Arbeit 3 (Pascal`sches Dreieck)

Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW)
Hochschule für Technik
Institut für Geistes- und Naturwissenschaft
Arbeit 3 (Pascal’sches Dreieck)
Dozent: R. Burkhardt
Klasse: BWZ
Büro: Semester: -
Modul: Mathematik
Datum: 2012/13
Bemerkung: Für diese Arbeit haben Sie eine Woche Zeit. Die Resultate sind zu dokumentieren (1-4 Seiten) und abzugeben. Die Arbeit kann auch in Kleingruppen (max. 5
Personen) gelöst werden. Die beste Lösung wird kopiert und der Klasse abgegeben.
Die Zahlen im Pascal’schen Dreieck nennt man Binomialkoeffizienten. Um die Zahlen
einzeln zu benennen führt man einen Zeilen- und einen Spaltenindex ein. Den Binomialkoeffizient 15 in der 6-ten Zeile und 2-ten Spalte bezeichnet man mit dem Symbol
6
= 15
2
(gesprochen: Sechs tief Zwei). Man kann die Binomialkoeffizienten einfach bestimmen,
indem man das Pascal’sche Dreieck nach folgenden Regeln aufbaut:
• Jede Zeile beginnt und endet mit einer Eins:
n
n
=
=1
0
n
• Jeden anderen (inneren) Binomialkoeffizienten erhält man als Summe der beiden
Koeffizienten die unmittelbar oberhalb der gesuchten Zahl stehen:
n
n−1
n−1
=
+
k
k−1
k
• Das Pascal’sche Dreieck ist symmetrisch:
n
n
=
k
n−k
Mathematik
Arbeit 3 (Pascal’sches Dreieck)
2012/13
Mit diesen Regeln kann man zwar jeden Binomialkoeffizienten bestimmen, doch für Koeffizienten mit einem grossen Zeilenindex ist dies sehr aufwendig. Es gibt auch eine direkte
Berechnungsvorschrift:
n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2) ∗ ... ∗ (n − k + 1)
n!
n
=
=
k
k! (n − k)!
1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ... ∗ k
So gilt zum Beispiel:
1∗2∗3∗4∗5∗6
5∗6
6!
6
=
=
= 15
=
2
2! ∗ (6 − 2)!
1∗2∗1∗2∗3∗4
1∗2
Im weiteren kann die n-te Zeile des Pascal’schen Dreiecks mit folgendem Verfahren bestimmt werden:
→
∗ n1
1
→
n
∗ n−1
2
n(n−1)
2
n(n−1)(n−2)
2∗3
→
∗ n−2
3
... →
... ∗ n1
1
Z. B. für die 6-te Zeile:
1
→
∗ 61
6
→
∗ 52
→
∗ 43
15
→
∗ 34
20
15
→
∗ 52
1. Bestimmen Sie die folgenden Binomialkoeffizienten:
10
= ?
5
99
= ?
97
17
= ?
0
200
= ?
5
2. Vereinfachen Sie:
n
4
7
k
n
k
6
k
n+2
k
+
−
+
n
3
Seite 2 / ??
= ?
= ?
= ?
6
→
∗ 16
1
Mathematik
Arbeit 3 (Pascal’sches Dreieck)
2012/13
Die binom’sche Formel
Es gilt die allgemeine binom’sche Formel:
n X
n
n
n
n
n
n
n 0
n−1 1
n−2 2
0 n
(a + b) =
a b+
a b+
a b +...+
ab =
an−k bk
0
1
2
n
k
k=0
3. Bestimmen Sie:
(1 + x)5 = ?
(2 − x)4 = ?
6
x2 − x
= ?
Ausgehend von der Formel:
n
(1 + x) = 1 +
n
1
x+
n
2
x2 + ... + xn
findet man für sehr kleine x Werte die Näherungsformel
(1 + x)n ≈ 1 + n ∗ x
4. Wieso dürfen in der Näherungsformel für kleine x Werte die weiteren Summanden
vernachlässigt werden? Bestimmen Sie mittels Näherungsformel den Wert 1.00510
und vergleichen Sie das Resultat mit dem exakten Wert.
Auswahl ohne Wiederholung
Wenn aus n verschiedenen Objekten k Objekte
ohne Berücksichtigung der Reihenn
folge gezogen werden sollen, so gibt es
Wahlmöglichkeiten. Eine solche Ausk
wahl erfolgt auch beim Schweizer-Zahlenlotto, wo aus 45 Kugeln 6 gezogen werden.
Bei einer Ziehung kommt also eine Variante der
45 ∗ 44 ∗ 43 ∗ 42 ∗ 41 ∗ 40
45
=
= 8145060
6
1∗2∗3∗4∗5∗6
Möglichkeiten vor.
5. Untersuchen Sie die Möglichkeiten bei den ”Euro Millions”. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit die richtige Kombination auszuwählen?
Zahlenfolgen
Neben den oben aufgeführten ”nützlichen” Anwendungen finden man noch viele
Spielereien im Pascal’schen Dreieck. So findet man viele wichtige Zahlenfolgen bzw.
Zahlenreihen (summierte Zahlenfolge). Dazu betrachten wir noch folgendes Gesetz:
Summiert man alle Zahlen einer bestimmten Spalte bis zu einer Zeile, so steht die
Summe in der nächsten Zeile und nächsten Spalte. So finden wir z.B. in der ersten
Spalte die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, .... Möchte man nun die Summe
1+2+3+4+5+
11
... + 10 bestimmen, so ist die Summe der Binomialkoeffizient
= 11∗10
= 55.
1∗2
2
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2012/13
6. Finden Sie eine allgemeine Summenformel:
1 + 2 + 3 + ... + n =
n
X
k =?
k=0
12 + 22 + 32 + ... + n2 =
n
X
k 2 =?
k=0
7. Eine der bekanntesten Zahlenfolgen ist die Folge der Fibonacci-Zahlen 1, 1, 2, 3, 5,
8, 13, 21, ... welche sich nach folgender rekursiver Vorschrift bestimmen lassen:
f0 = f1 = 1
fn = fn−1 + fn−2
Finden Sie die Fibonacci-Zahlen im Pascal’schen Dreieck.
Fraktale
8. Was versteht man unter einem Fraktal?
9. Erstellen Sie ein Pascal’sches Dreieck mit mindestens 50 Zeilen (z.B. in Excel) und
heben Sie alle Zahlen farbig hervor, die durch
• 2 teilbar sind
• 3 teilbar sind
• 4 teilbar sind
• 5 teilbar sind.
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