von Gl. (23.19) nicht möglich, aber Integration über Gl. (22.9) E =
möglich ⇒
4πε 0 R
dφ = −E ⋅ dR = −E dR
⇒ Integration von einem beliebigen Bezugspunkt ref zu einem beliebigen
Feldpunkt P ⇒ φP − φref = −
RP
∫
E dR = −
Rref
φP − φref =
1
2πε 0
λ ( ln Rref − ln RP ) =
wählt man φref = φ (Rref ) = 0
1
2πε 0
⇒ φP =
ln
1
2πε 0
λ
RP
∫
Rref
R
dR
1
1
=−
λ ln R RP = −
λ ( ln RP − ln Rref ) ⇒
ref
R
2πε 0
2πε 0
Rref
RP
1
2πε 0
λ ln
Rref
R
für 0 < Rref < ∞
Seite 18
Teil 23 Elektrisches Potential
23.5 Äquipotentialflächen (Equipotential surfaces)
Da im Inneren eines Leiters im statischen Gleichgewicht kein elektrisches Feld herrscht, ist die Potentialänderung
von einem Punkt des Leiters zu einem anderen null ⇒ ein Leiter ist ein dreidimensionales Äquipotentialgebiet ⇔
seine Oberfläche ist eine Äquipotentialfläche ⇒ parallel zur Oberfläche d φ = −E ⋅ d = 0 ⇒ E ⊥ Oberfläche ⇒
die elektrischen Feldlinien, die an einer Äquipotentialfläche beginnen oder enden, stehen senkrecht zur
Äquipotentialfläche.
Äquipotentialflächen und elektrische Feldlinien
außerhalb eines länglichen Leiters
In Feldrichtung aus
dφ = −E ⋅ d
⇒
dφ = − E d
⇒ für konstantes dφ
1
⇒ E ∼
d
Äquipotentialflächen und elektrische Feldlinien
außerhalb eines homogen geladenen kugelförmigen
Leiters
Beispiel 23.13: Die Ladung in einer Kugelschale
Hohle, ungeladene, leitende Kugelschale mit Inneradius a und
Außenradius b;
im Mittelpunkt der Kugelschale positive Punktladung +q ⇒
Gesucht: a) Ladung auf der Außen- und auf der Innenfläche,
b) das Potential φ ( r ) wobei φ ( r = ∞ ) = 0
⇒
q
Teil a) Φ el = innen mit Φ el = ∫ E ⋅ dA = ∫ En dA
ε0
A
A
Die Gauß'sche Oberfläche liegt vollständig innerhalb
des Leiters ⇒ En = 0 ⇒ qinnen = q + qa = 0 ⇒ qa = −q
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Teil 23 Elektrisches Potential
Die Kugelschale ist insgesamt ungeladen ⇒ qa + qb = 0
⇒ q b = −q a = q
Teil b) φ = φq + φqa + φqb = Summe der Potentiale der Einzelladungen, wobei
für eine dünne Kugelschale gilt Gl. (23.23) ⇒
1 q
1 q
1 q
1 q
−
+
=
für r > b ⇒ φ = φq + φqa + φqb =
4πε 0 r 4πε 0 r 4πε 0 r
4πε 0 r
für a ≤ r ≤ b
⇒ φ = φq + φqa + φqb =
für 0 < r ≤ a
⇒
φ = φq + φq + φq =
a
b
1
q
1 q
1 q
1 q
−
+
=
4πε 0 r 4πε 0 r 4πε 0 b 4πε 0 b
1
q
1 q
1 q
−
+
4πε 0 r 4πε 0 a 4πε 0 b
Der Van-de-Graaff-Generator
Kleiner Leiter mit positiver Ladung q im hohlen
Innenraum eines größeren Leiters.
Van-de-Graaff-Generator:
Untere Plastik-Walze durch Reibung mit
dem umlaufenden Band positiv aufgeladen
⇒ Elektronen angezogen zur Spitze des
unteren Kamms ⇒ Elektronen durch
Sprühentladung auf das Band ⇒
an der oberen Alu-Walze Elektronen
durch Sprühentladung vom oberen Kamm
angezogen ⇒ die Elektronen fließen zur
Außenoberfläche der Elektrode
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Teil 23 Elektrisches Potential
Der elektrische Durchschlag
Viele Nichtleiter werden in sehr starken elektrischen Feldern ionisiert, so daß sie zu Leiter werden ⇒
dielektrischer Durchschlag
In Luft Emax ≈ 3 × 106 V m-1 = 3 MN C-1
Durchschlagfestigkeit eines Stoffes = diejenige elektrische Feldstärke, bei der es im Stoff zum dielektrischen
Durchschlag kommt.
Die Entladung durch die leitende Luft infolge des dielektrischen Durchschlages heißt
Bogen- oder Funkenentladung.
Beispiel 23.14: Der elektrische Durschlag von einer geladenen Kugel
Kugelförmiger Leiter mit R = 30 cm
gesucht: a) maximale Aufladung bevor Durchschlag, b) maximales Potential der Kugelschale
Teil a) Elektrisches Feld außerhalb des Leiters E =
q
σ
=
wobei σ = Oberflächenladungsdichte,
2
4πε 0 R
ε0
1
in Luft dielektrischer Durchschlag bei Emax = 3 × 10 6 V m-1
maximale Ladung aus σ max =
(
qmax = 8.85 × 10−12 C2 N-1 m-2
qmax
4π R 2
)( 3 × 10
⇒
⇒ qmax = σ max 4π R 2 = ε 0 Emax 4π R 2
6
)
⇒
V m-1 4π ( 0.3 m ) = 3.00 × 10 −5 C ,
Teil b) maximales Potential der Kugel φmax
φmax = ( 3 × 106 V m-1 ) ( 0.3 m ) = 9.00 × 105 V
⇒
2
2
qmax
1 ε 0 Emax 4π R
=
=
= Emax R
4πε 0 R
4πε 0
R
1
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⇒
Teil 23 Elektrisches Potential
Beispiel 23.15: Zwei geladene kugelförmige Leiter
mögliches Prüfungsbeispiel
Tropfenförmiger Leiter ⇔
in der Nähe von A (kleines Krümmungsradius) sind die Oberflächenladungsdichte und das elektrische Feld hoch,
in der Nähe von B (großes Krümmungsradius) sind die Oberflächenladungsdichte und das elektrische Feld niedrig:
Potential φ einer leitenden Kugel: φ =
für φ = konst
⇒ σ ∼
1
r
1
q
4πε 0 r
mit Ladung q = 4π r 2σ ⇒ φ =
⇒ da auf der Oberfläche eines Leiters E =
σ
ε0
rσ
ε0
⇒ σ =
⇒ E ∼σ ∼
ε 0φ
1
r
elektrischer Durchschlag hängt vom kleinsten Krümmungsradius irgeneines Teils des Leiters
⇒ Anwendung: Blitzableiter, Van-de-Graaff-Generator
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r
⇒
⇒
Teil 23 Elektrisches Potential
23. Elektrische Struktur der Materie
23.1 Einführung
23.2 Elektrolyse
23.3 Das Kernmodel des Atoms
23.4 Bohr'sche Theorie des Atoms
23.5 Quantisierung des Drehimpulses
23.6 Wirkungs eines Magnetfeldes auf die Elektronenbewegung
23.7 Elektronenspin
23.8 Spin-Bahn-Wechselwirkung
23.9 Elektronenschalen in Atomen
23.10 Elektronen in Festkörpern
23.11 Leiter, Halbleiter und Isolatoren
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