Experimentalphysik E1
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Experimentalphysik E1 6. Nov. Gravitation + Planetenbewegung Alle Informationen zur Vorlesung unter : http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/index.html Kraft = Impulsstrom I. dp dm dn F= = v = m0 v dt dt dt Impulsstrom dn/dt: Teilchenstrom dn Δm ΔF = m0 v = gtF = Δmg dt tF FG = mg Kraft = Impulsstrom II. dp dm dn F= = v = m0 v dt dt dt Impulsstrom dn/dt: Teilchenstrom dn Δm ΔF = m0 v = gtF = Δmg dt tF v=gt FG < mg Kraft = Impulsstrom III. dp dm dn F= = v = m0 v dt dt dt Impulsstrom dn/dt: Teilchenstrom dn Δm ΔF = m0 v = gtF = Δmg dt tF v=gt FG = mg Kraft = Impulsstrom IV. dp dm dn F= = v = m0 v dt dt dt Impulsstrom dn/dt: Teilchenstrom dn Δm ΔF = m0 v = gtF = Δmg dt tF v=gt FG > mg Kraft = Impulsstrom V. dp dm dn F= = v = m0 v dt dt dt Impulsstrom dn/dt: Teilchenstrom dn Δm ΔF = m0 v = gtF = Δmg dt tF v=gt FG = mg Newtonsches Gravitationsgesetz Karikatur über Newtons Lehre der Gravitation! Bestimmung der Gravitationskonstante! Cavendish 1798! (Drehwaage/! Torsionspendel)! aus Demtröder al.! 1,8 m Cavendishs Instrument. Der Waagebalken hatte eine Länge von 1,8 m. Von außen konnte das Gehänge mit den großen Bleikugeln gedreht werden. Die Bewegung des Gehänges mit den kleinen Massen wurde mit einem Fernrohr beobachtet. Nahaufnahme des Gehänges Bestimmung von G, Bsp: Gravitationswaage! = 2 L FG! Drehmoment des verdrillten Fades! !! Schema Gravitationswaage! Mechanisches Gleichgewicht l1 F1 F1 ⋅l1 = F2 ⋅l 2 l2 D F2 Ein Körper ist dann im Gleichgewicht, wenn die Summe aller äußerer Kräfte und die Summe aller Drehmomente Null ist. Anwendungen des Hebelgesetzes: Brechstange, Schere, Schubkarre, Getriebe, Gliedmaßen, Baukran ... (Hebelgesetz) „Kraft mal Kraftarm= Last mal Lastarm“ Drehimpuls! Ebene beliebig gekrümmte Bahn! ω € L Def.:! Drehimpuls! r (t), v(t) vϕ r (t ) vr O! ϕ 2 v r(t) p = m⋅v m! In Polarkoordinaten:! L = m(r × (vr + vϕ )) = m(r × vr ) + m(r × vϕ ) r 0 weil! vr v Ebene von !r und! weil! r × vϕ = r 2 ⋅ ϕ ⇒ Kreisbewegung:! L = (r × p) = m ⋅ (r × v) L =⊥ r, ⊥ v ϕ˙ = ω ;! v = vϕ ⇒ € L = m ⋅ r 2 ⋅ ϕ 2 L = m ⋅ r ⋅ω Drehmoment:! dL dt Newton! " dr % " dp % = $ × p' + $r × ' = (v × p) + (r × p) = (r × F ) # dt & # dt & Def:! Drehmoment! D 0 weil!v p € dL = D = (r × F) dt Für zentrale Kraftfelder! F = f (r)⋅ êr ⇒ L = const. bzgl. Kraftzentrum .! r € ist! .! F D=0 ! Drehimpulserhaltung! Zeitliche Veränderung des Drehimpulses ist gleich dem wirkenden Drehmoment! Konkurrenz der Weltbilder (16.Jhd) Zur Bewegung der Planeten Kopernikanisches heliozentrisches Planeten-Modell Ptolemäisches Planeten-Modell Tycho Brahe! Johannes Kepler! Tycho Brahe (1546-1601) Keplergesetze ! (Basierend auf Beobachtung Tycho Brahes))! I. Planeten bewegen sich auf Ellipsen mit Sonne im Brennpunkt! II. Fahrstrahl von Sonne zu Planet überschreitet " in gleichen Zeiten gleiche Flächen! P(t1 ) A1 S P(t1 + Δt) A2 P(t2 + Δt) P(t2 ) III. Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten " sich wie die 3. Potenzen ihrer großen Halbachsen ! 2 3 2 T1 a1 Ti = oder! 2 3 3 = const T2 a2 ai für alle Planeten! Zum 2. Keplerschen Gesetz! r (t + dt) ds = v ⋅ dt h ds! dA S v r(t) α p Bogen ≈ Sehne! 1 ⇒ dA = ⋅ r ⋅ v ⋅ dt ⋅ sin α 2 dA 1 1 1 ⋅r×p = ⇒ = ⋅ r ⋅ v ⋅ sinα = ⋅L dt 2 2⋅m 2⋅m + 1. Gesetz (planare Bahn) => Richtung L konst! ⇒ L = const Newtons Analyse:! Planetenbahnen! ! Fallender Apfel! !!! v aus! L = const.⇒ aus Actio = Reactio ⇒! Selbe Axiomatik! Gravitation !! !!! v FG (r) = f (r)⋅ eˆr (Zentralkraft)! FG ~ m1 ⋅ m2 v FG (r) = G ⋅ m1 ⋅ m2 ⋅ f (r)⋅ eˆr 2 Mit Ellipse ~ Kreis =>! −m p ⋅w p ⋅ rp = G ⋅ mp ⋅ ms ⋅ f (ri ) 3. Kepler! mp ⋅ M S w 2 ~ T −2 ~ r −3 $ ⇒ F = −G ⋅ ⋅ eˆr % 2 −2 r ⇒ f (r) ~ r & Newtonsches Gravitationsgesetz! € Messung der Dichte der Erde und der Gravitations-konstante durch Jolly Philipp von Jolly! (1809-1884)! 25 m hohen Aulaturm der Universität Physik Neubau (1894)! Messung der Dichte der Erde und der Gravitationskonstante durch Jolly Jolly verbesserte die Doppelwaage, mit der er die Gewichte von Massen in verschiedenen Höhen (a und b) miteinander vergleichen konnte. Er konnte damit noch Gewichtsdifferenzen von 1 Mikrogramm (10-6 Gramm) messen. Nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz ist die Schwerkraft g an der Erdoberfläche mit guter Näherung gegeben durch: g = G ⋅ M/R² Dabei ist M die Masse der Erde und R ihr Radius. Das Gewicht Q1 eines Körpers der Masse m beträgt: Doppelwaage zum Vergleich des Gewichts in verschiedenen Höhen Q1 = m ⋅ g1 = m ⋅ G ⋅ M/R² In einer Höhe h über der Erde ist das Gewicht Q2 der Masse m ein wenig geringer, weil die Schwerkraft mit der Höhe abnimmt. Soffel 2011 In der Höhe h beträgt die Schwerkraft nur noch g2 = G⋅M/(R+h)²und das Gewicht der Masse ist Q2 = m ⋅ g2 = m ⋅ G ⋅ M/(R+h)². Mit Q1 ⋅ R² = m ⋅ G ⋅ M kann man auch schreiben: Q2 = Q1 ⋅ R²/(R+h)² ≈ ≈ Q1 ⋅ (1–2h/R) für h << R. Mit einem Erdradius von 6371 km = = 6 371 000 m, h = 1 m und einer Probemasse von m = 1 kg beträgt die Gewichtsdifferenz in den Positionen a und b: 0,314 mg = 314 µg. In einem ersten Experiment verwendete Jolly Messinggewichte der Masse 1 kg und eine Höhendifferenz der beiden Waagschalen von 5,29 m. Soffel 2011 Durchführung des Experiments: Zuerst wurden die beiden Gewichte in die oberen Waagschalen gegeben (a) und genau austariert. Dann wurde die rechte Masse in die untere, 5,29 m tiefer hängende Waagschale gelegt (b). Dabei wurde eine Gewichtszunahme von 1,51 mg gemessen. Theoretisch hätte eine Gewichtszunahme von 1,66 mg erfolgen sollen. Den gemessenen, etwas zu kleinen Wert, führte Jolly zurecht auf die Wirkung benachbarter Massen zurück, denn sie verringern die Abnahme der Schwerkraft mit der Höhe. Mit diesem Experiment konnte die Gültigkeit des Gravitationsgesetzes und die Abnahme der Schwerkraft mit der Höhe bestätigt werden. Dies war eine ganz neue Versuchsanordnung als die Experimente mit den Torsionswaagen. Soffel 2011 Probemasse: Q = 5,009450 kg a = 0,5686 m r = 0,4975 m Bleikugel: ρPb = 11 186 kg/m3; r = 0,4975 m; MPb = 5 775,2 kg Die untere Probemasse, die im Schwerefeld der Erde ein Gewicht von Q = 5,009450 kg besaß, erfuhr durch die Bleikugel eine Gewichtszunahme von q = 0,589 mg. Dies war mit der extrem empfindlichen Balkenwaage auf 1 Mikrogramm genau messbar. Soffel 2011
