Blätter

Prof. Dr. S. Müller-Stach
S. Samol
11. Übung zur Vorlesung
Zahlentheorie
im Wintersemester 2015/16
Aufgabe 41.
(4 Punkte)
Zeige, dass das Polynom (X 2 − 13)(X 2 − 17)(X 2 − 13 · 17) ∈ Z[X] modulo jeder natürlichen
Zahl n ∈ N eine Nullstelle hat, aber keine Nullstelle in Z besitzt.
Aufgabe 42.
(4 Punkte)
Sei p eine Primzahl. Zeige, dass die diophantische Gleichung x3 = y 4 +p keine Lösung x, y ∈ Zp
besitzt mit x ≡ y ≡ 0 mod p.
Abgabe am Freitag, den 29.01.2016, um 13 Uhr.
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10. Übung zur Vorlesung
Zahlentheorie
im Wintersemester 2015/16
Aufgabe 37.
(4 Punkte)
Zeige, dass x = 35 und y =
Potenzreihenentwicklung.
2
3
Elemente in Z7 sind und berechne die ersten vier Stellen der
Aufgabe 38.
(4 Punkte)
Berechne eine Lösung der Gleichung 7X 2 ≡ 2 mod 133 .
Aufgabe 39.
(4 Punkte)
Entscheide, ob die folgenden Gleichungen eine Lösung besitzen und berechne gegebenenfalls
die ersten drei Stellen einer Lösung.
X 2 = 7 in Z3 , X 2 = 17 in Z5003 , X 2 = −1 in Z2
Aufgabe 40.
(4 Punkte)
Zeige für jede Primzahl p:
(a) Zp ist kompakt
(b) Qp ist lokalkompakt
Abgabe am Freitag, den 22.01.2016, um 13 Uhr.
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9. Übung zur Vorlesung
Zahlentheorie
im Wintersemester 2015/16
Aufgabe 33.
(4 Punkte)
Zeige: Für jede Primzahl p ≥ 3 hat die Gleichung
(x + y)(x − y)2 = p2015
jeweils 2016 ganzzahlige Lösungen.
Aufgabe 34.
(4 Punkte)
√
Bestimme die Fundamentaleinheit des Ringes ganzer Zahlen des Zahlkörper Q( 47).
Aufgabe 35.
(4 Punkte)
√
√
Berechne die Klassenzahl von Q( 35) und von Q( −23).
Hinweis: Benutze,
dass Ideale in OK , K ein quadratischer Zahlkörper mit Diskriminante ∆,
√ b+ ∆
mit a, b ∈ Z besitzen.
die Form a, 2
Aufgabe 36.
(4 Punkte)
√
Zeige: Q( −23) ⊂ Q(ζ23 ).
Qp−1
Betrachte dazu das Kreisteilungspolynom Φp (X) = i=1
(X − ζ i ) aus Ausgabe 29 für X = 1
und stelle Φp (1) mithilfe von Faktoren der Form (1 − ζ)(1 − ζ −1 ) dar.
Abgabe am Freitag, den 15.01.2016, um 13 Uhr.
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8. Übung zur Vorlesung
Zahlentheorie
im Wintersemester 2015/16
Am Montag, den 04.01.2016, wird während der Vorlesung eine Probeklausur geschrieben, die am Freitag, den 08.01.2016, während der Vorlesung besprochen wird.
Der zweite Online-Test wird am Freitag, den 11.12.15, um 14 Uhr auf Ilias veröffentlicht. (Dazu auf https://ilias.uni-mainz.de nach Zahlentheorie WS15/16 suchen.)
Den/die erste, der/die alle Fragen des Tests richtig beantwortet, erwartet eine kleine Überraschung. Für die Zulassung zur Klausur der Zahlentheorie müssen in allen Online-Tests alle
Fragen richtig beantwortet werden. Die Tests dürfen bis zum 21.02.2016 beliebig oft durchgeführt werden.
Aufgabe 29.
(4 Punkte)
Sei ζ eine primitive p-te Einheitswurzel für p > 2 prim. In zwei Teilen sollen der Ganzheitsring
OQ(ζ) und die Diskriminante des Kreisteilungskörpers Q(ζ) berechnet werden.
Zeige zuerst OQ(ζ) = Z[ζ] wie folgt.
p
−1
(a) Zeige, dass Φp (x) := X p−1 + X p−2 + ... + X + 1 = XX−1
das Minimalpolynom von ζ ist.
Wende dazu das Eisenstein-Kriterium auf Φp (X + 1) an.
Insbesondere hat die Körpererweiterung Q(ζ)/Q also den Grad p − 1.
(b) Zeige nun, dass das durch p gegebene Ideal pOQ(ζ) eine Potenz des von λ := 1 − ζ
erzeugten Hauptideals ist, genauer,
pOQ(ζ) = (λ)p−1 .
Betrachte dazu Φp (X) =
um p = λp−1 zu folgern.
Qp−1
i=1 (X − ζ
i)
für X = 1 und 1 − ζ i = (1 − ζ)(1 + ζ + . . . + ζ i−1 )
Zeige: ist eine Einheit in OQ(ζ) .
(c) Berechne für ein Element α = a0 + a1 ζ + . . . + ap−2 ζ p−2 ∈ Q[ζ] die Spuren der Elemente
αζ −k − αζ,
k = 0, . . . , p − 2
um pα ∈ Z[ζ] zu zeigen.
P
i
(d) Schreibe pα = p−2
i=0 ci λ und zeige mittels Induktion, dass ci ≡ 0 mod p. Benutze die
Norm, um daraus p | ci für alle i zu folgern. Schließe, dass bereits die pai durch p teilbar
waren und somit α ∈ Z[ζ] ist, wenn α ganz ist.
Nach dem Obigen ist 1, ζ, . . . , ζ p−2 eine Ganzheitsbasis. Um nun deren Diskriminante zu bestimmen, gehe wie folgt vor.
(e) Zeige, dass
∆(1, ζ, . . . , ζ p−2 ) =
p−1
Y
Y
(ζ i − ζ j ) = ±
Φ0p (ζ i ).
i6=j
i=1
(f) Zeige durch Ableiten von (X − 1)Φp (X) = X p − 1 und einsetzen, dass Φ0p (ζ i ) =
Bestimme damit die Diskriminante (bis auf Vorzeichen).
p
ζ −i .
ζ i −1
Aufgabe 30.
(4 Punkte)
Es seien m, n ∈ Z zwei quadratfreie, teilerfremde ganze Zahlen von denen mindestens eine ≡ 1
√ √
mod 4 ist. Betrachte K := Q( m, n). Zeige:
i) Ist 1, ω bzw. 1, ω 0 eine Ganzheitsbasis von OQ(√m) bzw. OQ(√n) , so ist 1, ω, ω 0 , ωω 0 eine
Ganzheitsbasis von OK
ii) Berechne den Ring der ganzen Zahlen für (m, n) = (3, 5) und (m, n) = (5, 13).
iii) Was ist jeweils die Diskriminante der obigen Zahlkörper?
Hinweise: Schreibe ein α ∈ OK als α = β0 + β1 ω 0 mit βi ∈ Q[ω]. Bezeichne mit d bzw. d0 die
√
√
√
Diskriminanten von O( m) bzw. O( n). Zeige: d,d0 sind teilerfremd. Zeige nun βi d0 ∈ O( m)
und folgere, dass d0 α Koeffizienten in Z besitzt. Vertausche nun die Rollen von d und d0 , um
i) zu zeigen.
Aufgabe 31.
(4 Punkte)
√
Berechne im Ring der ganzen Zahlen des Zahlkörpers K = Q( 2) die Inversen der Ideale
√
√
I = (3, 1 + 2 2) und J = (7, 1 + 2 2)
Aufgabe 32.
(4 Punkte)
√
Sei K = Q( d) ein quadratischer Zahlkörper. Zerlege die Hauptideale (p), p ∈ P in Primideale.
Abgabe am Freitag, den 18.12.2015, um 13 Uhr.
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7. Übung zur Vorlesung
Zahlentheorie
im Wintersemester 2015/16
Aufgabe 25.
(4 Punkte)
Untersuche die folgenden komplexen Zahlen darauf, ob sie ganz über Z oder zumindest algebraisch über Q sind:
√
4 1+ 5
, √ , exp(2πi/17).
25
7
Aufgabe 26.
(4 Punkte)
Zeige, dass die Näherungsbrüche pqnn einer irrationalen Zahl α für n > 1 die besten Approximationen von α durch Brüche der Form pq , 1 ≤ q ≤ qn , p, q teilerfremd, liefern. Mit anderen
Worten, zeige, dass
p
− α ≥ pn − α q
qn
für alle teilerfremden p, q ∈ Z mit 1 ≤ q ≤ qn .
Aufgabe 27.
(4 Punkte)
Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind:
(a) Für α ∈ C existiert ein Zahlkörper K, so dass α ∈ K.
(b) Es existiert ein Polynom 0 6= f (x) ∈ Z[x], so dass f (α) = 0.
Aufgabe 28.
(4 Punkte)
(a) Sei α eine Nullstelle des Polynoms X 3 − X − 4 ∈ Z[X]. Zeige, dass 12 (α + α2 ) eine ganze
algebraische Zahl ist, 21 (1 + α) aber nicht.
(b) Sei β eine Nullstelle des Polynoms X 3 − 2X 2 + 6X + 40 ∈ Z[X]. Zeige, dass 12 β nicht
ganz über Z ist, obwohl Norm und Spur ganze Zahlen sind.
Abgabe am Freitag, den 11.12.2015, um 13 Uhr.
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6. Übung zur Vorlesung
Zahlentheorie
im Wintersemester 2015/16
Aufgabe 21.
√
√
Entwickle m2 − 1 und m2 + 1 für m ∈ N in einen Kettenbruch.
(4 Punkte)
Aufgabe 22.
(4 Punkte)
Berechne die Kettenbruchentwicklung der Zahl x > n, die x2 = nx + 1 erfüllt.
Aufgabe 23.
(4 Punkte)
Berechne jeweils 3 Lösungen der Pellschen Gleichungen x2 − 13y 2 = 1 und x2 − 13y 2 = −4,
die sich nicht nur um ein Vorzeichen unterscheiden.
Aufgabe 24.
(4 Punkte)
Man kann die Pellsche Gleichung x2 − dy 2 = 1 für d ∈ Z auch schreiben als
x dy
= 1.
det
y x
Zeige, dass damit die ganzzahligen Lösungen der Pellschen Gleichung zu einer Untergruppe
der Gruppe Gl(2, Q) werden.
Abgabe am Freitag, den 04.12.2015, um 13 Uhr.
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5. Übung zur Vorlesung
Zahlentheorie
im Wintersemester 2015/16
Aufgabe 17.
(4 Punkte)
Es soll ein Spezialfall der Vermutung von Fermat (für n = 4) bewiesen werden, und zwar, dass
die Gleichung x4 + y 4 = z 2 nur Lösungen mit xyz = 0 besitzt.
(a) Zeige zunächst, dass es reicht die Aussage für teilerfremde Tripel (x, y, z) ganzer Zahlen
zu zeigen.
(b) Sei nun (x, y, z) ein teilerfremdes Tripel ganzer Zahlen mit x4 + y 4 = z 2 , xyz 6= 0. Dann
gibt es nach evtl Vertauschung von x und y teilerfremde p, q ∈ Z mit p 6= q mod 2,
p > q > 0 und
x2 = 2pq, y 2 = p2 − q 2 , z = p2 + q 2 .
(c) Zeige, dass für die Zahlen p, q ∈ Z aus Teil b) gilt: Es gibt teilerfremde a, b ∈ Z mit
a 6= b mod 2, a > b > 0 so, dass
q = 2ab, y = a2 − b2 , p = a2 + b2 .
(d) Zeige, dass ab und a2 + b2 und somit auch a, b Quadrate in Z sind.
(e) Sei a = X 2 , b = Y 2 und a2 + b2 = Z 2 mit X, Y, Z ∈ Z. Verwende das Tripel (X, Y, Z)
um durch ein Abstiegsargument die Vermutung von Fermat für n = 4 zu beweisen.
(f) Zeige: Ist die Vermutung von Fermat für jede ungerade Primzahl bewiesen, dann gilt sie
für alle n > 2.
Aufgabe 18.
(4 Punkte)
Stelle die Zahlen 178, 373 und 4797 als Summe zweier Quadrate dar.
Aufgabe 19.
(4 Punkte)
Berechne die Kettenbruchentwicklung von
49
13 ,
2+
√
5 und
1
2
+
√1 .
2
Aufgabe 20.
(4 Punkte)
Berechne den Wert der Kettenbrüche [2, 3], [1, 2, 3], [3, 2, 1] und [0, 2, 4, 2, 1, 3, 2].
Abgabe am Freitag, den 27.11.2015, um 13 Uhr.
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4. Übung zur Vorlesung
Zahlentheorie
im Wintersemester 2015/16
Der erste Online-Test wird am Montag, den 16.11.15, um 14 Uhr auf Ilias veröffentlicht. (Dazu
auf https://ilias.uni-mainz.de nach Zahlentheorie WS15/16 suchen.)
Den/die erste, der/die alle Fragen des Tests richtig beantwortet, erwartet eine kleine Überraschung.
Für die Zulassung zur Klausur der Zahlentheorie müssen in allen Online-Tests alle Fragen
richtig beantwortet werden. Die Tests dürfen bis zum 21.02.2016 beliebig oft durchgeführt
werden.
Aufgabe 13.
(4 Punkte)
Berechne log2 18 in F37 und log5 22 in F547 mit dem baby steps - giant steps Algorithmus.
Aufgabe 14.
(4 Punkte)
Zeige, dass die Einheitengruppe Un genau dann zyklisch ist, wenn entweder n = 4, n = pr+1
oder n = 2pr (für r ∈ N0 und p ∈ P \ {2}).
Aufgabe 15.
(4 Punkte)
Berechne die Jacobi-Symbole
37
859
und
10270
25511
.
Aufgabe 16.
(4 Punkte)
Sei p ≥ 3 prim. Zeige:
= 1 genau dann, wenn p ≡ 1 mod 6.
(a) −3
p
(b)
= 1 genau dann, wenn p ≡ 1 mod 12 oder p ≡ 11 mod 12.
(c)
3
p
−2
p
= 1 genau dann, wenn p ≡ 1 mod 8 oder p ≡ 3 mod 8.
Abgabe am Freitag, den 20.11.2015, um 13 Uhr.
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3. Übung zur Vorlesung
Zahlentheorie
im Wintersemester 2015/16
Aufgabe 9.
(4 Punkte)
Es bezeichne ϕ(n) die Eulersche ϕ-Funktion, d.h. die Mächtigkeit der Einheitengruppe Un .
Zeige:
(a) ϕ(n) ist gerade für n ≥ 3.
(b) ϕ(n) ist eine Zweierpotenz genau dann, wenn n das Produkt einer Zweierpotenz mit
paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist.
(c) n ist prim genau dann, wenn ϕ(n) = n − 1.
P
(d) n = d|n ϕ(d).
Aufgabe 10.
(4 Punkte)
Es seien p = 241, q = 251 und n = pq deren Produkt. Bestimme ϕ(n) und finde ein e > 1
mit ggT(e, ϕ(n)) = 1. Dann bestimme ein d mit ed ≡ 1 mod ϕ(n). Kodiere daraufhin x = 24
unter der Einwegfunktion E(x) = xe . Überprüfe das Ergebnis durch Dekodieren.
Aufgabe 11.
(4 Punkte)
Finde alle Primitivwurzeln zu p = 19 und p = 37. Drücke jeweils alle Primitivwurzeln zu
p = 17 durch Potenzen einer gefundenen aus.
Aufgabe 12.
(4 Punkte)
(a) Zeige: Es gibt kein n ∈ N mit Un ∼
= Z/14Z.
(b) Bestimme ein n ∈ N, so dass Un eine zu (Z/7Z)3 isomorphe Untergruppe enthält.
Abgabe am Freitag, den 13.11.2015, um 13 Uhr.
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2. Übung zur Vorlesung
Zahlentheorie
im Wintersemester 2015/16
Wichtige Informationen:
Aktuelle Informationen zur Vorlesung/Übung und Übungsblätter gibt es im Netz auf der Seite
http://www.staff.uni-mainz.de/stach/vorlesungen/ezth2015.html
Die Übungen dürfen in Zweiergruppen abgegeben werden.
Aufgabe 5.
√
√
√
Zeige: 2 + −5 ∈ Z[ −5]
und
3
∈
Z[
√ −5] sind irreduzibel, aber nicht prim.
√
Hinweis: Betrachte (2 + −5)(2 − −5) = 3 · 3.
(4 Punkte)
Aufgabe 6.
(4 Punkte)
Entscheide, ob die folgenden Ideale in Z[X] Hauptideale sind und finde gegebenenfalls einen
Erzeuger:
(a) I1 := (3, X)
(b) I2 := (X + 7, 2X + 13)
Aufgabe 7.
(4 Punkte)
Bestimme die letzte Dezimalstelle der Zahlen n789064 für n = 7 und n = 3.
Aufgabe 8.
(4 Punkte)
Löse die folgende simultane Kongruenz:
3x ≡ 1 mod 5,
x ≡ 7 mod 14 und
x ≡ 5 mod 18.
Abgabe am Freitag, den 06.11.2015, um 13 Uhr.
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S. Samol
1. Übung zur Vorlesung
Zahlentheorie
im Wintersemester 2015/16
Wichtige Informationen:
Aktuelle Informationen zur Vorlesung/Übung und Übungsblätter gibt es im Netz auf der Seite
http://www.staff.uni-mainz.de/stach/vorlesungen/ezth2015.html
Die Übungen dürfen in Zweiergruppen abgegeben werden.
Aufgabe 1.
(4 Punkte)
Bestimme alle Primzahlen ≤ 200 ohne Rechner durch die Siebmethode.
Aufgabe 2.
(4 Punkte)
Modifiziere den Beweis des Satzes von Euklid um zu zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen
der Form 4k − 1(bzw. 4k + 1) gibt.
Aufgabe 3.
(4 Punkte)
Zeige, dass für n ≥ 1 keine der Zahlen (n + 1)! + k mit 2 ≤ k ≤ n + 1 eine Primzahl ist.
Aufgabe 4.
(4 Punkte)
Zeige, dass es keine Polynomfunktion f : N0 → Z gibt, die nur Primzahlen als Werte hat.
Abgabe am Freitag, den 30.10.2015, um 13 Uhr.