Mathematik II für inf, swt Blatt Z4

Mathematik II
Blatt Z4
für inf, swt
Universität Stuttgart
PD Dr. P. H. Lesky
Diese Aufgaben sind zum Selbstüben und passen vom Stoff her zu Blatt G4
Aufgaben aus dem Mathe-online Programm:
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aufgabe/aufgabe85
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aufgabe/aufgabe536
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/interaufg/interaufg3
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/interaufg/interaufg32
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/interaufg/interaufg306
Aufgabe Z24 Gegeben sei eine Drehung T : R3 → R3 durch
√ 

1
2 2 √5
1 
MTE,E :=
2√ √4 − 5  .
5
−2 5
5
0
a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von T .
b) Bestimmen Sie eine ONB B, in der die Drehung die folgende Darstellung hat


λ1
0
0
MTB,B =  0 cos ϕ − sin ϕ  ,
0 sin ϕ
cos ϕ
wobei λ1 den reellen Eigenwert bezeichnet. Wie groß ist der Drehwinkel?
Aufgabe Z25 Gegeben ist die Matrix
A =
2 1 1
1 2 1
1 1 2
!
.
a) Berechnen Sie die Eigenwerte und dazugehörigen Eigenvektoren.
b) Geben Sie eine orthogonale Matrix S an, so dass S T · A · S eine Diagonalmatrix ist. Wie
lautet diese Diagonalmatrix?
c) Geben Sie mit Hilfe von Teil b) eine Formel zur Berechnung von An für n ∈ N an. Gilt
eine entsprechende Formel auch für n = −1, −2, . . .?
d) Geben Sie eine Matrix B an, so dass A = B 2 gilt.
Aufgabe Z26 Bestimmen Sie die Eigenwerte der angegebenen Matrix sowie deren algebraische und geometrische Vielfachheiten. Wie könnte die Jordansche Normalform der Matrizen
aussehen?
 3 1 0 0 0 


3 1
0 0
0
3
1
0
0


−1 1
0 0 
a) A =  0 0 3 0 0 
b) B =  0 0
5 1
0 0 0 4 0
0
0
−1
3
0 0 0 0 3
1
Aufgabe Z27 Es sei V ein Vektorraum mit dem Skalarprodukt < ·, · >. Ferner sei V 0 ein
linearer Unterraum von V , der die orthonormale Basis {e1 , e2 , . . . en } besitzt. Die orthogonale
Projektion P von V auf V 0 ist gegeben durch
P (x) =
n
X
< x, ei > ei .
i=1
Weisen Sie nach: (1) P 2 = P,
(2) P ∗ = P .
Aufgabe Z28 Es seien x1 , . . . , xn Vektoren eines reellen Vektorraums V mit dem Skalarprodukt < ·, · >. Die Matrix G := (< xi , xk >) heißt Gramsche Matrix der gegebenen Vektoren,
und die Zahl g := det(G) heißt Gramsche Determinante von x1 , . . . , xn . Zeigen Sie:
a) {x1 , . . . , xn } ist genau dann linear abhängig, wenn g = 0 gilt.
√
b) Es gilt stets g ≥ 0 und g = Vol(x1 , . . . , xn ).
Hinweis: Zerlegen Sie G geeignet in ein Produkt zweier Matrizen.
Aufgabe Z29 Eine n×n-Matrix A = (aik ) heißt stochastische Matrix oder Übergangsmatrix,
falls gilt:
(i) aik ≥ 0 ∀i, k = 1, . . . , n,
n
X
aik = 1 ∀k = 1, . . . , n.
(ii)
i=1
A heißt strikt positiv (A >> 0), falls aik > 0 ∀i, k = 1, . . . , n.
Eine stochastische Matrix wird folgendermaßen interpretiert: Man hat n Zustände 1, . . . , n
und interessiert sich für zufällige Übergänge zwischen diesen innerhalb einer Zeiteinheit. Ein
Matrixelement aik gibt die Wahrscheinlichkeit an, nach einem Zeitschritt in den Zustand i zu
gelangen, wenn man vorher im Zustand k war. Die Bedingung (ii) garantiert, daß man mit
der Wahrscheinlichkeit 1 in irgendeinem der Zustände ankommt. – Die Matrix A definert nun
einen Zufallsprozeß auf folgende Weise: Zu Beginn seien w1 , . . . , wn die Wahrscheinlichkeiten
dafür, daß sich das System in den Zuständen 1, . . . , n befindet, d. h. es gelte
n
X
(iii) wi ≥ 0, ∀i = 1, . . . n, und
wi = 1.
i=1
Ein Vektor x0 = (w1 , . . . , wn ), der diese Bedingungen erfüllt, heißt Wahrscheinlichkeitsvektor
oder Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Zuständen 1, . . . , n. In einem Zeitschritt finden nun
Übergänge zwischen den Zuständen mit den Übergangswahrscheinlichkeiten aik statt. Mithin
ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das System sich nach einer Zeiteinheit im Zustand i
befindet, durch
n
X
(x1 )i =
aik wk
k=1
gegeben. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung nach einem Schritt ist also x1 = Ax0 . Wiederum
garantieren (i), (ii), (iii), daß x1 ebenfalls ein Wahrscheinlichkeitsvektor ist. Bitte prüfen Sie
dies nach. – Die Wahrscheinlichkeitsverteilung nach m Schritten ist entsprechend durch
xm = A m x0
∀m ∈ N.
gegeben. – In dieser Aufgabe untersuchen wir die Konvergenz solcher Zufallsprozesse gegen
Gleichgewichtszustände, d. h., gegen Wahrscheinlichkeitsverteilungen u mit Au = u. Wir werden in mehreren Schritten zeigen:
2
Satz: Ist A eine stochastische Matrix, so daß Ar >> 0 für ein r ∈ N gilt, so folgt:
(1) 1 ist ein einfacher Eigenwert von A, und es existiert genau ein Wahrscheinlichkeitsvektor
u mit Au = u.
(2) Für jeden Wahrscheinlichkeitsvektor x konvergiert Am x komponentenweise gegen u, für
m → ∞.
(3) Alle weiteren Eigenwerte von A haben einen Betrag echt kleiner als 1.
a) Sei y ∈ Rn ein beliebiger Vektor. Wir definieren:
m(y): = kleinste Komponente von y, M (y): = größte Komponente von y, D(y) :=
M (y) − m(y), “Durchmesser von y”. Sei nun weiter A eine stochastische Matrix. Dann
sind alle Zeilensummen von AT gleich 1. Zeigen Sie:
(i) m(AT y) ≥ m(y), M (AT y) ≤ M (y).
(ii) Gilt A >> 0 und ist ε der kleinste Matrixeintrag von A, so ist D(AT y) ≤ (1 −
2ε)D(y).
b) Zeigen Sie: Ist A >> 0, so konvergiert Am komponentenweise für m → ∞ gegen eine
Matrix P , deren Spalten alle gleich einem bestimmten Wahrscheinlichkeitsvektor u sind.
Hinweis: Betrachten Sie (AT )m ek , wobei ek der k-te kanonische Basisvektor des Rn ist,
und zeigen Sie lim (AT )m ek = (uk , uk , . . . , uk ) für ein uk > 0.
m→∞
c) Weisen Sie nach, daß b) auch im Fall von stochastischen Matrizen A, für die Ar >> 0
für ein r ∈ N gilt, erfüllt ist.
d) Zeigen Sie: Ist A stochastisch und gilt Ar >> 0 für ein r ∈ N, so ist P 2 = P, AP =
P A = P und Au = u.
e) Beweisen Sie den formulierten Satz.
Aufgabe Z30
a) Im Lande Oz ist das Wetter nie zwei Tage nacheinander schön. Wenn
es heute schön ist, ist es ebenso wahrscheinlich, daß es morgen regnet, wie, daß es morgen schneit. Wenn es heute regnet (oder schneit), dann ist es ebenso wahrscheinlich,
daß morgen dasselbe Wetter wie heute ist, wie daß es wechselt; und wenn das Wetter
wechselt, so nur in der Hälfte der Fälle zu schönem Wetter. Fassen Sie Regen, Schnee
und Sonnenschein als drei Zustände auf, und stellen Sie die stochastische Matrix auf, die
den zufälligen Wetterwechsel im Lande Oz beschreibt. Was ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Regen, Schnee und Sonnenschein, die sich nach vielen Tagen einpendelt?
b) Ein Teilchen macht eine “Irrfahrt” auf den fünf Punkten
• • • • •
1 2 3 4 5
Die Wahrscheinlichkeit für einen Sprung nach rechts sei 1/3, für einen Sprung nach links
2/3. Wenn das Teilchen sich am linken Rand befindet, springt es mit Wahrscheinlichkeit
1/3 nach rechts, mit Wahrscheinlichkeit 2/3 bleibt es am Rand. Wenn es sich am rechten
Rand befindet, springt es mit Wahrscheinlichkeit 2/3 nach links, mit Wahrscheinlichkeit
1/3 bleibt es am Rand. Konvergiert die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Teilchens
gegen ein Gleichgewicht? Wenn ja, wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, das Teilchen
nach sehr vielen Schritten an den Punkten 1, . . . , 5 zu finden?
c) Floureszenz. Ein Atom wird durch monochromatisches Licht zu einem Übergang von Niveau 1 nach Niveau 3 angeregt. a > 0 sei die Wahrscheinlichkeit eines Übergangs 1 → 3
3
pro Zeiteinheit. Der angeregte Zustand zerfällt über ein Niveau 2 wieder in den Grundzustand und sendet dabei (je nach Übergang) drei Spektrallinien mit den Frequenzen
ν31 = (E3 − E1 )/h, ν32 = (E3 − E2 )/h, ν21 = (E2 − E1 )/h aus. (Ei seien die Energien der
Niveaus, h das Plancksche Wirkungsquantum). Es seien b > 0 die Wahrscheinlichkeit
des Übergangs 3 → 2, c > 0 die Wahrscheinlichkeit des Übergangs 3 → 1, d > 0 die
Wahrscheinlichkeit des Übergangs 2 → 1. Ist (w1 , w2 , w3 ) die Wahrscheinlichkeitsverteilung der drei Atomniveaus, so ergibt sich der Intensitätsanteil der Spektrallinien zu
I32 = bw3 , I31 = cw3 , I21 = dw2 . Die Übergangsmatrix des Prozesses ist also


1−a
d
c
.
A= 0
1−d
b
a
0
1−b−c
Einverstanden? Konvergieren die Anregungswahrscheinlichkeiten w1 , w2 , w3 gegen ein
Gleichgewicht? Berechnen Sie die Intensitätsverhältnisse der Spektrallinien im Gleichgewicht, I31 /I32 , I31 /I21 , I32 /I21 .
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