ARBEITSBLATT 15

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang
Arbeitsblatt 5
4. Semester
ARBEITSBLATT 5
WURZELGLEICHUNGEN
Definition: Gleichungen, in denen eine Variable unter dem Wurzelzeichen auftritt, nennt man Wurzelgleichungen.
Das Rechnen mit diesen Gleichungen können wir nach der Anzahl der Wurzeln unterscheiden.
Gehen wir zunächst einmal den einfachsten Fall durch, eine Gleichung mit
einer Wurzel:
Beispiel: Löse 2 x − 6 − 2 = 0 für G=R.
Lösung:
Als Erstes müssen wir wieder die Definitionsmenge angeben. Zur Erinnerung: In der Definitionsmenge werden alle möglichen Zahlen für die Variable angegeben, so dass man sinnvoll rechnen kann. Bisher haben wir
deshalb immer jene Werte ausgeschlossen, bei denen man eine Division durch Null erhalten würde, da diese mathematisch nicht sinnvoll ist.
Bei der Wurzel erhalten wir weitere nicht sinnvolle Ausdrücke. Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl kann nicht gezogen werden (Bsp:
− 3 = nicht definiert ). Also darf die Rechnung nur für Zahlenwerte ausgeführt werden, bei denen der Ausdruck unter der Wurzel größer oder
gleich Null ist.
Wir untersuchen also zunächst, wann der Ausdruck in der Wurzel ≥ 0 ist.
Dazu führen wir gegebenenfalls eine Nebenrechnung durch:
2x − 6 ≥ 0
/ +6
2x ≥ 6
/ :2
x≥3
Im Falle, dass x ≥ 3 , ist der Wurzelausdruck also berechenbar, ist x < 3,
dann ist der Wurzelausdruck folglich nicht definiert.
Wir können die Definitionsmenge nun auf zwei Arten angeben:
D = R \ { x < 3} sprich: Definitionsmenge sind die reellen Zahlen ohne jene, die kleiner als 3 sind.
Oder: D = { x ∈ R| x ≥ 3} sprich: Definitionsmenge sind alle
reellen Zahlen die größer oder gleich 3 sind.
Nun lösen wir die Gleichung. Für eine Gleichung mit einer Wurzel ist Folgendes zu merken:
Merke: Bei einer Wurzelgleichung mit einer Wurzel muss die Wurzel alleine auf einer Seite stehen.
Sehen wir uns an unserem Beispiel zunächst einmal an, warum dies der
Fall ist:
1
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2x − 6 − 2 = 0
Die Quadratwurzel in einer Gleichung können wir beseitigen, indem wir
die Gleichung quadrieren. Beachte dabei aber: Wenn wir die Gleichung quadrieren, quadrieren wir die gesamte linke und rechte Seite
der Gleichung:
2x − 6 − 2 = 0 / 2
(
)
2x − 6 − 2
2
= 02
Damit ergibt sich das Problem, dass wir auf der linken Gleichungsseite
eine binomische Formel erhalten würden. Diese müssen wir nach der
2
Form ( a − b) = a 2 − 2ab + b 2 auflösen.
Bei unserem Beispiel würden a und b der Formel folgende Ausdrücke
entsprechen:
(
)
2x − 6 − 2
a
2
= 02
b
Wir erhalten folglich:
(
2x − 6
)
2
− 2 ⋅ 2 ⋅ 2 x − 6 + 4 = 0 Quadrat und Wurzel heben einan-
der auf:
2x − 6 − 4 ⋅ 2x − 6 + 4 = 0
Wir erkennen das Problem: Die Wurzel ist nicht beseitigt worden, was wir
ja eigentlich erreichen wollten. Aus diesem Grunde muss die Wurzel also
alleine auf einer Seite stehen, da wir nur dann diese binomische Formel
vermeiden.
So, nun rechnen wir das Beispiel richtig:
Rechnung
Anmerkungen
/+2 Wir sorgen dafür, dass die
2x − 6 − 2 = 0
Wurzel alleine auf einer Seite steht.
/ 2
2x − 6 = 2
2
Quadrat und Wurzel heben einan2x − 6 = 4
der auf.
/ +6
2x − 6 = 4
/:2
2 x = 10
x=5
Wir vergleichen mit der Definitionsmenge. 5 ist eine zulässige Lösung.
L = {5}
(
)
Übung: Übungsblatt 5; Aufgabe 56
Gehen wir zum nächsten Fall über: Wir haben zwei Wurzeln in einer Gleichung:
2
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Beispiel: Löse die Gleichung x + 8 + x − 1 = 5 über R:
Lösung:
Als Erstes bestimmen wir wieder die Definitionsmenge. Beide Ausdrücke
unter der Wurzel müssen einen Wert größer gleich Null liefern. Dazu machen wir eine Nebenrechnung. Es muss gelten:
x+8≥0
∧
x −1≥ 0
Nun berechnen wir für beide Ungleichungen die Lösungen:
x+8≥0
/ −8
∧
x −1≥ 0
+1
x ≥ −8
∧
x ≥1
Unsere x müssen also größer gleich -8 und größer gleich 1 sein. Beide
Bedingungen erfüllen alle x, die größer gleich 1 sind.
x ≥1
Für diese x bekommen wir also in beiden Wurzeln berechenbare Werte.
D = { x ∈ R| x ≥ 1}
Nun müssen wir unsere Gleichung lösen. Sind zwei Wurzeln in der Gleichung enthalten, so ist die Anordnung der Wurzeln eigentlich egal.
Leichter rechnet es sich aber, wenn auf jeder Seite der Gleichung eine
Wurzel steht:
Rechnung
Anmerkungen
/ − x −1
x + 8 + x −1 = 5
/ 2 Beachten Sie beim quadrieren
wieder, dass beide Seiten quadriert werden, wir also auf der rechten Gleichungsseite eine binomische Formel erhalten.
Auf der linken Gleichungsseite heben sich Quadrat und Wurzel gegenseitig auf. Auf der rechten
Gleichungsseite wenden wir die
binomische
Formel
2
2
2
( a − b) = a − 2ab + b
an, wobei
dem a der Formel der Ausdruck 5,
dem b der Formel der Ausdruck
x − 1 entsprechen.
Nun haben wir eine Wurzel aus der
Gleichung entfernt und haben nur
noch eine Wurzel. Ab hier ist uns
der Weg bereits bekannt: Die eine
Wurzel muss zunächst alleine auf
einer Seite stehen. Wir fassen die
rechte Gleichungsseite deshalb
zunächst zusammen.
/ -24
x + 8 = 5 − x −1
(
x +8
) = (5 −
2
x −1
)
2
x + 8 = 25 − 10 x − 1 + x − 1
x + 8 = 24 − 10 x − 1 + x
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/ -x
/ ⋅( −1)
/ :10
x − 16 = −10 x − 1 + x
− 16 = −10 x − 1
16 = 10 x − 1
8
= x −1
5
64
= x −1
25
89
x=
25
⎧ 89 ⎫
L=⎨ ⎬
⎩ 25 ⎭
/
2
+1
Wir vergleichen mit der Definitionsmenge.
Übung: Übungsblatt 5; Aufgaben 57 - 58
Wurzelgleichungen mit drei Wurzeln
Beispiel: Löse in R: x + 5 + x + 12 = 4 x + 33
Lösung:
Als Erstes müssen wir wieder die Definitionsmenge bestimmen. Jeder
Ausdruck unter der Wurzel muss größer gleich Null sein. Es gilt also:
x+5≥0
∧
x + 12 ≥ 0
∧ 4 x + 33 ≥ 0
Wir lösen jede Ungleichung einzeln:
x + 5 ≥ 0 / −5
∧
x + 12 ≥ 0 / −12 ∧ 4 x + 33 ≥ 0 − 33
x ≥ −5
x ≥ −12
4 x ≥ −33 / : 4
33
x≥−
4
33
Da x größer gleich -5 und größer gleich -12 und größer gleich − sein
4
muss, folgt, dass x ≥ −5 sein muss. Wir erhalten als Definitionsmenge:
D = { x ∈ R| x ≥ −5}
Nun können wir die eigentliche Gleichung lösen. Hierbei gilt:
Merke: Sind drei Wurzeln in einer Gleichung, so müssen vor dem Quadrieren
auf der einen Gleichungsseite 2 Wurzeln, auf der anderen Gleichungsseite 1
Wurzel stehen.
Rechnung
x + 5 + x + 12 = 4 x + 33
Anmerkungen
/ . Da bei uns die Anordnung der
Wurzeln bereits stimmt, können wir
sofort quadrieren. Beachten Sie
dabei, dass die gesamten Glei2
4
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chungsseiten quadriert werden.
Auf der linken Gleichungsseite erx + 5 + x + 12 = 4 x + 33
halten wir eine binomische Formel
2
der Form ( a + b) , wobei a die erste
Wurzel und b die zweite Wurzel ist.
Wir quadrieren diese binomische
Formel aus. Auf der rechten Gleichungsseite heben sich Quadrat
und Wurzel gegenseitig auf.
Da die beiden Wurzeln mit Mal
x + 5 + 2 ⋅ x + 5 ⋅ x + 12 + x + 12 = 4 x + 33
verbunden sind können wir sie
unter eine Wurzel zusammenfassen,
da
ja
gilt:
a ⋅ b = a⋅b
x + 5 + 2 ⋅ ( x + 5) ⋅ ( x + 12) + x + 12 = 4 x + 33 Nun haben wir nur noch eine
Wurzel in der Gleichung. In
diesem Fall wissen wir bereits,
dass die Wurzel allein auf einer
Seite stehen muss. Wir fassen
also die linke Gleichungsseite
zunächst einmal zusammen.
/ -2x
2 x + 17 + 2 ⋅ ( x + 5) ⋅ ( x + 12) = 4 x + 33
(
) (
2
)
2
17 + 2 ⋅ ( x + 5) ⋅ ( x + 12) = 2 x + 33
/ -17
2 ⋅ ( x + 5) ⋅ ( x + 12) = 2 x + 16
/ :2
( x + 5) ⋅ ( x + 12) = x + 8
(
/ 2 Vorsicht: Es werden wieder die
Gleichungsseiten quadriert.
Auf der linken Gleichungsseite heben sich Quadrat und Wurzel gegenseitig auf. Auf der rechten
Gleichungsseite erhalten wir eine
binomische Formel.
Wir multiplizieren auf der linken
Gleichungsseite.
Linke Gleichungsseite zusammenfassen.
/ −x 2
/ -16x
/ -60
Da dieser Wert von der Definitionsmenge zulässig ist, ist er also die
Lösung.
( x + 5) ⋅ ( x + 12) ) = ( x + 8) 2
2
( x + 5) ⋅ ( x + 12) = x 2 + 16 x + 64
x 2 + 12 x + 5x + 60 = x 2 + 16 x + 64
x 2 + 17 x + 60 = x 2 + 16 x + 64
17 x + 60 = 16 x + 64
x + 60 = 64
x=4
L = { 4}
5
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Übung: Übungsblatt 5; Aufgabe 59
Sonstige Wurzelgleichungen
Für alle weiteren Arten von Wurzelgleichungen bestimmen wir die Definitionsmenge nicht mehr, da dies etwas komplizierter werden würde.
Beispiel: Löse in R:
10 + x
12 − 10 + x
+
=2
12 − 10 + x
10 + x
Lösung:
Rechnung
10 + x
12 − 10 + x
+
=2
12 − 10 + x
10 + x
Anmerkungen
Wir rechnen im Prinzip wie immer und lassen
uns durch die Wurzeln nicht irritieren. Wir bringen die Gleichung zunächst auf gemeinsamen Nenner.
10 + x
2 ⋅ 12 − 10 + x ⋅ 10 + x Mal
=
Nenner
(12 − 10 + x )⋅ (12 −
) (
)
(12 − 10 + x )⋅ 10 + x (12 − 10 + x )⋅ 10 + x
(12 − 10 + x )⋅ 10 + x
der ersten Wurzel heben sich
( 10 + x ) + (12 − 10 + x ) = 2 ⋅ (12 − 10 + x )⋅ 10 + x Bei
Quadrat und Wurzel auf.
10 + x ⋅ 10 + x
+
2
(
2
)
(
)
Nun haben wir auf der linken Seite
eine binomische Formel, welche wir
ausquadrieren.
10 + x + 144 + 24 ⋅ 10 + x + 10 + x = 2 ⋅ 12 − 10 + x ⋅ 10 + x Die linke Gleichungsseite fassen wir zusammen. Auf der
rechten Seite multiplizieren
10 + x + 12 − 10 + x
2
= 2 ⋅ 12 − 10 + x ⋅ 10 + x
(
)
(
164 + 2 x + 24 ⋅ 10 + x = 2 ⋅ 12 ⋅ 10 + x − (10 + x )
wir die Klammer mit
)
/ :2
/+10
82 + x + 12 ⋅ 10 + x = 12 ⋅ 10 + x − 10 − x
92 + x + 12 ⋅ 10 + x = 12 ⋅ 10 + x − x
92 + x = − x
92 = −2 x
x = −46
/ −12 ⋅ 10 + x
/ −x
/ : ( − 2)
Übung: Übungsblatt 5; Aufgabe 60
6
10 + x