t - Uni Kassel

Die magnetische Induktion
Ein Strom erzeugt ein Magnetfeld.
Kann ein Magnetfeld auch einen Strom erzeugen?
Alltagsbeobachtung: Wenn ein Netzstecker gezogen wird entsteht
manchmal ein Funken.
Erklärung: Das zusammenbrechende Magnetfeld erzeugt eine Spannung,
die dahingehend wirkt, den Strom aufrecht zu erhalten.
Durch ein zeitlich veränderliches Magnetfeld wird eine Spannung (ein Strom)
induziert.
Der magnetische Fluss
• Zerlegung der gesamten Fläche in kleine
Flächenelemente ∆A.
∆A
r
B
r
∆
A
• Magnetisches Feld am Ort von
ist B.
• Magnetischer Fluss durch das Flächenelement ∆A :
r r
∆Φ = B ⋅ ∆A
Magnetischer Fluss durch die gesamte Hüllfläche:
r r
Φ = ∫ B ⋅ dA
Fläche
Magnetischer Fluss durch eine Spule mit N Windungen:
r r
Φ = N ∫ B ⋅ dA
Einheit: 1Wb (Weber)
1 Wb = 1 Tm2
Fläche
Die Induktionsspannung
Beispiel: Leiterschleife im Magnetfeld
Ändert sich der magnetische Fluss wird eine Spannung induziert:
U ind
r r
dΦ
=−
= ∫ E ⋅ dl
dt Linie
Das durch Induktion erzeugte elektrische Feld ist nicht konservativ !
r r
Vergleich: Für ein elektrisches Feld einer ruhenden Ladung gilt ∫ E ⋅ dl = 0.
Linie
Ursachen der Fluss Änderung:
• Die Stromstärke des Feld erzeugenden Stromes verändert sich.
• Permanentmagnete können zur Leiterschleife hin oder von ihr wegbewegt
werden.
• Die Leiterschleife kann relativ zum Magnetfeld bewegt werden.
• Die Orientierung der Leiterschleife im Magnetfeld kann verändert werden.
• Die Fläche der Leiterschleife kann variiert werden.
Die Lenzsche Regel
Die Induktionsspannung und der Strom, den sie hervorruft, sind stets so
gerichtet, dass sie ihrer Ursache entgegenwirken.
(Energieerhaltung)
Beispiele:
I
r
v
S
r
p mag
r
B
N
S
I
r
v
S
N
N
S
+
-
Izu
I
N
S
N
ausschalten:
r r
Bzu Bind
r r
Bab Bind
Iind
+
-
r
B
N
r
v
S
einschalten:
I
r
v
Iab
Iind
Die Selbstinduktion
Schalter schließen:
•
•
•
•
Es fließt ein Strom durch die Spule.
In der Spule wird ein Magnetfeld aufgebaut,
d.h. der magnetische Fluss nimmt zu.
Dies induziert in der Spule eine Gegenspannung.
Schalter öffnen:
• Der Strom wird unterbrochen.
• Das Magnetfeld in der Spule bricht zusammen,d.h. der magnetische Fluss
nimmt ab und ∆Φ / ∆t ist negativ.
• Dies induziert in der Spule eine Spannung, die den Strom in der ursprünglichen
Richtung weiterfliesen lässt.
Biot-Savartsches Gesetz:
Faradaysches
Induktionsgesetz:
B ~ I ⇒ Φ ~ I ⇒ Φ = LI
U ind = −
dΦ
d( LI )
dI
⇒ U ind = −
⇒ U ind = − L
dt
dt
dt
Proportionalitätskonstante: Induktivität L
Einheit: 1 H (Henry) = 1 Vs/A
Beispiel: Induktivität für eine lange Spule
Linie
a
b
l
Ampèresches Gesetz:
1
µ0
Linie
Magnetfeld sei im Inneren der Spule
homogen und im Außenraum Null.
r r
N
N
⇒ ∫ B ⋅ dl = Ba = µ 0 N a I ⇒ B = µ 0 a I ⇒ B = µ 0 I
a
l
Linie
r r
Φ
N2
N2
Φ = N ⋅ B ⋅ A = N ⋅ B ⋅ A = µ0
IA ⇒ L = = µ 0
A
l
I
l
A: Querschnittsfläche der Spule
r r
∫ B ⋅ dl = I
Induktionsspannung durch Bewegung
r
v
l
Das Magnetfeld zeigt in die
Ebene hinein.
V
r r
Φ = B ⋅ A = B ⋅ A = B ⋅ x ⋅l
x
dΦ
dx
= B ⋅l ⋅ = B ⋅l ⋅v
dt
dt
r
v
l
Lenzsche Regel: Das durch
den induzierten Strom erzeugte
Magnetfeld zeigt aus der
Ebene heraus.
I
x
Der Generator
r
nA
r
B
r r
r r
Magnetischer Fluss durch die Spule: Φ = B ⋅ A = B ⋅ A ⋅ cos( B, n A ) = B ⋅ A ⋅ cos θ
Spule mit N Windungen: Φ = N ⋅ B ⋅ A ⋅ cos θ
Winkel zum Zeitpunkt t: θ (t ) = ωt + δ ⇒ Φ = N ⋅ B ⋅ A ⋅ cos(ωt + δ )
⇒ U ind = −
dΦ
d cos(ωt + δ )
= −N ⋅ B ⋅ A⋅
= ω ⋅ N ⋅ B ⋅ A ⋅ sin(ωt + δ )
dt
dt
⇒ U ind = U 0 ⋅ sin(ωt + δ )
U0
Energie und Energiedichte des magnetischen Feldes
L
Maschenregel: U 0 − IR − L
dI
=0
dt
Leistung, die als Joulesche Wärme pro
Zeiteinheit im Widerstand verloren geht.
U0
R
⇒ U 0 I = I 2 R − LI
dI
dt
Batterieleistung
Imax
dWL
1 2
dI
⇒
= LI
⇒ WL = L ∫ IdI = LI max
dt
dt
2
0
N2
Beispiel: Lange Spule L = µ 0
A
l
2
1 N2
1
B
2
⇒ WL = µ 0
A I max
=
V
2
2 µ0
l
WL 1 B 2
Energiedichte des Magnetfeldes: w =
=
V
2 µ0
Vergleich: Energiedichte des elektrischen Feldes w =
1
ε0E2
2
Übung:
L
C
Zur Zeit t = 0 befindet sich die Ladung Q auf dem Kondensator und der
Schalter wird geschlossen.
• Was passiert?
• Wo steckt die Energie und in welcher Form?
• Analogie zum Faden- oder Federpendel?
Übung:
Richtig oder Falsch?
I
1. Die Stromstärke I in der ersten Schleife nimmt mit der Zeit ab.
• Der Strom in der zweiten Schleife fließt in die gleiche Richtung.
• Der Strom in der zweiten Schleife fließt in die entgegen gesetzte Richtung.
• Die Schleifen ziehen sich an.
• Die Schleifen stoßen sich ab.
2. Die Stromstärke I in der ersten Schleife nimmt mit der Zeit zu.
• Der Strom in der zweiten Schleife fließt in die gleiche Richtung.
• Der Strom in der zweiten Schleife fließt in die entgegen gesetzte Richtung.
• Die Schleifen ziehen sich an.
• Die Schleifen stoßen sich ab.