Arbeit 3 (Pascal`sches Dreieck)

Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW)
Hochschule für Technik
Institut für Geistes- und Naturwissenschaft
Arbeit 3 (Pascal’sches Dreieck)
Dozent: Roger Burkhardt
Klasse: Brückenkurs 2010
Büro: 4.613
Semester: -
Modul: Mathematik
Datum: 2010
Bemerkung: Für diese Arbeit haben Sie eine Woche Zeit. Die Resultate sind zu dokumentieren (1-4 Seiten) und abzugeben. Die Arbeit kann auch in Kleingruppen (max. 5
Personen) gelöst werden. Die beste Lösung wird kopiert und der Klasse abgegeben.
Die Zahlen im Pascal’schen Dreieck nennt man Binomialkoeffizienten. Um die Zahlen
einzeln zu benennen führt man einen Zeilen- und einen Spaltenindex ein. Den Binomialkoeffizient 15 in der 6-ten Zeile und 2-ten Spalte bezeichnet man mit dem Symbol
6
= 15
2
(gesprochen: Sechs tief Zwei). Man kann die Binomialkoeffizienten einfach bestimmen,
indem man das Pascal’sche Dreieck nach folgenden Regeln aufbaut:
• Jede Zeile beginnt und endet mit einer Eins:
n
n
=
=1
0
n
• Jeder ander (innere) Binomialkoeffizient erhält man als Summe der beiden Koeffizienten die unmittelbar oberhalb der gesuchten Zahl stehen:
n
n−1
n−1
=
+
k
k−1
k
• Das Pascal’sche Dreieck ist symmetrisch:
n
n
=
k
n−k
Mathematik
Arbeit 3 (Pascal’sches Dreieck)
2010
Mit diesen Regeln kann man zwar jeden Binomialkoeffizienten bestimmen, doch für Koeffizienten mit einem grossen Zeilenindex ist dies sehr aufwendig. Es gibt auch eine direkte
Berechnungsvorschrift:
n ∗ (n − 1) ∗ (n − 2) ∗ ... ∗ (n − k + 1)
n!
n
=
=
k
k! (n − k)!
1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ... ∗ k
So gilt zum Beispiel:
6!
1∗2∗3∗4∗5∗6
5∗6
6
=
=
=
= 15
2
2! ∗ (6 − 2)!
1∗2∗1∗2∗3∗4
1∗2
Im weiteren kann die n-te Zeile des Pascal’schen Dreiecks mit folgendem Verfahren bestimmt werden:
→
∗ n1
1
→
n
∗ n−1
2
n(n−1)
2
n(n−1)(n−2)
2∗3
→
∗ n−2
3
... →
... ∗ n1
1
Z. B. für die 6-te Zeile:
1
→
∗ 61
6
→
∗ 52
→
∗ 43
15
→
∗ 34
20
15
1. Bestimme die folgenden Binomialkoeffizienten:
10
=
5
99
=
97
17
=
0
200
=
5
→
∗ 52
6
→
∗ 16
1
?
?
?
?
2. Vereinfache:
n
4
7
k
n
k
n
3
6
k
n+2
k
+
−
+
= ?
= ?
= ?
Die binom’sche Formel
Es gilt die allgemeine binom’sche Formel:
n X
n
n
n
n
n
n
n 0
n−1 1
n−2 2
0 n
(a + b) =
a b+
a b+
a b +...+
ab =
an−k bk
0
1
2
n
k
k=0
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Mathematik
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2010
3. Bestimme:
(1 + x)5 = ?
(2 − x)4 = ?
6
x2 − x
= ?
Ausgehend von der Formel:
n
(1 + x) = 1 +
n
1
x+
n
2
x2 + ... + xn
findet man für sehr kleine x Werte die Näherungsformel
(1 + x)n ≈ 1 + n ∗ x
4. Wieso dürfen in der Näherungsformel für kleine x Werte die weiteren Summanden
vernachlässigt werden? Bestimme mittels Näherungsformel den Wert 1.00510 und
vergleiche das Resultat mit dem exakten Wert.
Auswahl ohne Wiederholung
Wenn aus n verschiedenen Objekten k Objekte
ohne Berücksichtigung der Reihenn
folge gezogen werden sollen, so gibt es
Wahlmöglichkeiten. Eine solche Ausk
wahl erfolgt auch beim Schweizer-Zahlenlotto, wo aus 45 Kugeln 6 gezogen werden.
Bei einer Ziehung kommt also eine Variante der
45 ∗ 44 ∗ 43 ∗ 42 ∗ 41 ∗ 40
45
= 8145060
=
6
1∗2∗3∗4∗5∗6
Möglichkeiten.
5. Untersuche die Möglichkeiten bei den ”Euro Millions”. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit die richtige Kombination auszuwählen?
Zahlenfolgen
Neben den oben aufgeführten ”nützlichen” Anwendungen finden man noch viele
Spielereien im Pascal’schen Dreieck. So findet man viele wichtige Zahlenfolgen bzw.
Zahlenreihen (summierte Zahlenfolge). Dazu betrachten wir noch folgendes Gesetz:
Summiert man alle Zahlen einer bestimmten Spalte bis zu einer Zeile, so steht die
Summe in der nächsten Zeile und nächsten Spalte. So finden wir z.B. in der ersten
Spalte die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, .... Möchte man nun die Summe
1+2+3+4+5+
11
... + 10 bestimmen, so ist die Summe der Binomialkoeffizient
= 11∗10
= 55.
1∗2
2
6. Finde eine allgemeine Summenformel:
1 + 2 + 3 + ... + n =
12 + 22 + 32 + ... + n2 =
n
X
k=0
n
X
k=0
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k =?
k 2 =?
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7. Eine der bekanntesten Zahlenfolgen ist die Folge der Fibonacci-Zahlen 1, 1, 2, 3, 5,
8, 13, 21, ... welche sich nach folgender rekursiver Vorschrift bestimmt:
f0 = f1 = 1
fn = fn−1 + fn−2
Finde die Fibonacci-Zahlen im Pascal’schen Dreieck.
Fraktale
8. Was versteht man unter einem Fraktal?
9. Erstelle ein Pascal’sches Dreieck mit mindestens 50 Zeilen (z.B. in Excel) und hebe
alle Zahlen farbig hervor, die durch
• 2 teilbar sind
• 3 teilbar sind
• 4 teilbar sind
• 5 teilbar sind.
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