Aufgabe 1: Definitionen Aufgabe 2: Geschwindigkeitsfelder

Institut für Hydromechanik
Prof. G. H. Jirka
Dipl.-Ing. C. Braun
Hydromechanik
WS 2007/2008
Übungsblatt 2
Aufgabe 1: Definitionen
1. Geschwindigkeitsfelder
(a) Wie ist die Lagrangesche Geschwindigkeit definiert? Wie ist die Eulersche Geschwindigkeit definiert? Nennen Sie Vor- und Nachteile der jeweiligen Definitionen im hydromechanischen Zusammenhang.
(b) Wie ist eine Stromlinie definiert? Können sich Stromlinien kreuzen? (Begründung)
(c) Wie sind Bahn- und Streichlinien definiert? Skizzieren Sie Beispiele für Strom- , Bahn- , und
Streichlinien.
2. Strömungszustände
(a) Wie ist die Reynoldszahl definiert? Was charakterisiert eine laminare bzw. eine turbulente Strömung?
3. Transportgleichung
(a) Geben Sie die allgemeine Transportgleichung an und diskutieren Sie stichwortartig die Bedeutung der einzelnen Terme.
Welche Vereinfachungen können für stationäre Probleme getroffen werden und warum?
(b) Ordnen Sie die folgenden Größen nach intensiven und extensiven Systemeigenschaften:
spezifisches Gewicht γ, Dichte ρ, Masse M , Oberflächenspannung σ, Dampfdruck pd , Gewicht
G, Geschwindigkeit V und Beschleunigung a.
Aufgabe 2: Geschwindigkeitsfelder
1. Begründen Sie welche der in Abb. 1 skizzierten Strömungen gleichförmig sind und welche nicht.
Abbildung 1
1
2. Der Rhein bei Karlsruhe fließt mit einer mittleren Geschwindigkeit von ubulk = 1, 0 m/s, bei einer
mittleren Wassertiefe von h = 4, 73 m (Abb. 2: momentane Geschwindigkeit, u; zeitlich gemittelte
Geschwindigkeit, u; mittlere Geschwindigkeit, ubulk ) Geben Sie den Wert der Reynoldszahl basierend
auf der mittleren Geschwindigkeit und der mittleren Wassertiefe an. Ist die Strömung turbulent
(Recrit = 500 für Gerinneströmungen)? Ist die Strömung stationär?
Abbildung 2
Aufgabe 3: Durchflussrate
1. Die laminare Strömung eines Fluids über eine Platte (vgl. Abb. 3) kann näherungsweise mit der
Gleichung
µ ¶ µ
¶
·
¸
³
y ´2
u
u(y)
U =
=
; mit u(y) = umax · 1 − 1 −
; v = 0 für 0 ≤ y ≤ h
v
0
h
beschrieben werden.
(a) Skizzieren Sie das Geschwindigkeitsprofil in Abb. 3.
(b) Berechnen Sie die Durchflussrate.
(c) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit und skizzieren Sie diese im Geschwindigkeitsprofil
von Teilaufgabe (a).
Abbildung 3
2
2. Wasser strömt in einem Kanal mit der Breite B und der Tiefe H (Abb. 4). Die Geschwindigkeitsverteilung ist durch die Gleichung


u(x, y, z, t)
U =  v(x, y, z, t)  ;
w(x, y, z, t)
v = w = 0;
µ
¶ µ
¶
4 · z2
y2
mit u(x, y, z, t) = umax · 1 −
· 1− 2 ;
B2
H
für
−
B
B
≤ z≤
;
2
2
0≤ y≤ H
gegeben, wobei umax die Geschwindigkeit in der Mitte der Wasseroberfläche bezeichnet.
(a) Wie groß ist der Volumenfluss Q in Abhängigkeit von umax , D und B?
(b) Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit?
(c) Bestimmen Sie für umax = 1 m/s, H = 4, 73 m/s und B = 30 m sowie B = 200 m analog zu
Aufg. 2.2 die Reynoldszahl.
Abbildung 4
3. Die Fließgeschwindigkeit von Wasser in einem dreiecksförmigen Kanal nimmt linear mit der Tiefe
ab. Berechnen Sie den Durchfluss bei einer maximalen Geschwindigkeit von umax = 2 m/s unter
Vernachlässigung der Haftbedingung an den Seitenwänden.
Abbildung 5
3
Aufgabe 4: Beschleunigung
1. Gegeben ist das Geschwindigkeitsfeld:


u
U =  v  ; mit u = xt + 2y ; v = xt2 − yt ; w = 0
w
Berechnen Sie die gesamte Beschleunigung für x = 1 , y = 1 und t = 2.
2. Eine Flüssigkeit fließt durch einen zweidimensionalen Kanal mit einer Durchflussrate von q = 2q0 t/t0 ,
wobei q den Durchfluss pro Breiteneinheit des Kanals angibt und q0 , sowie t0 Bezugsgrößen angeben
(siehe Abb. 6). Entlang y = 0 ist die Geschwindigkeit durch u = q/b und v = w = 0 gegeben.
(a) Wie groß ist die lokale Beschleunigung bei x = 2B und y = 0 in Abhängigkeit von B, t, t0 , q0 ?
(b) Wie groß ist die konvektive Beschleunigung?
Abbildung 6
Aufgabe 5: Massenerhaltung
1. Ein inkompressibles Fluid durchströmt stationär die sich verengende Rohrleitung (siehe Abb. 7).
(a) Zeichnen Sie in Abb. 7 ein Kontrollvolumen mit Koordinatensystem, sowie Geschwindigkeitsund Flächenvektoren ein.
(b) Wie groß ist das Verhältnis zwischen Ein- und Austrittsgeschwindigkeit?
Gegeben: d1 = 10 cm, d2 = 5 cm
Abbildung 7
4
2. Beide Kolben aus Abb. 8 bewegen sich nach links, Kolben A doppelt so schnell wie der Kolben B.
Welche der folgenden Aussagen ist korrekt? (Begründung)
Der Wasserspiegel im Behälter
a) steigt
b) ändert sich nicht
c) fällt.
Durchmesser=2m
Durchmesser=1m
Abbildung 8
3. Gegeben ist das in Abb. 9 skizzierte T-Stück mit kreisförmigen Querschnitt. Bestimmen Sie die
Geschwindigkeit v3 .
Gegeben: V1 = 6 m/s, V2 = 4 m/s, D1 = 4 m, D2 = 2 m, D3 = 4 m
Abbildung 9
4. Ist das Geschwindigkeitsfeld aus Aufg. 3.1 physikalisch möglich?
(HINWEIS: Verwenden Sie die Kontinuitätsgleichung)
5. Ist das Geschwindigkeitsfeld aus Aufg. 3.2 physikalisch möglich?
6. Ist das Geschwindigkeitsfeld aus Aufg. 4.1 physikalisch möglich?
5
Aufgabe 6: Rotation
1. Ist die laminare Strömung über eine Platte (vgl. Aufg. 3.1) rotationsfrei?
2. Das Geschwindigkeitsfeld einer Strömung ist in Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) gegeben durch
µ ³ ´ µ ¶
¶
U0
r0
r
Uϕ =
· 4·
+
+2
7
r
r0
Vr = Vz = 0 ;
U0 = const.
(a) Stellen Sie die Tangentialgeschwindigkeit Vϕ als Funktion des Radius graphisch dar.
(b) Aus welchen Anteilen setzt sich die Tangentialgeschwindigkeit zusammen?
(c) Genügt die Strömung der Kontinuitätsgleichung?
(d) Ist die Strömung rotationsbehaftet?
Hinweis:
Auch in Zylinderkoordinaten kann die Kontinuitätsgleichung durch
∇·U = 0
beschrieben werden, ebenso wie der Drehvektor durch
ω=
1
(∇ × U )
2
.
Hierbei ist nun allerdings


∂/∂r
∇ =  1/r ∂/∂ϕ 
∂/∂z
6


Ur
und U =  Uφ 
Uz
.