7.2A. Bogenlänge von Potenzfunktionen

7.2A. Bogenlänge von Potenzfunktionen
In diesem Ergänzungsabschnitt wollen wir uns der Frage widmen, für welche rationalen
Exponenten k die Potenzfunktionen
f( x ) = xk
eine elementar bestimmbare Bogenlänge besitzen. Eilige Leser können diesen Abschnitt übergehen
(oder überfliegen).
Die Ableitung von f( x ) ist
f´( x ) = k xk-1 ,
und das Integral für die Bogenlänge lautet daher
⌠
s a( b ) = 

⌡
b
1 + k2 x2k-2 dx .
a
Auf den ersten Blick sieht das nicht gar so schlimm aus. Erstaunlicherweise ist die Aufgabe aber
nur für k = 1 sowie für
n+1
n
k=
und k =
n
n+1
mit natürlichen Zahlen n einigermaßen leicht lösbar, während alle anderen Werte von k vehemente
Probleme bereiten.
xk, k = 1 .. 20
Für n = 1 bzw. k = 2 haben wir die Normalparabel, und für n = 2 bzw. k = 3/2 kommt die Neilsche
Parabel heraus. Nachdem wir diese beiden Fälle bereits geklärt haben, wagen wir uns an die
allgemeine Situation
n+1
1
f( x ) = xk , k =
=1+ .
n
n
x
n+1


 n 
,x
 n 


n+1
Hier erhalten wir die Ableitung
f´( x ) = k x1/n ,
die skalare Geschwindigkeit
v( x ) =
1 + k2 x2/n ,
und das unbestimmte Integral zur Berechnung der Bogenlänge ist wieder
⌠
 v( x ) dx .
⌡
Betrachten wir den Fall gerader Zahlen n = 2 m.
Wir substituieren die Wurzel und lösen nach x auf:
m
v=
1 + k2 x1/m , x =
( v2 − 1 )
2m
, dx =
m ( v2 − 1 )
(z − 1)
m−1
=
2 v dv
2m
k
Damit formen wir das Integral um zu
(m − 1)
2m ⌠ 2
( v − 1 )
v2 dv .
(2 m) 
⌡
k
Unter Verwendung der binomischen Formel
(m − 1)
(m − 1)
k
.
∑ B( m − 1, j ) z ( −1 )
(m − 1 − j)
j
j=0
mit den Binomialkoeffizienten
( m − 1 )!
B( m − 1, j ) =
j! ( m − j − 1 )!
gelangen wir durch gliedweise Integration zu
2m
m−1
(2 m)
k
∑ B( m − 1, j ) ( −1 )
j=0
(2 m + 1)
(2 m)
(2 m)
(2 m + 1)
m
∑
(m − 1 − j)
⌠ (2 j + 2)

dv =
v
⌡
(m − j)
B( m − 1, j − 1 ) ( −1 )
2j+1
j=1
Für die Bogenlänge der Funktion xk mit k =
der Rücksubstitution
v( x ) =
1+
( 2 m + 1 )2 x1/m
( 2 m )2
das folgende bestimmte Integral:
1
⌠
s 2 m =  v( x ) dx
⌡
0
2m+1
2m
(2 j + 1)
v
.
zwischen 0 und 1 erhalten wir daher nach
(2 m + 1)
=
(2 m)
(2 m + 1)
m
=
m
(2 m)
∑
∑
(m − j)
B( m − 1, j − 1 ) ( −1 )
B( m − 1, j − 1 ) ( −1 )
(m − j)
(2 m)
(2 m − 2 j)
(2 j + 1)
( z
(2 m)
(2 j + 1) (2 m + 1)
j=1
1+
(
2j+1
j=1
( 2 m + 1 )2
(2 j + 1)
− 1)
( 2 m )2
− (2 m)
(2 j + 1)
),
wobei z = ( 2 m )2 + ( 2 m + 1 )2 gesetzt wurde. Auf jeden Fall ist
s2 m = qm z + rm mit geeigneten rationalen Zahlen qm, rm.
Wir nehmen MAPLE zu Hilfe, um diese Zahlen für m = 1, ..., 10 zu bestimmen.
s2 :=
s4 :=
s6 :=
s8 :=
s10 :=
s12 :=
s14 :=
s16 :=
s18 :=
13 13
27
1763 41
9375
142885 85
823543
283377415 145
2711943423
1884057686563 221
17974635248493
1693680504718253 313
23321383207603481
14064711112079961937 421
187856478973388671875
59346165112421983829255 545
1064658217047715415495799
279679460826332637592963795 685
4809538182910222335160392949
s20 :=
8
−
27
+
2048
−
746496
+
9375
4117715
2147483648
13559717115
−
+
−
+
−
2560000000000
17974635248493
3043362286338048
23321383207603481
22757389978742816768
187856478973388671875
604462909807314587353088
5323291085238577077478995
2578606199622633886542987264
24047690914551111675801964745
36495661067145135829027
25798674916142804999323
Die letzte (rationale!) Zahl ist die Bogenlänge der beiden Kurven
x21/20 und
x20/21
zwischen 0 und 1. Es passiert sehr selten, daß die Bogenlänge von Kurven der Form xk zwischen 0
und 1 eine rationale Zahl ist - aber es kommt unendlich oft vor, nämlich dann, wenn
z = ( 2 m )2 + ( 2 m + 1 )2
wieder eine Quadratzahl ergibt. In diesem Fall ist die Bogenlänge s2 m = qm z + rm der Kurve
x
2m+1


 2m 
zwischen 0 und 1 rational.
Da die Kurven sich eng an die Diagonale anschmiegen, sollten diese rationalen Bogenlängen nahe
bei 2 liegen. In der Tat ergibt numerische Auswertung für m = 10 immerhin eine
Übereinstimmung der ersten drei Nachkommastellen:
s20 = 1.414633162
2 = 1.414213562
.
Ein pythagoräisches Tripel ist ein Tripel ganzer Zahlen x < y < z, die als Seitenlängen eines
rechtwinkligen Dreiecks auftreten.
Das ist nach dem Satz von Pythagoras genau dann der Fall, wenn
x 2 + y 2 = z2
gilt. Der polnische Mathematiker Waclaw Sierpinski hat in seinem Buch "Pythagorean Triangles"
1962 alle pythagoräischen Tripel, bei denen sich die zwei kleineren Zahlen um 1 unterscheiden,
bestimmt. Sind diese x und y = x + 1, so muß
x 2 + ( x + 1 ) 2 = z2
gelten, und für gerades x = 2 m ist das genau die Bedingung, die wir oben brauchten. Man beginnt
mit
3, 4, 5
und bildet aus jedem schon gewonnenen Tripel x, x + 1, z ein neues, nämlich
3 x + 2 z + 1, 3 x + 2 z + 2, 4 x + 3 z + 2.
Aus 3, 4, 5 wird also zum Beispiel
20, 21, 29,
daraus
119, 120, 169,
und daraus
696, 697, 985.
Auf diese Weise entstehen alle solchen pythagoräischen Tripel - ein genialer und schwieriger
Satz!
21
697
2m+1
Nach
ist also
der nächste Exponent der Form k =
, für den xk eine rationale
20
696
2m
Bogenlänge zwischen 0 und 1 hat.
Tatsächlich findet MAPLE durch exakte Auswertung der obigen Summenformel für das Integral
s696 den über eine Seite verteilten Bruch
s696 = 1187274973185086457699557834934455860705473624065823215504025313042049\
888620123555041432961278924277871682430560000085406755917727520550103658100\
114361347863329298239725152383951060520066039929127414376317233833082879113\
840652822962652511206080235630164983315908574477769660829382686712997862578\
044425371260464386950801509190899442993893589346276672636217178228430640829\
492773151106547207911195719196875651167638499841070210797471546490532886402\
202815969589882165398349566472419204217516435811811293661977791987859103746\
442711028245664580305670738917381960341440738217350978918714442289376629952\
822099763150780106440542999159882073668406648969467143512662628540643580735\
009110039394964762340930875423668245813496851747445080165049734737970446870\
654017315634997816897059649650312775070748831198589504902702811177427137831\
006374682421450724326303206873906278791979219691397615218547286325139680861\
063315029038463514213685093633526129556070322464831230678457376809806825751\
136138345523165637248640235093167112516702378117389889806236506204430593001\
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83952996834\
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010829096616064910580926459799366649577631455842080820912195613126203413531\
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036623473392395640741490632144283087820887262700505170769350351613998801405\
818768725367368919921901766559088320526875
Aber nicht immer ist auf ein Computerprogramm Verlaß! Lassen wir z.B. MAPLE das Integral s12
direkt berechnen, so spuckt es eine etwa 10 Seiten lange (falsche) Formel aus!
Für ungerades n wird die Berechnung des Integrals
⌠


⌡
b
1 + k2 x2/n dx
a
zur Bogenlänge von xk (k =
v=
n+1
n
) leider noch etwas aufwendiger. Man substituiert
1 + k2 x2/n und bekommt
⌠
sn = 

⌡
1
1 + k2 x2/n
0
1+k
⌠
( −n ) 

dx = n k


⌡
2
n

 − 1 
2

v2 ( v2 − 1 )
dv .
1
Mit einer weiteren Substitution v = cosh( t ) gelangt man zum Ziel, aber der Weg ist lang.
Für die ersten vier ungeraden Werte von n liefert MAPLE folgende Ergebnisse:
n = 1,
1
2
n = 3,
n = 5,
n = 7,
3431
20736
14416639
100663296
61 −
113 +
5+
205
128
15625
124416
1
4
−
ln( 2 +
81
512
ln( 3 )
ln( 5 ) +
28824005
268435456
5)
15625
124416
ln( 7 ) −
ln( 61 + 6 )
28824005
268435456
ln( 113 + 8 )
Die Bogenlänge einer kubischen Parabel x3 ist bereits nicht mehr mit elementaren Mitteln
berechenbar, sondern erfordert ein sogenanntes elliptisches Integral. MAPLE liefert leider ohne
zusätzliche Tricks komplexe Ausdrücke für das reelle Integral!?