Unterricht BOS und FAKS

Unterricht B7
Klassen BOS 11 und FAKS 3 und 4
Schuljahr 2008/09
Christina Birkenhake
Inhaltsverzeichnis
1. Aufbau des Zahlsystems
1.1. Zahlen
1.2. Addition, Multiplikation und das Distributivgesetz
1.3. Rechnen mit Brüchen
1.4. Binomische Formeln und Quadratische Ergänzung
1.5. Quadratwurzeln
2. Prozentrechnung, Dreisatz und Proportionalität
2.1. Prozentrechnung
2.2. Direkte Proportionalität
2.3. Indirekte Proportionalität
3. Funktionen
3.1. Relation und Funktion
3.2. Lineare Funktionen
3.3. Nullstellen (linearer) Funktionen, Lineare Gleichungen
3.4. Lineare Ungleichungen
3.5. Quadratische Funktionen
3.6. Nullstellen quadratischer Funktionen
3.7. Quadratische Gleichungen
3.8. Diskriminante
3.9. Satz von Vieta
3.10. Umkehrfunktion
3.11. Wurzelfunktion
3.12. Potenzen
3.12.1. Potenzen mit ganzen Exponenten
3.12.2. Potenzen mit rationalen Exponenten
3.13. Potenzfunktionen
3.13.1. Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten
3.13.2. Potenzfunktionen mit negativen Exponenten
3.13.3. Potenzfunktionen mit positiven rationalen Exponenten
3.14. Abschnittsweise definierte Funktionen
3.15. Betragsfunktion
3.15.1. Betragsfunktion
3.15.2. Abstandsfunktion
3.15.3. Betragsungleichungen
3.16. Symmetrische Funktionen
3.17. Verkettete Funktionen
3.18. Lineares und exponentielles Wachstum
3.19. Exponentialfunktionen
3.19.1. Radioaktiver Zerfall:
3.20. Logarithmusfunktionen
4. Geometrie
3
5
5
6
10
14
18
19
19
20
20
23
23
27
28
29
30
31
32
32
33
36
37
38
38
41
42
42
42
43
44
45
45
45
46
48
49
50
51
52
54
56
4.1. Trigonometrie
4.1.1. Rechtwinklige Dreiecke
4.1.2. Kreisgleichung
4.1.3. Straßensteigung
4.1.4. Umfang eines Breitenkreises
4.1.5. Sinussatz
4.1.6. Cosinussatz
4.2. Analytische Geometrie
4.2.1. Grundelemente der Geometrie
4.2.2. Kurse in der Seefahrt - Einführung Vektoren
4.2.3. Skalare und Vektoren
4.2.4. Addition und Subtraktion von Vektoren
4.2.5. Skalarmultiplikation
4.2.6. Längen, Winkel und Skalarprodukt
4.3. Vektoren in Spaltendarstallung
4.3.1. Vektoren in R3
4.3.2. Lineare Abhängigkeit
5. Folgen
6. Grenzwert und Stetigkeit
6.1. Epsilon Umgebungen
6.2. Grenzwerte für x 7→ x0
6.3. Halbseitige Grenzwerte
6.4. Uneigentliche Grenzwerte
6.5. Stetigkeit
7. Differentialrechnung
7.1. Differenzenquotient
7.2. Differenzierbarkeit
7.3. Ableitungsfunktionen
7.4. Ableitungsregeln
7.5. Lokale Extrema
7.6. Beispiel einer Kurvendiskussion
7.7. Wendepunkte
7.8. Leitfaden Kurvendiskussion
7.9. Extremwertaufgaben
8. Integralrechnung
8.1. Stammfunktion
8.2. Bestimmtes Integral
4
56
57
61
61
62
63
65
68
68
70
72
72
74
74
76
80
81
83
84
84
86
89
90
92
93
93
96
96
96
99
100
102
102
103
104
104
105
1. Aufbau des Zahlsystems
1.1. Zahlen.
Natürliche Zahlen: N = {1, 2, 3, . . .}
Ganze Zahlen: Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Rationale Zahlen: Q = {x =
Beispiele rationaler Zahlen:
p
| p, q ∈ Z, q 6= 0}
q
1
= 0, 5 (z.B. ein halbes Jahr),
2
1
(z.B. Tortenstück),
12
3
= 0, 75 (z.B. dreiviertel 12 = 11.45 h),
4
2
= 0, 6 = 0, 6666 . . . periodische Zahl.
3
Irrationale Zahlen: Zahlen wie
√ die Kreiszahl π = 3, 14 . . ., die Eulersche Zahl e =
2, 71 . . ., und Wurzeln wie z.B. 2 = 1, 41 . . . haben in ihrer Dezimalentwicklung unendlichviele (nichtperiodische) Stellen, Solche Zahlen heißen irrational.
Reelle Zahlen:
R = Q ∪ {irrationale Zahlen}
Die reellen Zahlen werden auf dem Zahlenstrahl veranschaulicht:
1/2
−1
0
Anordnung von Zahlen: x < y
x≤y
x=y
x>y
x≥y
+1 +2 +3
x
x
x
x
x
ist
ist
ist
ist
ist
kleiner y
kleiner gleich y
gleich y
größer y
größer gleich y
1.2. Addition, Multiplikation und das Distributivgesetz. Addition:
Die Addition von reellen Zahlen kann man sich durch das Aneinanderlegen von Vektoren
(Pfeilen) auf dem Zahlenstrahl vorstellen. Dabei entspriche einer reellen Zahl a ein Pfeil
der Länge |a| mit Pfeilrichtung rechts, wenn a > 0 und Pfeilrichtung links, wenn a < 0:
a
a>0:
−a
und
|a|
|a|
Die Addition von a > 0 und b > 0 bzw. −b:
+a
(+a) + (+b) = +(a + b)
+b
0
+(a+b)
wenn a > b:
+a
−b
(+a) + (−b) = +(a − b)
0
+(a−b)
−b
−a
0
(−a) + (−b) = +(a + b)
−(a+b)
Ähnlich:
a<b:
(+a) + (−b) = −(b − a)
a>b:
(−a) + (+b) = −(a − b)
a<b:
(−a) + (+b) = +(b − a)
Multiplikation:
Regel 1.1. Minus mal Minus ist Plus:
(−a) · (−b) = a · b
Distributivgesetz:
Ausklammern=Faktorisieren
a·b+a·c
−−−−−−−−−−−−−−−−→
=
a · (a + c)
Ausmultiplizieren
←−−−−−−−−−
(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd
6
Beispiel: Binomosche Formeln
(a + b)2 = a2 + 2ab + 2
(a − b)2 = a2 − 2ab + 2
(a − b)(a + b) = a2 − b2
Klammerregeln:
a + (b + c) = a + b + c
a + (b − c) = a + b − c
a − (b + c) = a − b − c
a − (b − c) = a − b + c
Regel 1.2. Punkt vor Strichrechnung!
Aufgaben: pp. 14-15/1.-5.
7
Aufgabenblatt 1
Aufgabe 1:
a) (+7) − (+5) =
b) (+5) − (+7) =
c) (−5) − (+7) =
d) (−7) − (−5) =
e) (−18) − (+39) =
f) (−46) − (−14) =
g) −35 − 78 =
Aufgabe 2:
Lösen Sie die Klammer auf, ohne zu addieren oder zu subtrahieren.
a) 12 + (7 + 2)
b) 12 + (7 − 2)
c) 12 − (7 + 2)
d) 12 − (7 − 2)
Aufgabe 3:
Klammern Sie aus bzw ein
a) 3a + 3b
b) 5x − 5y
c) (e − 1)e
d) 6(3x − 4y) + 5(2x − 3y)
Aufgabe 4:
a) 6x − 8y − (4x + 3y − 5z)
b) 27p − (27p − 15q) + 28q
c) 19w − (24x − 19w)
d) 22x − (16x + 9y)
e) (2x − y − 3z) + (x + y − z)
Aufgabe 5:
a) x + [y + (u − v)]
b) x + [(u − v) − y]
c) x + [y − (u + v)]
d) x − [y + (u − v)]
e) x − [y − (u − v)]
f) x − [y − (u + v − w)]
g) [a + (b − c)] − x
h) a − [(u − v) − (x − y)]
Aufgabe 6:
a) a − {b + [c − (d + e)]}
b) a − {[b − (c − d) − e] + f }
Aufgabe 7:
Klammern Sie −1 aus
a) −c − d
b) a − b
c) x − y
d) 1 − z
9
1.3. Rechnen mit Brüchen.
Addition
x+5=0
x = −5
Multiplikation
x·5=1
x = 15
⇒ negative Zahlen
⇒ Brüche
Subtraktion als Addition negativer Zah- Division als Multiplikation mit einem
len:
Bruch
7 − 5 = 7 + (−5)
7 : 5 = 7 · 15 = 75
Null = 0 ist das neutrale Element der Eins = 1 ist das neutrale Element der
Addition:
Multiplikation
5−5=0
5 : 5 = 5 · 15 = 55 = 1
5+0=5
5·1=5
Für einen Bruch
a
b
heißt a der Zähler und b der Nenner.
Erweitern und Kürzen von Brüchen:
a
ca
ac
=
=
b
cb
bc
Multiplikation :
a
xa
a
a
= x
x· =x =
b
b
b
b
a
a
:x=
b
bx
a·c
a c
· =
b d
b·d
a c
a·d
: =
b d
b·c
(mit Kehrbruch multiplizieren)
10
Beispiel
2
·
3
2
:
3
7
2·7
7
7
=
=
=
8
3·8
3·4
12
7
2 8
2·8
16
= · =
=
8
3 7
3·7
21
Übung:
x w
: ,
y v
5p 2r
: ,
6q 3s
p2 pq
:
q 2 r2
ab a
: ,
xy y
Addition:
a c
+ =
b b
a c
+ =
b d
a
±x=
b
a+c
b
ad bc
ad + bc
+
=
bd bd
bd
a ± xb
b
(Hauptnenner ist b)
(Hauptnenner ist bd)
Brüche und −1:
a
−a
−a · (−1)
a
− =
=
=
b
b
b · (−1)
−b
Übung:
2 3
+ =
5 2
2
3
+ =
10 2
1
2
+ =
10 6
Hauptnenner 5 · 2 = 10
Hauptnenner 10
10=2·5
6=2·3
⇒ Hauptnenner 2 · 3 · 5 = 30
1
1
+
x−1 x−3
Nenner Faktorisierung Erweiterungsfaktoren
x−1
x−1
x−3
x−3
x−3
x−1
kgV (x − 1) · (x − 3)
=Haupnenner!
⇒
1
(x − 3) + (x − 1)
2x − 4
1
+
=
=
x−1 x−3
(x − 1)(x − 3)
(x − 1)(x − 3)
11
1
1
1
+
+
2x + 4 3x + 6 2 + x
Nenner Faktorisierung Erweiterungsfaktoren
2x + 4 = 2 · (x + 2)
3
3x + 6
= 3(x + 2)
2
2+x
= (x + 2)
6
kgV
6 · (x + 2)
=Haupnenner!
1
1
3+2+6
11
1
+
+
=
=
⇒
2x + 4 3x + 6 2 + x
6(x + 2)
6(x + 2)
Übung:
a+2
a) 4a−6
−
b)
2
4a2 −9
x−1
3x
+ 2x+1
4x2 −1
+
3a−1
6a+9
=
Beispiel 1.
2 1
4
4 + 5
5
4+5
9 ? n 3+ 109 = 39
?
3
+
=3
+
=3
=3
= 3 = 3· 9 = 2710?
10
10
5 2
10 10
10
10
10
27
Die Lösung 10 ist die richtige!
Regel 1.3.
b
b
a =a·
c
c
12
18a2 −a+12
6(4a2 −9)
2 +1
= 2x
4x2 −1
Aufgabenblatt 2
Aufgabe 1:
Schreiben Sie in der Form b a ± 1 , Beispiel:
1
a − 1 = 13 (a − 3)
3
a) 43 b + 1
b) 5b2 − 5b
c) 6b + 1
d) 39 a + 1
e) 1 + 3b
f) 1 − 4a2
g) 73 b − 4
h) 76 b − 4
i) 43 − 5b
j) 8b + 43
k) 3 − 7b
Aufgabe 2:
Vereinfachen Sie
a) −c−d
c+d
c)
−1
a−b
x−y
y−x
d)
1−z
−1
b)
1.4. Binomische Formeln und Quadratische Ergänzung. Binomische Formeln:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a − b)(a + b) = a2 − b2
Quadratische Ergänzung I
Beispiel:
5 5 2 5 2
+
−
+6
2
2
2
5 2
5
= (x − )2 −
+6
2
2
5
1
= (x − )2 −
2
4
x2 − 5x + 6 = x2 − 2 · x ·
Mit Buchstaben:
p p 2 p 2
x + px + q = x + 2 · x · +
−
+q
2
2
2
p 2
p 2
= x+
−
+q
2
2
2
2
Regel:
p 2 p 2
−
+q
x + px + q = x +
2
2
2
Quadratische Ergänzung II
Ziel der quadratischen Ergänzung ist die Umformung in ein Produkt:
x2 + px + q = (x + s)(x + t)
Beispiel:
5
1
x2 − 5x + 6 = (x − )2 −
2
4
5 2 1 2
= (x − ) −
2
2
h
5
1 ih
5
1i
= (x − ) −
(x − ) +
2
2
2
2
= (x − 3)(x − 2)
14
mit quadr. Ergänz. I
Aufgabenblatt 3
Aufgabe 1:
a) (c + t)2
b) (x + 1)2
c) (12 + z)2
d) (g − m)2
e) (8 − a2 )2
f) (a − b)2
g) (b − a)2
h) (5k − m)2
i) (m − 5k)2
Aufgabe 2:
a) (4p + 5q)(4p − 5q)
b) (c + d)(c − d)
c) (x + 18)(18 − x)
d) (u3 + 1)(1 − u3 )
e) (a2 − b2 )(a2 + b2 )
Aufgabe 3:
a) (p + q)(p + q)
b) (15r + 13)(15r + 13)
c) (x + y)(x + y)
d) (r + s)2
e) (2m + 3n)(2m + 3n)
f) (3x + 2y)2
g) (a2 − b2 )(a2 + b2 )
Aufgabe 4:
a) (p − q)(p − q)
b) (15r − 13)(15r − 13)
c) (x − y)(x − y)
d) (r − s)2
e) (2m − 3n)(2m − 3n)
f) (3x − 2y)2
Aufgabe 5:
a) (p − q)(p + q)
b) (15r + 13)(15r − 13)
c) (x − y)(x + y)
d) (r − s)(s + r)
e) (2m + 3n)(2m − 3n)
f) (3x + 2y)(3x − 2y)
Aufgabe 6:
a) (a + b)2 + (a − b)2
b) (x + y)(x + y)(x − y)(x − y)
c) (p + q)2 (p − q)2
d) m2 − 2mn + n2
e) uv − u2 + uw
f) m2 − n2
g) x2 − 1
h) x4 − 1
i) a2 + 14a + 49
j) p2 + 2pq + q 2 − r2
k) r2 − 6r + 9
Aufgabe 7:
Berechne mit Hilfe der Binomischen Formeln:
612 ,
842 ,
3062 ,
10012 ,
16
982
Aufgabenblatt 4
Aufgabe 1:
Faktorisieren Sie mittels quadratischer Ergänzung in (mindestens) zwei Schritten, wie im
folgenden Beispiel:
5 2 1
2
= 5(x − 3)(x − 2)
5x − 25x + 30 = 5 (x − ) −
2
4
a) x2 + x − 12 =
b) x2 − 7x + 12 =
c) x2 − x − 12 =
d) x2 + 7x + 12 =
e) x2 + 8x + 12 =
f) x2 − 4x − 12 =
g) x2 − 8x + 12 =
h) x2 + 4x − 12 =
i) x2 + 8x + 15 =
j) x2 − 2x − 15 =
k) x2 + 2x − 15 =
l) x2 − 8x + 15 =
m) 2x2 − 4x − 6 =
n) 2x2 + 8x + 6 =
o) 2x2 − 8x + 6 =
p) 2x2 + 4x − 6 =
q) 3x2 + 3x − 6 =
r) 3x2 + 9x + 6 =
s) 3x2 − 3x − 6 =
t) 3x2 − 9x + 6 =
1.5. Quadratwurzeln. Aufgabe: Finde alle Lösungen von
x2 = 9
Es gibt 2 Lösungen:
x1 = 3,
und
x2 = −3
Achtung: eine Lösung
ist ≥ 0
√
9 = +3
Definition:
Allgemeine Definition:
√
Für a ≥ 0 ist a die positive Lösung von x2 = a
Übung:
√
25 = 5
denn
52 = 25
144 = 12
denn
122 = 144
121 = 11
√
16 = 4
denn
112 = 121
denn
42 = 16
√
√
Übung:
32 = 9
⇒
22 = 4
⇒
(−2)2 = 4
⇒
(−7)2 = 49
⇒
√
√
√
√
9=3
4=2
4=2
49 = 7
√
√ 2
a2 =
a =a
Regel:
Aufgaben:
x2 = 25
x2 = 144
4
9
Nenner rational machen:
Beispiele
x2 =
√
⇔ x = ± 25 = ±5
√
⇔ x = ± 122 = ±12
r
√
4
4
2
⇔ x=±
= ±√ = ±
9
3
9
√
√
3
3· 2
3 2
√ = √
=
2
2
( 2)2
√
√
a
a· 5
a 5
√ = √
=
25
5 5
5( 5)2
√
√
3
3 3
3 3 √
√ = √
=
= 3
3
3
( 3)2
√
√
√
1
3+1
3+1
3+1
√
√
= √
= √
=
2
2
2
3−1
( 3 − 1)( 3 + 1)
( 3) − 1
18
2. Prozentrechnung, Dreisatz und Proportionalität
2.1. Prozentrechnung. Prozent: % =
1
100
Das Symbol % wird immer als Faktor, also multiplikativ, verwendet.
Beispiel:
4%
von
200
sind
8
Prozentsatz
Grundwert
Prozentwert
p%
G
W
Zusammenhang von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert mittels Dreisatz:
200
OOO
oo7
o
o
OOO ooo
Oo
oooOOOOO
o
o
'
o
wooo
4% · 200
100% O
4%
100%
G
qq8
MMM
q
q
MMM qqq
Mq
qqq MMMM
q
q
MM&
qx qq
=8
100% M
p%
Mit 1% =
1
100
p·G
p% · G
=
100%
100
W =
läßt sich auch schreiben:
W = p% · G
Nach dem Prozentsatz bzw Grundwert aufgelöst:
p% =
W
100%
G
G=
19
W
100
p
2.2. Direkte Proportionalität.
2 Größen x und y sind direkt proportional, wenn der Quotient
x
y
= konst. ist
Beispiel: 5 kg Dünger reichen für eine Fläche von 120 m2 .
a) Um welche Proportionalität handelt es sich?
b) Wieviel m2 können mit 180 kg Dünger gedüngt werden?
c) Wieviel Dünger brauchen wir für 500 m2 ?
graphische Lösung:
5 kg Dünger
Ti
120 m2
180 kg Dünger
x
TTTT
jj5
TTjTjTjjjjj
jjj TTTTTT
TTTT
ju jjj
)
180 kg ·120 m2
⇒x=
= 4 320 m2
5kg
Das ist eine Beispiel für direkte Proportionalität:
viel Dünger ⇔ viel Quadratmeter,
Dünger
= konstant
#Quadratmeter
5 kg Dünger
Si
SSSS
kk5
SSSkSkkkkk
kkk SSSSS
S)
ku kkk
x kg Dünger
120 m2
⇒x=
5 · 500
kg = 20, 83̄ kg
120
500 m2
2.3. Indirekte Proportionalität.
2 Größen x und y sind indirekt proportional, wenn das Produkt x · y = konst.
ist
Beispiel:
5 Pumpen entleeren ein Wasserbecken in 16, 5 Stunden. Wieviel Zeit benötigen 3 Pumpen?
5 Pumpen entleeren ein Wasserbecken in 16, 5 Stunden. Wie langen brauchen 3 Pumpen?
Das ist eine Beispiel für indirekte Proportionalität:
viele Pumpen ⇔ wenig Zeit,
Zeit · #Pumpen = konstant
graphische Lösung:
5 Pumpen o
/
16, 5 Stunden
⇒x=
3 Pumpen o
/
x
20
5 · 16, 5
Stunden = 27, 5 h
3
Aufgabenblatt 5
Aufgabe 1:
5% von 40 e sind :
Aufgabe 2:
Sie erhalten eine Rechnung über 2 000 e mit 2% Skonto bei Zahlung innerhalb von 10
Tagen. Was müssen Sie zahlen?
Aufgabe 3:
Auf Ihren Konto erhalten Sie 4% Zinsen jährlich. Sie legen 3 000 e für ein Jahr fest zu
diesem Zinssatz an. Wieviel Geld haben Sie nach einem Jahr?
Aufgabe 4:
Sie haben 100 e in Ihrer Geldbörse, davon geben Sie 20 e aus.
(1) Um wieviel Prozent hat sich Ihr Geld in der Börse verringert?
(2) Auf wieviel Prozent hat sich Ihr Geld in der Börse verringert?
Aufgabe 5:
Sie haben 100 e in Ihrer Geldbörse, am Geldautomaten heben Sie zusätzlich 20 e ab.
(1) Um wieviel Prozent hat sich Ihr Bargeld erhöht?
(2) Auf wieviel Prozent hat sich Ihr Bargeld erhöht?
Aufgabe 6:
Wielviel Gramm Glucose sind in 290 g einer 0, 9%-tigen Glucoselösung enthalten?
Aufgaben zur Proportionalität:
Aufgabe 7:
8 Pumpen entleeren ein Wasserbecken in 3 Stunden. Wie langen brauchen 5 Pumpen?
Aufgabe 8:
100 g Wasser lösen 45 g Salz. Wieviel Salz können von 240 g Wasser gelöst werden (bei
gleicher Temperatur)?
Aufgabe 9:
Die Füllung eines Heizöltanks reicht bei Betrieb eines Brenners 360 Stunden. Wie lange
würde die Füllung beim gleichzeitigen Betrieb von 5 Brennern ausreichen?
Aufgabe 10:
10 kg Dünger reichen für eine Fläche von 200 m2 .
a) Welche Proportionalität?
b) Wieviel m2 können mit 180 kg Dünger gedüngt werden?
c) Wieviel Dünger brauchen wir für 500 m2 ?
Aufgabe 11:
Für ein Sparkonto zahlt die Bank 4, 5% Zinsen p.a.. Wie hoch sind die Zinsen nach einem
Jahr bei einem Guthaben von 340 e?
Aufgabe 12:
Eine Schulklasse besteht aus 12 Mädchen und 15 Buben. Drücken Sie diesen Sachverhalt
in Prozent aus.
Aufgabe 13:
Ein PKW verbraucht 11, 4 l /100 km. Wieviel kann er mit einer Tankfüllung von 40 l
zurücklegen?
22
3. Funktionen
3.1. Relation und Funktion.
R = Menge der reellen Zahlen
Elemente:
⇒
Zahlengerade
1, 3, −1, . . . ∈ R
allgemeines Element: x ∈ R
R × R = R2 = Paarmenge
Elemente:
(1|1), (1, 3), . . . ∈ R × R
allgemeines Element: (x, y) = (x|y) ∈ R × R
zeichnerisch ⇒ x, y-Koordinatensystem
Jede Teilmenge R von R × R heißt Relation. Das Bild von R im x, y-Koordinatensystem
heißt Graph von R.
Beispiele:
a) R1 = {(3|1), (3|2), (3|3), (2|1), (2|2), (1|1)}
b) R2 = {(−1|2), (0|2), (1, 2), (2|2)}
c) R3 = {(x|y) | y = 2}
d) R4 = {(0|0), (1|2), (2|4), (−1| − 2)}
e) R5 = {(x|y) | y = 2x}
f) R6 = {(−1| − 2), (−1|0), (−1|0, 5), (−1|3), (−1|4)}
g) R7 = { (x|y) | x = −1}
h) R8 = { (x|y) | x + y = 0}
i) R9 = { (x, y) | x2 = 1}
j) R10 = { (x, y) | y 2 = 1}
k) R11 = { (x, y) | x − y 2 = 0}
( Wertetabelle)
23
Beispiel:
Nickeldraht wird an ein Netzwerk angeschlossen und zu verschiedenen Spannungen wird
die Stromstärke gemessen:
Spannung U in V
0 2,0 4,0 6,0 8,0 10
Stromstärke I in A
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4
Faktor
I
U
12
später ergänzen
I
2,0
1,6
1,2
0,8
0,4
graphische Darstellung
im Koordinatensystem:
1
U
10
U und I sind proportional
6
Welcher Zusammenhang?
I
U
Brechne die 3te Zeile der Tabelle
I
U
Offenbar gilt für alle Meßwerte:
= 0, 2 ·
A
V
A
·U
V
Damit können wir zu gegebener Spannung U die Stromstärke I berechenen:
⇔
I = 0, 2 ·
I ist eine Funktion von U .
In der Mathematik brauchen wir meistens andere Buchstaben:
x statt U
Funktion
kurz:
und y
f : x 7→ y = f (x) = 0, 2 · x
y = f (x) = 0, 2x
24
statt
I
Weiters Beispiel aus der Physik:
Gleichförmig geradlinige Bewegung:
s = Weg
v = Geschwindigkeit
t = Zeit
Was ist der Zusammenhang?
Wie weit kommen Sie, wenn sie 20 min konstant mit Tempo 80 km
fahren?
h
km
20 · 80 · min · km
80
=
=
km ' 26, 7 km
h
60 min
3
Hier ist t = 20 min, v = 80 km
und s = 80
km. Also gilt:
h
3
20 min ·80
t·v =s
Der Weg ist also eine Funktion der Zeit:
s = s(t) = v · t
Stellen Sie die Funktion
s(t) = 80
km
·t
h
für der Bereich t = 0..10 s graphisch dar.
Umrechnung:
80
1000 m
m
km
= 80 2
= 22, 2
h
60 s
s
Wertetabelle:
t in Sekunden s 0
s in Metern m
Graph zeichnen!
2
4
6
8
10
0 44,4 88,9 133,3 177,8 222,2
25
Bezeichnungen:
f
Name der Funktion
f (x)
Funktionsvorschrift, z. B. x2
D = Df (maximale) Definitionsmenge, die Menge aller möglichen x-Werte
Beispiele: f1 (x) = 2x + 1
f2 (x) = x2
f3 (x) =
1
x
Physik
gleichförmig geradlinige Bewegung: s = vt
Was ist die Definitionsmenge von f1 , f2 , f3 und s?
f1 (x) = 2x + 1 D = R
f2 (x) = x2
f3 (x) =
1
x
s = s(t) = vt
D=R
D = R − {0}
D = R+
0
Funktionen werden oft graphisch dargestellt, der Graph einer Funktion ist eine Kurve im
xy-Koordinatensystem.
Zur Bestimmung der Graphen der Funktion f erstellt man eine
Wertetabelle:
x
f(x)
Die Funktionen in unserem Beispiel habe die folgenden Graphen:
f (x) = 2x + 1
f (x) = x2
26
f (x) =
1
x
3.2. Lineare Funktionen.
Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen. Was fällt auf:
y-Achsenabschnitt
f (x) = 2x − 1
Steigung
−1
f (x) = −x − 1
−1
f (x) = 2x
0
f (x) = x − 1
1
f (x) = 2x + 2
2
f (x) = 2x − 1
2
f (x) = 2x + 5
5
f (x) = 5x − 1
5
lineare Funktion
y = f (x) = mx + t
Definitionsbereich
D=R
Graph
Gerade
Schnittpunkt der Geraden mit y-Achse f (0) = t
Steigung
m
6
y = f (x)
m
t 1
-
x
Eine Gerade wird durch 2 Punkte festgelegt:
Beispiel: Gerade durch P1 = (1, 2) und P2 = (3, 3)
⇒ Zeichnen
⇒ Was ist die Funktionvorschrift y = f (x) = mx + t?
⇒ Steigungsdreieck einzeichnen
3−2
1
=
3−1
2
⇒ y-Achsenabschnitt t durch einsetzen von P1 bestimmen:
1
1
3
f (1) = · 1 + t = 2 ⇔ t = 2 − = = 1, 5
2
2
2
1
3
⇒ Lösung f (x) = 2 x + 2 .
m=
27
Allgemein:
f (x)
6
y2 = f (x2....).................................................................................................................................................................................................................
..................
..........
y1 =
f (x1....)...................................................
.............
...
...
.
.
t .......
x2 − x1
.
f (x2 ) − f (x1 ) = y2 − y1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
x1
x2
-
x
f (x2 )−f (x1 )
x2 −x1
y2 −y1
x2 −x1
=
Steigung:
m=
Durchschnitt mit y-Achse:
f (0) = t = y1 − mx1
Funktionsgleichung:
f (x) =
f (x2 )−f (x1 )
x2 −x1
x+t
S. 53/5 h), i), k)
weitere Aufgaben:
• gemischte Aufgabe zur Bestimmung der Funktionsgleichung
S.53/5 der Rest
und S.53/6
• zu 2 Punkten Steigungsfaktor berechnen
S.54/7
• Graphen bei verkleinertem Definitionsbereich
S.53/4
3.3. Nullstellen (linearer) Funktionen, Lineare Gleichungen.
Die Nullstelle ist der Schnittpunkt des einer Funktion f Graphen mit der x-Achse
x0 ∈ D
Nullstelle ⇔ f (x0 ) = 0
Berechnung der Nullstelle, Beispiel:
Funktion:
f (x) = 34 x + 7
Nullstelle:
f (x) = 0
3
x
4
+7=0
3
x
4
= −7
lineare Gleichung
(· 34 )
⇒ Nullstelle von f ist x = − 7·4
= − 28
3
3
lineare Gleichung
ax + b = 0 mit a 6= 0
Lösung
x = − ab
Lösungsmenge
L = {− ab }
Aufgaben S.55/1
28
3.4. Lineare Ungleichungen.
Beispiel: Die (x, y)-Ebene ist der Ort der Punkte(paare)
{ (x, y) |x, y ∈ R}
Der Graph von
y = f (x) = 2x − 1
ist der Ort der Punkte
{(x, y) |y = 2x − 1}.
Die Halbebene oberhalb des Graphen ist der Ort der Punkte (x, y) mit
y > 2x − 1
Die Halbebene unterhalb des Graphen ist der Ort der Punkte (x, y) mit
y < 2x − 1
Die x-Achse ist der Ort der Punkte (x, y) mit
y = 0.
Durch Schneiden der Oberen Halbebene mit der x-Achse erhalten wir also die Ungleichung
0 > 2x − 1
Analog wird der Durchschnitt der unteren Halbebene mit der x-Achse durch die Ungleichung
0 < 2x − 1
beschrieben.
Gilt für P (x|y) : y > mx + b
Gilt für P (x|y) : y = mx + b
Gilt für P (x|y) : y < mx + b
⇒ P liegt oberhalb der Geraden.
⇒ P liegt auf der Geraden.
⇒ P liegt unterhalb der Geraden.
Aufgaben Überprüfe, ob die folgenden Punkte oberhalb, unterhalb oder auf der angegebenen Geraden liegen:
a) y = −x + 2, A(1|0), B(1|1), C(1|2)
b) y = 12 x − 2, A(−1|1), B(2| − 1), C(1| − 2)
c) y = 3 − 14 x, A(0|3), B(−1, 5|3), C(1, 3|3)
Aufgaben S.60/2 (Ungleichungen in x)
Aufgaben S.60/3 (Doppelungleichungen in x)
Aufgaben S.60/4 (Ungleichungen in x und y)
29
3.5. Quadratische Funktionen.
quadratische Funktion
f (x) = ax2 + bx + c,
maximaler Definitionsbereich
D=R
Normalparabel
f (x) = x2
Scheitelpunkt von x2
S(0, 0)
Zeichne:
f (x) = x2
a, b, c ∈ R, a 6= 0
f1 (x) = 2x2
f2 (x) = 21 x2
f3 (x) = −x2
Scheitelpunkt von f (x) = ax2
S(0, 0)
Zeichne:
f4 (x) = x2 + 1 und f5 (x) = 2x2 − 3
Scheitelpunkte:
S4 (0, 1) und S5 (0, −3)
Scheitelpunkt von f (x) = ax2 + ys
S(0, ys )
Zeichne:
f6 (x) = (x − 1)2 und f7 (x) = 2(x − 1)2
f8 (x) = (x + 1)2 , f9 (x) = −(x − 1)2
Scheitelpunkte:
Scheitelpunkt von f (x) = a(x − xs )2 S(xs , 0)
f10 (x) = (x − 1)2 + 3
Zeichne
Scheitelpunkt: S10 (1, 3)
Der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion
f (x) = a(x − xs )2 + ys ,
mit a 6= 0,
ist
S(xs , ys )
2
f (x) = a(x − xs ) + ys heißt Scheitelpunktform von f .
Die Scheitelpunktform erhalten wir durch quadratische Ergänzung.
Aufgaben: Berechne den SP:
2
f1 (x) =x2 − 7x + 10= x − 72 − 94
2
f2 (x) =x2 − 7x + 20= x − 72 + 31
4
49
2
f3 (x) =x2 − 7x + = x − 27
4
Aufgaben S. 64 ff.
30
3.6. Nullstellen quadratischer Funktionen. Beispiel:
f (x) = x2 − 7x + 10
Nullstelle:
f (x) = 0
x2 − 7x + 10 = 0
(quadratische Gleichung)
Lösung: durch quadratische Ergänzung
x2 − 7x + 10 = 0
7
49 49
−
+ 10 = 0
x2 − 2 x +
2
4
4
2
7
49
x−
−
+ 10 = 0
2
4
2
7
49
x−
− 10
=
2
4
2
7
9
x−
=
2
4
3
7
x− =±
2
2
x1/2
7 3
= ± =
2 2
5
2
⇒ Nullstellen: x1 = 5, x2 = 2
Nullstellen quadratischer Funktionen sind die Lösungen quadratischer Gleichungen.
Aufgaben
Bestimme Scheitelpunkt und Nullstellen von
a) f (x) = x2 + 2x − 1
b) f (x) = x2 + 2x
c) f (x) = x2 + 2
d) f (x) = x2 + 2x + 1
31
3.7. Quadratische Gleichungen.
Hauptform
ax2 + bx + c = 0 mit a 6= 0
Lösungen
x1/2 =
√
−b± b2 −4ac
2a
Diskriminante D = b2 − 4ac
Normalform
x2 + px + q = 0
Diskriminante D = p2 − 4q
Lösungen
x1/2 = − p2 ±
q
p2
4
−q


> 0 2 Lösungen
Diskriminante D = 0 1 Lösung

< 0 keine Lösung
3.8. Diskriminante.
Gleichung
Lösungsformel
ax2 + bx + c = 0 x1/2 =
x2 − 1 = 0
√
−b± b2 −4ac
2a
Diskriminante
D = b2 − 4ac
D=4>0
x2 − x = 0
2 Nst: x1/2 = ±1
n
2 Nst: x1/2 = 01
x2 − 2x + 1 = 0
1 Nst: x1 = 1
D=0
x2 − x + 2 = 0
keine Nst:
D = −4 < 0
D=1>0
32
3.9. Satz von Vieta.
Bestimme die Lösungen von
a) (x − 1)(x − 2) = 0
b) (x + 4)(x − 12 ) = 0
c) −(x + 5)(x − 5) = 0
Multiplizieren Sie:
(x + a)(x + b) = Schüler rechnen = x2 + (a + b)x + ab
⇒ Lösungen: x1 = −a, x2 = −b
Wenn x2 + px + q = 0 die Lösungen x1 = −a, x2 = −b hat, so hat
es die Linearfaktorzerlegung
x2 + px + q = (x + a)(x + b)
Satz von Vieta
Hat x2 + px + q = 0 die Lösungen x1 = −a, x2 = −b hat, so gilt:
a) x2 + px + q = (x + a)(x + b) Linearfaktorzerlegung
b) a + b = p und ab = q
Aufgaben
Lückentext
a) x2
x + 5 = (x − 1)(x
)
b) x2
x + 9 = (x + 1)(x
)
c) x2
x + 14 = (x
d) x2 + x
e) x2
)(x − 7)
= (x − 3)(x
)
x + −24 = (x + 12)(x
)
Aufgaben
a) 3x2 − 9x + 6 = 0
b) 3x2 + 9x + 6 = 0
c) 3x2 + 9x + 10 = 0
d) x2 − 8x + 15 = 0
33
Aufgaben zum Satz von Vieta
a)
0 = x − x − 42
q = −42 = −7 · 6
p = −1 = −7 + 6
= (x − 7)(x + 6)
(Linearfaktorzerlegung)
2
Lösungen: x1 = 7, x2 = −6
b)
0 = x + 5x + 6
q =6=3·2
p=5=3+2
= (x + 3)(x + 2)
(Linearfaktorzerlegung)
2
Lösungen: x1 = −3, x2 = −2
c)
0 = x − 5x + 6
q = 6 = (−3) · (−2)
p = −5 = −3 − 2
= (x − 3)(x − 2)
(Linearfaktorzerlegung)
2
Lösungen: x1 = 3, x2 = 2
d)
2
2
0 = −x + 6x − 8 = −(x − 6x + 8)
= (x − 2)(x − 4)
q = 8 = (−2) · (−4)
p = −6 = −2 − 4
(Linearfaktorzerlegung)
Lösungen: x1 = 2, x2 = 4
e)
0 = −x2 + 4x − 4 = −(x2 − 4x + 4)
= −(x − 2)2
(2te Binomische Formel)
(Linearfaktorzerlegung)
Lösungen: x1/2 = 2
Weitere Aufgaben S 71/2 a), b), c), e) und S 73/10
34
Aufgaben zu SPF, SP, LFZ, Nst.
a) f (x) = x2 − 13x + 42
b) f (x) = x2 − 15x + 76
c) f (x) = x2 + 21x + 108
d) f (x) = x2 + 9x + 9
e) f (x) = 2x2 − 6x + 3
f) f (x) = 30x2 − 11x − 30
g) f (x) = 5x2 + 8x − 21
h) f (x) = x2 + x − 20
i) f (x) = x2 − 4x
j) f (x) = −x2 − 3
35
3.10. Umkehrfunktion.
Beispiel
Mobilfunktarif: Grundgebühr 20 e, danach 29 Cent/ min ' 17, 4 e/ h
Graph zeichnen
Definitionsbereich
Wertebereich
Funktionsgleichung
Beispiel
f (x) = 2x + 4
Berechne die Umkehrfunktion:
y = 2x + 4
(nach x auflösen)
y − 4 = 2x
1
y−2=x
2
1
x−2=y
2
1
⇒ f −1 (x) = x − 2
2
−1
Zeichne die Graphen von f und f , was fällt auf?
(x ↔ y)
Der Graph von f −1 ist der an der Hauptdiagonalen y = x gespiegelte Graph von f .
Eigenschaften von f und f −1 :
Funktion
lineare Funktion
⇒
Umkehrfunktion
f (x) = mx + t f −1 (x) =
1
x
m
Nullstelle
x0 = − mt
x0 = t
y-Achsenabschnitt
t
− mt
Die Nullstellen und der y-Achsenabschnitt vertauschen sich!
36
−
t
m
3.11. Wurzelfunktion.
Zunächst berechne die Umkehrfunktion einer beliebigen linearen Funktion und zeichne
ihre Graphen.
Wiederhole
(1) Graphen: Spiegelung an der Hauptdiagonalen
(2) Nullstellen und der y-Achsenabschnitt vertauschen sich
Nun:
f (x) = x2
Berechne die Umkehrfunktion:
y = x2
√
± y=x
√
f −1 (x) = ± x ??
⇒
Diskussion über ±
Zeichnen der Parabel
Funktion ↔ Relation ?
Lösung: halbe Parabel, eingeschränkter Definitionsbereich
Definitionsmenge Wertemenge
rechte Hälfte f (x) = x2
D = R≥0
W = R≥0
f (x) = x2
D = R≤0
W = R≥0
linke Hälfte
Umkehrfunktion
√
⇒ f −1 (x) = + x
√
⇒ f −1 (x) = − x
√
Die Wurzelfunktion y = x ist die Umkehrfunktion der (halben) Normalparabel f (x) =
x2 , mit der Definitionsmenge Df = R≥0
√
Die Definitionemenge der Wurzelfunktion y = x ist D = R≥0 .
Aufgaben
a) Bestimme die Definitionsmenge von f (x) =
√
x − 1 etc.
x↔y
b)
f (x) = (x − 1)2 f −1 (x) =
Scheitelpunkt
Definitionsmenge
√
x+1
S(1|0)
S(0|1)
D = [1, ∞[
D = R≥0
Wertemenge
W = R≥0
W = [1, ∞[
2
c) Genauso mit den Funktionen f (x) = x − 1, f (x) = (x − 1)2 = 1 etc
d) Zeichne die Funktionen aus Aufgaben b) und c)
37
3.12. Potenzen.
3.12.1. Potenzen mit ganzen Exponenten.
Potenzen einer Zahl: a2 = a · a
a3 = a · a · a
a4 = a · a · a · a
..
.
an = a
. . · a}
| · .{z
n-mal
Der Term an heißt Potenz. a ist die Basis und n der Exponent oder Hochzahl.
Spezielle Potenzen: a1 = a
a0 = 1
Beispiel: Was bedeutet Achtelfinale?
Darin steckt: 18 drin!
Gibt es also noch 8 Spiele? nein!
Finale, ganz wichtig
Halbfin., halb so wichtig, 2 Sp.
Viertelfinale, 4 Spiele
j
:2jjjjj
j
j
j
1 ujjj
G
w
:2 ww 2 GGG:2
GG
w
w
# 1
1 {w
4 4
4 4
:2 :2 :2
:2
1
8
1
8
Achtelfinale, 8 Spiele
(
(1 : 2) : 2 : 2 =
( 12 )
)
2
2
1
8
=
1
8
a−n =
1 3
4
=
1
4
· 14 · 41 ·
1
4
=
1
43
= 4−3
103 = 1000
10−2 =
1
102
=
1
100
TTTT
TTT)
1
G
:2 www 2 GGG:2
GG
w
w
# 1
1 {w
4 4
4 4
:2 :2 :2
:2
1
8
1
8
1
1
1
= 3 = = 2−3
2·2·2
2
8
Potenzen mit negativem Exponenten: a−1 =
Beispiele:
1 TTTTT :2
= 0, 01
38
1
a
1
an
1
8
1
8
Es gilt:
.
Zehnerpotenzen: ..
10−2 = 0, 01
10−1 = 0, 1
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
..
.
Erstes Potenzgesetz
Welche Zahl ist größer:
21900 · 289 oder 2 · 21989 ?
21900 · 289 = 21989 < 2 · 21989 = 21990
Für p, q ∈ N gilt: ap · aq = (a · . . . · a) · (a · . . . · a) = a · . . . · a = ap+q
p Faktoren
p+q Faktoren
q Faktoren
Für x, y ∈ Z und a ∈ R − {0} gilt:
1. Potenzgesetz:
ax · ay = ax+y
ax : ay =
ax
ay
= ax−y
S 86/2. a)-i) und S 87/3 a)-g)
Zweites Potenzgesetz
Welche Zahl ist größer:
21989 · 31989 oder 51989 ?
21989 · 31989 = (2 · 3)1989 = 61989 > 51989
Für p ∈ N gilt: ap · bp = (a · . . . · a) · (b · . . . · b) = (ab) · . . . · (ab) = (ab)ap
p Faktoren
p Faktoren
p Faktoren
Für x ∈ Z und a, b ∈ R − {0} gilt:
2. Potenzgesetz:
ax · bx = (a · b)x
ax : b x =
ax
bx
=
a x
b
Drittes Potenzgesetz
Ordne der Größe nach:
3
2
2
3
4(3 ) , 42 , 4(2 ) , 43 ?
3
2
3
2
42 = 46 = 43 = 46 < 4(2 ) = 48 < 4(3 ) = 49
Für p, q ∈ N gilt: (ap )q = (a · . . . · a) · . . . · (a · . . . · a) = a · . . . · a = apq
p Faktoren
p Faktoren
p·q Faktoren
q Faktoren
Für x, y ∈ Z und a ∈ R − {0} gilt:
3. Potenzgesetz:
ax
y
= ax·y
S 87/5
39
Beispiele: 342, 1 = 3 · 102 + 4 · 101 + 2 · 100 + 1 · 10−1
5 000 000 = 5 · 106
6, 0221367 · 1023 · mol−1 Avogadrosche Konstante
Beispiele: (Einheiten umrechnen)
1 km = 1000 m ⇒ 1 km2 = (1000 m)2 = 10002 m2 = 106 m2
1 cm = 100 mm ⇒ 1 cm2 = (100 mm)2 = 10000 mm2 = 104 mm2
1 dm = 10 mm ⇒ 1 dm2 = (10 mm)2 = 102 mm1 = 100 mm2
3
3
1
1
1 mm =
m ⇒ 1 m3 =
m = 10−3 m3 = 10−6 m3
1000
1000
S 87/6
40
3.12.2. Potenzen mit rationalen Exponenten.
Quadrat mit Seitenlänge a
Fläche: A = a · a = a2
a
a
Sei A = 9 cm2
⇒ a =? =
√
9 cm2 = 3 cm
√
⇒
a
a=
A=
√
2
A
Würfel mit Seitenlänge a
Volumen: V = a3
a
a
Sei V = 125 cm3
⇒ a =? =
√
3
125 cm3 = 5 cm
⇒
a=
√
3
V
√
n
a ist die positive Lösung von xn = a
√
√
Der Term n a heißt n-te Wurzel aus a. Im Fall n = 2, also a, spricht man auch von der
√
Quadratwurzel. Für den Term n a heißt a der Radikant. Der Radikant darf nicht negativ
sein, also a ≥ 0.
Potenzen mit rationalen Exponenten:
√
1
a 3 = 3 a, . . .
√
√ √
n
n
Rechenregeln für Wurzeln: n a · b = a · b
r
√
n
a
a
√
= n
n
b
qb
√
n √
m
a = nm a
1
a2 =
√
a,
41
1
an =
√
n
a
3.13. Potenzfunktionen.
Potenzfunktion f (x) = xα ,
α∈R
3.13.1. Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten.
α=0
f (x) = x0 = 1
konstante Fkt.
α=1
f (x) = x1 = x
Identität, lin. Fkt.
2
α=2
f (x) = x
Normalparabel, quad. Fkt.
3
α=3
f (x) = x
Parabel 3ter Ordnung
4
α=4
f (x) = x
Parabel 4ter Ordnung
Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten:
f (x) = xα , mit α ∈ N
Definitionsbereich:
D=R
Graph:
Parabel α-ter Ordnung
α gerade
α ungerade
Aufgaben, S.91/1 a),b),c)
3.13.2. Potenzfunktionen mit negativen Exponenten.
α = −1
f (x) = x−1 =
1
x
α = −2
f (x) = x−2 =
1
x2
Hyperbel
Hyperbel 2ter Ord.
Aufgaben: S. 91/1 d),e),f ) und S.92/3
Aufgaben zu Hyperbelfunktionen:
Bestimmen Sie den Definitionsbereich und skizzieren Sie den Graphen der folgenden Funktionen:
a) f1 (x) =
1
x
b) f2 (x) =
1
x
c) f3 (x) =
1
x−1
d) f4 (x) =
1
x−1
42
+2
+2
3.13.3. Potenzfunktionen mit positiven rationalen Exponenten.
α=
1
1
2
f (x) = x 2 =
√
x
Erstelle Wertetabellen für f (x) =
√
x und g(x) = x2 :
x
x2
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
7
49
x
x
1
1
4
2
9
3
16
4
25
5
36
6
49
7
√
√
x ist die Umkehrfunktion von g(x) = x2 ,
√
Der Definitionsbereich von f (x) = x: Df = R+
f (x) =
Wurzelfunktionen:
√
mit n ∈ N,
f (x) = n x
Ausnahme
√
f (x) = n x
Definitionsbereich:
mit n ∈ N ungerade,
mitDg = R+
0
D = R+
0
Definitionsbereich:
D=R
Aufgaben zu Wurzelfunktionen:
Bestimmen Sie die Definitions- und die Lösungsmenge:
√
a) −x = 9
b)
c)
√
x = −9
√
3
−x = 4
√
d) x −x = −8
43
D = R−
0
⇔ −x = 81 ⇒ L = {−81}
D = R+
0
L = {}
D=R
3
⇔ −x = 4 = 64 ⇒ L = {−64}
D = R−
0
√
3
⇔ −x = −8
⇒ L = {}
3.14. Abschnittsweise definierte Funktionen. Beispiele
a)

1

x ∈ R−
x
f (x) = x2
x ∈ [0, 2]

3 − x x ∈]2, ∞[
b)
(
x2 − 1
f (x) =
x+1
x ∈] − ∞, 1[
x ∈ [1, ∞[
c)
(
1 − x2
f (x) =
x−1
x ∈] − ∞, 1[
x ∈ [1, ∞[
d)
(
x
f (x) = |x| =
−x
x ∈ R+
0
x ∈ R−
f (x) = |x| heißt Betragsfunktion
Aufgaben, S.113ff
44
3.15. Betragsfunktion.
3.15.1. Betragsfunktion.
(
x
Betragsfunktion: f (x) := |x| =
−x
x≥0
x<0
Beispiel
|3| = 3
Regel:
aber
| − 3| = 3
|a · b| = |a| · |b|
3.15.2. Abstandsfunktion.
Abstand zwischen 2 Punkten x1 und x2 :
x1 = 0,
x2 = 9
d(0, 9) = 9 − 0 = 9
x1 = 9,
x2 = 0
d(9, 0) = 9
x1 = 2
x2 = 3
d(2, 3) = 3 − 2 = 1
x1 = 3
x2 = 2
d(3, 2) = 3 − 2 = 1
x1 = 2
x2 = −3
d(2, −3) = 2 − (−3) = 5
x1 = −3
x2 = 2
Allgemeine Formel:
d(−3, 2) = 2 − (−3) = 5
(
x2 − x1
d(x1 , x2 ) = |x2 − x1 | =
−(x2 − x1 ) = x1 − x2
falls x2 − x1 ≥ 0 ⇔ x2 ≥ x1
falls x2 − x1 ≤ 0 ⇔ x2 ≤ x1
Der Abstand zwischen zwei Punkten x1 und x2 ist:
d(x1 , x2 ) = |x2 − x1 |.
Anwendung:
Die gesuchte Zahl x hat zu a den Abstand b.
Lösung:
L = {a − b, a + b}
Aufgaben:
a) |5x| = 1
b) | x5 | = 1
c) | 13 + x| = 3
d) |2 − x3 | = 1
45
3.15.3. Betragsungleichungen.
Zaun und Ziege: r = 2m lange Leine, welchen Bereich des Zaunes kann die Ziege abgrasen?
r
−2
−1
0
1
2
Abstand Ziege zum 0ten Zaunpfahl ist ≤ 2 ⇒
d(Z, 0) ≤ 2
|Z − 0| ≤ 2
|Z| ≤ 2
⇔
L = {−3, 3}
Anwendungen:
(1) Die gesuchte Zahl x hat zu a den Abstand ≤ b.
Lösung:
Das Intervall L = [a − b, a + b]
(2) Die gesuchte Zahl x hat zu a den Abstand ≥ b.
Lösung:
Das Intervall L =] − ∞, a − b[ ∪ ]a + b, ∞[
46
Aufgabe:
Leine wird am 2-ten Zaunpfahl angebracht. Welcher Zaunbereich wird abgegrast?
d(z, 2) ≤ 3
|z − 2| ≤ 3
L = [2 − 3, 2 + 3] = [−1, 5]
Weitere Aufgaben:
a) |x − 3| ≤ 5
L = [3 − 5, 3 + 5] = [−2, 8]
b) |x + 5| ≤ 3
L = [−5 − 3, −5 + 3] = [−8, −2]
c) |x + 5| < 3
L =] − 5 − 3, −5 + 3[=] − 8, −2[
Was passiert, wenn wir statt einer Ziege einen bissigen Hund an Zaunpfahl 0 anleinen?
In welchem Bereich sind wir sicher vor dem Hund?
d(x, 0) > 3
|x| > 3
L =] − ∞, −3[ ∪ ]3, ∞[
Betragsungeleichungen mit Fallunterscheidung lösen, Aufgaben Buch S.120
47
3.16. Symmetrische Funktionen.
Einführung:
Spiegele eine Punkt im x, yKoordinatensystem an ybzw x-Achse:
P(−4|2)
P(4|2)
P(−4|−2)
P(4|−2)
Punktspiegelung = Spiegelung an x- und y-Achse = Drehung um 180◦ um den Ursprung.
an y-Achse spiegeln
P (x|y) −−−−−−−−−−−→ P (−x|y)
Punktspiegelung
P (x|y) −−−−−−−−−→ P (−x| − y)
Eine Funktion y = f (x) heißt gerade, wenn sie symmetrisch zur y-Achse ist, also
P (x|y) ∈ Graphf
⇒
P (−x|y) ∈ Graphf
f (x) = y
⇒
f (−x) = y
f gerade
⇔
⇔
f (−x) = f (x) für alle x ∈ Df
Beispiele:
f (x) = x2 ,
f (x) = x2 + 1,
f (x) =
1
x2
.
Eine Funktion y = f (x) heißt ungerade, wenn sie punktsymmetrisch (zum Ursprung) ist,
also
P (x|y) ∈ Graphf
⇒
P (−x| − y) ∈ Graphf
f (x) = y
⇒
f (−x) = −y
f ungerade
⇔
⇔
f (−x) = −f (x) für alle x ∈ Df
Beispiele:
f (x) = x,
f (x) = x3 ,
f (x) =
1
x
Aufgaben, S. 47/1
48
3.17. Verkettete Funktionen.
Modell mit Papierrohr Verkettung von Funktionen f und g:
f g(x) = f ◦ g(x)
Beispiel: f (x) = x3 und g(x) = 2x − 1 dann f (g(x)) = g(x)3 = (2x − 1)3
Aufgabe Verkette die folgenden Funktionen:
f (x) = 3x2 ,
g(x) = 7x + 8,
h(x) =
√
x
f ◦g
f ◦h
g◦h
f ◦g◦h
g◦h◦f
g◦f
h◦f
h◦g
g◦f ◦h
h◦g◦f
Aufgabe
Verkettung Erkennen Üben:
√
1
f g(x) = √ − 3 x
x
√
√
f g(x) = 3 x − 4x + x3
1
1
1
f g(x) = − 2 − 3
x x
x
mit g(x) =
√
x
√
x
1
mit g(x) =
x
mit g(x) =
49
⇒ f (x) =
1
− 3x
x
⇒ f (x) = 3x − 4x2 + x3
⇒ f (x) = x − x2 − x3
3.18. Lineares und exponentielles Wachstum.
Beispiel für lineares Wachstum:
Sparstrumpf mit 10 e. Jede Woche legt Ihr 2 e dazu.
Beginn der x-ten Woche
Inhalt des Sparstrumpfs
x=0
10 e
x=1
(10 + 2) e
x=2
(10 + 2 + 2) e = (10 + 2 · 2) e
x=3
(10 + 2 + 2 + 2) e = (10 + 2 · 3) e
x=4
..
.
(10 + 2 + 2 + 2 + 2) e = (10 + 2 · 4) e
x=x
⇒ lineare Funktion:
(10 + 2 · x) e
S(x) = 10 + 2x
Beispiel für Exponentielles Wachstum:
Bakterien vermehren sich durch Zellteilung.
Starten wir mit 10 Bakterien B so haben wir:
Anzahl der Zellteilungen (ZT):
Anzahl Bakterien
0 ZT
10 Bakterien
1 ZT
10 · 2 Bakterien
2 ZT
10 · 2 · 2 = 10 · 22 Bakterien
3 ZT
..
.
10 · 22 · 2 = 23 Bakterien
x ZT
10 · 2x Bakterien
⇒ Exponentialfunktion (weil x im Exponenten):
B(x) = 10 · 2x
Die Graphen von S(x) = 10 + 2 · x und B(x) = 10 · 2x :
50
3.19. Exponentialfunktionen.
Exponentialfunktion zur Basis
a>0
f (x) = ax
Basis
a
Definitionsbereich
D=R
Graph für a > 1
Monotonie: s.m.st.
Graph für 0 < a < 1
Monotonie: s.m.f.
y-Achsenabschnitt
f (0) = 1 bzw (0/1)
Wertebereich
R+
Asymptote:
x-Achse
51
3.19.1. Radioaktiver Zerfall:
Das Blei-Isotop
212
82 P b
hat eine Halbwertzeit von T1/2 = 10, 6 h (Stunden).
Zur Lösung beschreibe man den Zusammenhang von Stoffmenge Uran zur Zeit durch eine
Funktion!
Bemerkung: die Halbwertszeit T1/2 ist die Zeitspanne, in der sich die Stoffmenge halbiert.
N0 = 6 · 1023 = NA
Anzahl der Atome bei t = 0:
Dann gilt:
Zeit
Anzahl Atome
t = 0:
NA = 6 · 1023
t = T1/2
NA
2
t = 2T1/2
t = 3T1/2
=
6·1023
2
2
=
NA
22
NA
23
=
6·1023
23
NA
2x
=
6·1023
2x
NA
2
=
6·1023
22
..
.
t = x · T1/2
= 6 · 1023 ·
−T t
t
t mit x = T1/2
6 · 1023 · 2
Die Exponentialfunktion
1/2
1 x
2
= 6 · 1023 · 2−x
t
= 6 · 1023 · 2− 10,6 h
t
f (t) = 6 · 1023 · 2− 10,6 h
beschreibt den Zerfall der Atome
52
Aufgabe: Wann sind nur noch 1023 Atome vorhanden?
t
6 · 1023 · 2− 10,6 = 1023
t
6 · 2− 10,6 = 1
t
6 = 2 10,6 = 2t
1
10,6
610,6 = 1, 77 · 108 = 2t
Wir benötigen die Umkehrfunktion von f : x 7→ 2x
Wertetabelle:
x
−→
2x
1
2
1, 5
2, 8284
2, 5
5, 65687
3
9
20
1 048 576 = 1, 05 · 106
30
1, 07 · 109
27
1, 34 · 108
27, 4
1, 77 · 108
log2 x
←−
x
Folgerung: in ca. 27, 4 Stunden sind nur noch 1023 Atome vorhanden.
53
3.20. Logarithmusfunktionen.
Vertausche x ↔ y
⇔
Spiele ander Hauptdiagonalen
Logarithmusfunktion zur Basis a
f (x) = loga x
Basis
a ∈ R+ \{1}
Definitionsbereich
D = R+
Graph für a > 1
Monotonie: s.m.st.
Graph für 0 < a < 1
Monotonie: s.m.f.
Wertebereich
R
x 7→ loga x ist die Umkehrfunktion von 7→ ax :
ax = b
⇔
x = loga b
54
Beispiel:
32 = 9
⇔
2 = log3 9
⇒ Buch S.58/4
Wie berechne ich den Logarithmus:
loga ax = x
Beispiel:
log2 4 = log2 24 = 2
log3 9 = log3 32 = 2
log10 1000 = log10 103 = 3
⇒ Buch S.58/5 a)-e)
Zehnerlogarithmus: lg = log10 = log
Beispiel:
lg 100 = 2
lg 0, 1 = lg 10−1 = −1
⇒ Buch S.58/5 f)-h) und l)
Spezielle Werte des Logarithmus:
loga a = 1;
loga 1 = 0;
loga
Buch S.59/7, 10
Umformen: log5 25 = 2 ⇒ 52 = 25
⇒ Buch S.59/8
Umgekehrt:
2x = 25 ⇒ log2 25 = x
⇒ Buch S.59/10
Taschenrechner: log = lg = LOG = log10
TR
⇒ Buch S.59/11, z.B. a) 10x = 29 ⇒ log 29 = x = 1, 46
Wie berechne ich log2 5 mit dem Taschenrechner?
loga b =
Bsp: log2 5 =
log 5
log 2
logc b
logc a
= 2, 32
Buch S.59/15
55
1
= −1
a
4. Geometrie
4.1. Trigonometrie.
Bezeichnungen eines Dreiecks:
a
b
β
α
c
Winkelsumme im Dreieck
α + β + γ = 180◦
Aufgabe: Welche speziellen Dreiecke kennen Sie?
alle Winkel 60◦
(1) gleichseitig ,
(2) gleichschenklig
zwei Winkel bzw. zwei Seiten gleich
(3) rechtwinklig
56
4.1.1. Rechtwinklige Dreiecke.
Rechtwinkliges Dreieck:
a
b
β
α
c
Satz von Pythagoras: Ein Dreieck mit den Seiten a, b und c ist genau dann
rechtwinklig, wenn
a2 + b 2 = c 2 .
Hypothenuse:
Katheten:
c
a und b
Ankathete bezüglich α: b
Gegenkathete bezüglich α:
a
Gegenkathete
a
= = sin α
Hypothenuse
c
b
Ankathete
= = cos α
Hypothenuse
c
Gegenkathete
a
= = tan α
Ankathete
b
Aufgaben
a) b = 145 cm, α = 64◦
β = 26◦
cos α =
tan β =
b
c
b
a
b
= 330, 77 cm
cos α
= tanb β = 297, 29 cm
⇒ c=
⇒ a
b) b = 47 m, α = 38◦
β = 52◦
cos α =
tan α =
b
c
a
b
⇒ c=
b
cos α
= 59, 64 m
⇒ a = b tan α = 36, 72 cm
c) c = 24, 5 cm, β = 62, 5◦
α = 27, 5◦
cos β =
sin β =
a
c
b
c
⇒ a = c cos β = 11, 31 cm
⇒ b = c sin β = 21, 73 cm
57
Berechnung spezieller Werte von Sinus und Cosinus:
◦
sin 30 =
a
2
a
=
1
2
1
cos 60◦ = sin 30◦ =
2
q
√
a
2
h = a2 − a4 =
3
2
1√
h
sin 60◦ = =
3
a
2
300
a
a
a
h
600
600
a_
2
a
◦
◦
cos 30
√ = sin 60 √
2
2
c= a +a = 2·a
√
1
a
sin 45 = = √ = 21 2
c
2
√
1
a
◦
cos 45 = c = 2 2
90
◦
o
a
a
45
o
45
o
c
α
0
sin α
1
2
cos α
1
2
√
√
0=0
4=1
30◦
√
1
1=
2
√
1
3
2
1
2
45◦
√
1
2
2
√
1
2
2
60◦
√
1
3
2
√
1
1=
2
1
2
90◦
√
1
4=1
2
√
1
0=0
2
• Üben von Sinus, Cosinus und Tangens mit TR
• Arkusfunktionen erklären:
arcsin x = sin−1 x = α,
für x ∈ [−1, 1]
arccos x = cos−1 x = α,
für x ∈ [−1, 1]
arctan x = tan−1 x = α,
für x ∈ [−1, 1]
• Üben von Arkussinus, Arkuscosinus und Arkustangens mit TR
Aufgaben LS S47/13, 14, 15
58
Aufgaben:
(1) Zeichne eine rechtwinkliges Dreieck mit
1
2
3
4
(a) tan α =
(b) tan α =
(c) tan β = 1, 5
(d) tan β = 3
(2) Bestimme die fehlenden Seitenlängen bzw Winkel der folgenden rechtwinkligen
Dreiecke
(a) c = 56, 40 m, α = 38, 5◦ β = 90◦ − α = 51, 5◦
sin α =
cos α =
a
c
b
c
⇒ a = c · sin α = 35, 11m
⇒ b = c · cos α = 44, 14 m
(b) a = 4 cm, b = 5 cm tan α =
β = 90◦ − α = 51, 34◦
√
c = a2 + b2 = sina α =
a
cos β
a
b
⇒ α = arctan ab = 38, 66◦
= 6, 4 cm
(c) c = 8 cm, a = 3 cm α = arcsin ac 22◦
β = 90◦ − α = 68◦
√
b = c2 − a2 = 7, 42 cm
(d) a = 6, 18 cm, α = 18◦ c =
a
sin α
= 20 cm
β = 90◦ − α = 72◦
b=
a
tan α
= 19 cm
(e) a = 4, 2 cm, β = 32◦ 390 β = 32, 65◦
α = 90◦ − β = 57, 35◦ = 57◦ 210
c=
a
cos β
= 4, 99 cm
√
b = c2 − a2 = a tan β = 2, 69 cm
(f) b = 7, 2 cm, α = 37◦ 320 α = 90◦ − α = 52, 47◦ = 52◦ 280
a = b · tan α = 5, 53 cm
c=
c
cos α
= 9, 08 cm
59
(3) Berechnen Sie h, p und q
(vgl LS S.50/7)
β α
a
b
h
α
β
q
c
(a) a = 6 cm, c = 10 cm
(b) b = 4, 5 cm, α = 43, 5◦
(c) a = 8 cm, α = 28◦
(d) c = 14, 5 cm, β = 48, 5◦
(e) a = 14 cm, b = 25, 8
(4) Die Möndchen des Hippokrates
Berechnen Sie die Fläche der roten Möndchen
b
a
c
60
p
4.1.2. Kreisgleichung.
Berechne eine rechtwinkliges Dreieck mit Hypothenuse c = 1LE:
a
b
β
α
c=1 LE
a
=a
1
b
cos α = = b
1
2
2
a +b =c
sin α =
2=1
Einsetzen von a und b in Pythagoras liefert die
Kreisgleichung:
sin2 α + cos2 α = 1
4.1.3. Straßensteigung.
Was bedeutet 10% Straßensteigung:
α
100 m
10 m
Der Neigungswinkel α ist:
tan α =
1
1
10 m
=
⇒ α = arctan
= 5, 7◦
100 m
10
10
Aufgaben:
(1) Berechne den Neigungswinkel:
(a) 18% Steigung
α = 10, 2◦
(b) 25% Steigung
α = 14◦
(c) 5% Steigung
α = 2, 7◦
(2) Wie hoch ist eine Tanne, wenn der Schatten s = 27, 5 m und der Neigungswinkel
der Sonnenstrahlen α = 38, 5◦ ist?
h = s · tan α = 21, 87 m
61
(3) Ein geradliniges Straßenstück habe die Länge l = 320 m und die Steigung α =
7, 5◦ . Wie lang ist es auf einer Landkarte mit Maßtab 1 : 25 000?
l
α
s
s = l sin α = 317, 3 m
Maßstab:
25 000 m ' 1 m auf Karte
1m '
1
25 000
m auf Karte
s = 317, 3 m '
317,3
25 000
m=
317,3·100
25 000
cm = 1, 27 cm
4.1.4. Umfang eines Breitenkreises.
Erdradius: ca r = 6370 km
⇒ Erdumfang: U = 2πr = 40 023, 89 km ' 40 000 km Was sind der Radiusrϕ und Umfang
Uϕ des Breitenkreises durch Nürnberg, wenn die geographische Breite von Nbg. ϕ =
49◦ 300 N ist?
Breite ϕ
rϕ
r
= cos ϕ ⇒ rϕ = r cos ϕ = 4 137 km
Uϕ = 2πrϕ = 25 993, 44 km
r*
ϕ
Äquator
62
ϕ
r
r
4.1.5. Sinussatz.
γ
b
Wie berechnet man ein beliebiges Dreieck:
a
β
α
c
γ
b
Höhe h auf Seit c
sin α = hb ⇒ h = b · sin α
sin β = ha ⇒ h = a · sin β
⇒ b · sin α = h = a sin β
a
h
β
α
c
sin α
sin β
=
a
b
Für beliebige Dreiecke gelten:
Sinussatz:
sin β
sin γ
sin α
=
=
a
b
c
Der Sinussatz kann zwei Lösungen haben:
Beispiel
Gegeben: a = 3, 3 cm, b = 5, 2 cm, α = 35◦
1te Lösung:
sin β = b · sina α = 0, 904 ⇒ β = 64, 7◦
γ = 180◦ − α − β = 64, 7◦
c = sin γ · sina α = 5, 67 cm
2te Lösung:
β = 180◦ − β = 115, 3◦
γ = 180◦ − α − β = 29, 7◦
c = sin γ · sina α = 2, 85 cm
γ
a
γ
b
a
β
α
β
c
c
Weil
sin(180◦ − α) = sin α
kann der Sinussatz zwei Lösungen haben.
für Winkel α ∈ [0, 180◦ ]
63
Aufgaben:(zum Sinussatz)
(1) b = 22, 7 m, α = 67, 8◦ , β = 24, 4◦ a = b ·
sin α
sin β
= 50, 9 m
γ = 180◦ − α − β = 87, 8◦
c=b·
sin γ
sin β
= 55, 0 m
(2) a = 4, 5 cm, b = 5, 7 cm, β = 70◦ sin α = a ·
sin β
b
= 0, 742 ⇒ α = 47, 9◦
γ = 180◦ − α − β = 62, 1◦
c = sin γ ·
b
sin β
= 5, 36 cm
2te Lösung?
α = 180◦ − α = 132, 1◦
⇒
α + β = 201, 1◦
(3) a = 12, 4 m, b = 9, 8 m, β = 47◦ sin α = a ·
sin β
b
= 0, 9254 ⇒ α = 67, 7◦
γ = 180◦ − α − β = 65, 3◦
c = sin γ ·
b
sin β
= 12, 2 m
2te Lösung
α = 180◦ − α = 112, 3◦
γ = 180◦ − α − β = 20, 7◦
c = sin γ ·
b
sin β
= 4, 7 m
(4) a = 3 cm, b = 5 cm, α = 45◦ sin β = b ·
sin α
a
= 1, 18
Keine Lösung
(5) a = 4, 5 cm, c = 5, 5 cm, α = 40◦ 1te Lösung:
γ = 51, 8◦ , β = 88, 2◦ , b = 7 cm
2te Lösung:
γ = 128, 2◦ , β = 11, 8◦ , b = 1, 43 cm
(6) b = 5, 8 cm, c = 6, 8 cm, β = 45◦ sin γ = c ·
Keine Lösung
64
sin β
b
= 1, 02
4.1.6. Cosinussatz.
Aufgaben:
(1) Dreieck mit a = 8cm, b = 6 cm, γ = 38, 6◦
(2) a = 15 cm, b = 9 cm, c = 12 cm
Was nun?
Lösungen unten
Höhe h auf Seite c
h = b · sin α
q = b cos α
Einsetzen von h
γ
b
Pythagoras für ∆(ahp):
a2 = h2 +p2 = h2 +(c−q)2 = h2 +c2 −2cq+q 2
a
h
α
β
q
c
p
und q liefert:
a2 = b2 sin2 α + c2 − 2cb cos α + b2 cos2 α
= b2 (sin2 α cos2 α) + c2 − 2cb cos α
= b2 + c2 − 2bc cos α
Für beliebige Dreiecke gelten:
Cosinussatz:
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
65
Aufgaben:
(1) a = 8 cm, b = 6 cm, γ = 38, 6◦ c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ = 25 cm2 ⇒ c = 5 cm
sin α = a sinc γ ⇒ α = 86, 57◦
β = 180◦ − α − γ = 54, 85◦
(2) a = 15 cm, b = 9 cm, c = 12 cm cos α =
b2 +c2 −a2
2bc
= 0 ⇒ α = 90◦ also rechtwink-
lig
β = arcsin ab = 36, 9◦
γ = arcsin ac = 53, 1◦
p
√
(3) (LS 64/4 a)) a = 5 cm, c = 4 cm, β = 60◦ b = a2 + c2 − 2ac cos β = 21 cm =
4, 58 cm
sin α = a sinb β = 0, 94 ⇒ α = 70, 89◦
γ = 49, 11◦
(4) (LS 64/3) a = 4 cm, b = 5 cm, c = 6 cm cos α =
cos β =
a2 +c2 −b2
2ac
◦
b2 +c2 −a2
2bc
= 0, 75 ⇒ α = 41, 4◦
b2 +c2 −a2
2bc
= 0, 9 ⇒ α = 26, 4◦
= 0, 6 ⇒ β = 55, 8◦
γ = 82, 8
(5) (LS 64/3) a = 3 cm, b = 6 cm, c = 4 cm cos α =
cos β =
a2 +c2 −b2
2ac
◦
= −0, 5 ⇒ β = 117, 3◦
γ = 36, 3
(6) (LS 64/3) a = 334 m, b = 178 m, c = 247 m cos α =
b2 +c2 −a2
2bc
= −0, 2 ⇒ α =
102, 4◦
cos β =
a2 +c2 −b2
2ac
◦
= 0, 9 ⇒ β = 31, 4◦
γ = 46, 2
(7) (LS 64/3) a = 50, 8 m, b = 53, 6 m, c = 39, 4 m cos α =
◦
64, 1
cos β =
a2 +c2 −b2
2ac
◦
⇒ β = 71, 1◦
γ = 44, 2
66
b2 +c2 −a2
2bc
= 0, 4 ⇒ α =
(8) (LS 65/2) a = 24 m, b = 31 m, c = 50 m cos α =
cos β =
a2 +c2 −b2
2ac
◦
b2 +c2 −a2
2bc
⇒ α = 21, 46◦
⇒ β = 28, 21◦
γ = 130, 33
(9) (LS 65/2) a = 67, 4 m, b = 49, 8 m, c = 77, 6 m cos α =
cos β =
a2 +c2 −b2
2ac
◦
b2 +c2 −a2
2bc
⇒ α = 59, 2◦
⇒ β = 39, 4◦
γ = 81, 4
(10) (LS 65/2) c = 187 m, α = 63◦ , β = 41◦ γ = 180◦ − α − β = 76◦
a=c·
b=c·
sin α
sin γ
sin β
sin γ
= 171, 72 m
= 126, 44 m
(11) (LS 65/2) a = 18, 6 m, β = 34◦ , γ = 62, 5◦ α = 180◦ − γ − β = 83, 5◦
b=a·
c=a·
sin β
sin α
sin γ
sin α
= 10, 47 m
= 16, 61 m
f
(12) Parallelogramm mit Diagonalen
e = 8 cm, f = 14 cm und Winkel
a
](e, f ) = 48◦
ef
◦
2
2 2 2 cos 48 = 27, 53 cm
⇒ b = 5, 25 cm
e
b
b2 =
f 2
e 2
+
−
2
2
Analog a = 10, 12 cm
Weitere Aufgaben LS 65/1/2/3
67
4.2. Analytische Geometrie.
4.2.1. Grundelemente der Geometrie.
Grundelemente der Geometrie sind:
Punkte, Geraden, Ebenen
Was ist:
•
Punkt
Gerade
zu 2 Seiten unentlich ausgedehnt
Strecke
kürzeste Verbindung von 2 Punkten
Halbgerade
Dreieck
von
3
Punkten
aufgespanntes
Flächenstück.
hat 3 Ecken, 3 Seiten, 3 Winkel
Viereck
von
4
Punkten
Flächenstück
n-Eck
von n Punkten aufgesp. Fl. Stück
Trapez
Viereck mit 2 parallelen Seiten
Parallelogramm
Viereck mit parallelen Gegenseiten
Rhombus=Raute
Gegenseiten parallel und alle Seiten
gleich lang
Rechteck
Gegenseitenparallel und 4 rechte Winkel
a
Quadrat
a
Sehnenviereck
aufgespanntes
Gegenseiten parallel und gleich lang, 4
rechte Winkel
Viereck mit Ecken auf einem Kreis,
dem Umkreis
Disskussion der Dimension der obigen Figuren!
68
Aufgabenblatt 6
(1) Erklären Sie die Begriffe Strecke, Halbgerade und Gerade.
(2) Welche Sonderfälle des Parallelogramms gibt es?
(3) Was wissen Sie über die Diagonalen des Parallelogramms?
(4) Bei welchen Vierecken sind Gegenseiten parallel?
(5) Welche Sonderfälle des Dreiecks kennen Sie?
(6) Geben Sie eine Definition des Parallelogramms
(7) Wodurch unterscheidet sich eine Strecke von einer Geraden?
(8) Was ist die Definition eines Trapezes?
(9) Zeichnen Sie ein beliebiges Dreieck und benennen Sie Seiten, Ecken und Winkel
in der allgemein üblichen Weise.
(10) Was läßt sich über die Diagonalen eines Rechtecks und eines Quadrates sagen?
(11) Ein Dreieck hat keine Diagonalen sondern sogenannte Transversalen. Wie heißen
diese und wieviele gibt es jeweils?
(12) Was ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden?
(13) In welchen Verhältnis teilt der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden?
(14) Welche Transversalen schneiden sich im Inkreismittelpunkt?
(15) Welche Transversalen schneiden sich im Umkreismittelpunkt?
4.2.2. Kurse in der Seefahrt - Einführung Vektoren.
Kurse in der Seefahrt
Kurs = Richtungsangabe in der Seefahrt
✵
N
0
NNO
03
0
33
NO
Nord N ' 0◦
Ost O ' 90◦
Nordost NO ' 45◦
Nordnordost ' 22, 5◦
O
0
24
12
0
090
270
0
30
06
0
0
15
0
21
0
180
Seemeile: 1 sm = 10 (Bogenminute),
Erdradius: r ' 6400 km
Aufgabe 1:
Wieviel Kilometer entsprechen einer Seemeile?
Hinweis: der Umfang eines Kreises mit Radius r ist U = 2πr
Aufgabe 2:
Welcher Kurs wird mit
a) ostsüdöstlicher
b) südsüdöstlicher
c) nordnordwestlicher
d) westsüdwestlicher
Richtung bezeichnet?
Aufgabe 3:
Auf der folgenden Karte kreuzt ein Segelschiff mit folgenden Kursen:
a) 2, 5 sm mit Kurs südöstliche Richtung,
b) 1, 66 sm mit Kurs nordnordöstliche Richtung,
c) 3, 3 sm mit Kurs südsüdöstliche Richtung,
d) 1, 23 sm mit Kurs westliche Richtung,
e) 2, 7 sm mit Kurs nordostöstliche Richtung,
f) 3, 5 sm mit Kurs westliche Richtung,
g) 1 sm mit Kurs südsüdwestliche Richtung,
h) 1, 43 sm mit Kurs nordwestliche Richtung.
Bei welchem Hafen landet es?
70
71
14
12
13
1sm=4cm
7
8
3
270
9
0
15
0
03
11
10
0
6
1
0
30
24
06
2
5
0
4
0
21
33
180
0
0
✵
15
Start
16
090
12
0
4.2.3. Skalare und Vektoren.
Größen aus der Physik:
Zeit, Masse, Temperatur
Wert
Kraft, Weg, Geschwindigkeit
Wert und Richtung
Definition
Größen, die nur einen Wert haben, heißen skalare Größen.
Größen, die einen Wert und eine Richtung haben, heißen vektorielle Größen.
2 Punkte A und B
A•
Strecke
A
•B
B
Vektor
Ein Vektor ist eine orientierte Strecke, dabei ist der Ort, wo der Vektor liegt, beliebig.
Der Vektor darf also, ohne Längen- bwz. Richtungsänderung parallel verschoben werden.
4.2.4. Addition und Subtraktion von Vektoren.
v1 + v2
v2
Addition:
v1
Beispiele:
a)
v1 + v2
v1
v2
v1 + v2
v2
b) Rechteck:
v1
v1 + v2
b) Parallelogramm:
v1
72
v2
v1 + v2 + v 3
v1 + v2
v1
v3
b) Quader:
v2
v
−v:
Beispiel:
−v
−→ −→
−AB = BA
v2
Subtraktion:
v1 − v2 = v1 + (−v2 )
v1
−v2
v1 − v2
→
−
Nullvektor: 0 = v − v ist ein Punkt!
E
Aufgabe:
Regelmäßiges Sechseck:
F
Was sind das für Dreiecke?
Welche Winkel?
−−→
Drücke alle Seiten durch a und b aus z.B.: AM = b
M
C
b
A
73
D
a
B
4.2.5. Skalarmultiplikation.
Skalarmultiplikation: Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl
v
v
v+v=2v
1/2 v
(−1)v=−v
4.2.6. Längen, Winkel und Skalarprodukt.
Länge eines Vektors:
|v|
−−−→
Beispiel:
v = (3)(5) ⇒ |v| = 5 − 3 = 2
Winkel zwischen zwei Vektoren v und w:
w
](v, w) = α
α
v
Beachte: der Winkel hat auch eine Richtung, bzw ein Vorzeichen:
](w, v) = −α
v · w := |v| · |w| · cos α
Skalarprodukt:
(Vektor·Vektor = Skalar)
Vektoren v und w heißen orthogonal, wenn sie zueinander rechtwinklig sind.
In Zeichen:
v⊥w
v und w orthogonal
⇔
v⊥w
74
⇔
v·w =0
Aufgaben:
(1) Seien v und w Vektoren der Längen |v| = 2 cm und |w| = 5 cm und mit dem
Winkel ](v, w) = α. Berechnen Sie das Skalarprodukt v · w im Fall
(a) α = 0◦
v · w = 2 · 5 · cos 0◦ = 2 · 5 · 1 = 10
(b) α = 90◦
v · w = 2 · 5 · cos 90◦ = 2 · 5 · 0 = 0
(2) Seien v und w Vektoren der Längen |v| = 4 cm und |w| = 3 cm und mit dem
Winkel ](v, w) = 60◦ .
(a) Bestimmen Sie die Winkel:
](v, −w)= 60◦ + 180◦ = 240◦ ,
](w, v) = −60◦ ,
](v, 2w) = 60◦ ,
(b) Zeichnen Sie: v + w, v − w, w − v, 2v − w, 21 v + w, 23 v − w
(c) Berechnen Sie:
v · w = 6,
w · v = 6,
v · (−w) = −6
(3) Die nebenstehenden Vektoren
haben die Längen v1 = 3 cm,
v2 = 2 cm und v3 = 1 cm.
v3
v2
(a) Zeichnen Sie: v1 + v2 + v3 , v1 − 2v3 und 31 v2 + 2v3
(b) Bestimmen Sie die Winkel:
](v1 , v2 ) = 270◦
](v1 , v3 ) = 225◦
](v2 , v3 ) = 315◦
(c) v1 · v2 = 3 · 2 · cos 270◦ = 0
v1 · v3 = 3 · 1 · cos 224◦ = −2, 12
v2 · v3 = 2 · 1 · cos 315◦ = 1, 41
(4) Beweisen Sie geometrisch, daß
v1
2 · (v + w) = 2v + 2w
(5) Wie müssen Punkte A, B und C liegen, damit:
−→
−−→
−→
|AB| + |BC| = |AC|
75
4.3. Vektoren in Spaltendarstallung.
xy-Koordinatensystem ⇒ xy-Ebene
1te Zahlengerade:
x-Achse = R
1
1te Zahlengerade:
y-Achse = R
2 Zahlengeraden:
xy-Ebene = R2
2 e1
(1 )
e2 = 2
+
e2
e1
2
Punkte: (x, y) = (x|y)
−−−−→
Vektor: 0, (x, y) =
x
y
Spaltendarstellung
x
y
Jeder Vektor in der xy-Ebene bzw. in R2 kann als Spaltenvektor
Standardvektoren:
e1 =
1
0
dargestellt werden.
und
e2 =
0
1
Übung:
2
0
Zeichne:
Drücke
2
0
Zeichne:
Drücke
durch e1 aus:
0
2
0
= 2e1
0
3
= 3e2
3
0
3
Zeichne:
Drücke
durch e2 aus:
2
1
2
1
2
1
durch e1 und e2 aus:
Skalarmultiplikation von Spaltenvektoren:
x1
y1
x · e1 + y · e2 = x
76
= 2e1 + e2
x
y
a
Vektoraddition von Spaltenvektoren:
Linearkombination:
1
0
+y
0
1
+
=
x
0
x2
y2
+
=
0
y
ax
ay
x1 +x2
y1 +y2
=
=
x
y
Aufgaben:
(1) Zeichne
3
2
und stelle als Linearkombination von e1 und e2 dar.
(2) Schreibe 4e1 + 2e2 als Spaltenvektor.
(3) Schreibe 4e1 − 2e2 als Spaltenvektor.
(4) Zeichne v = 23 und w = −1
und v + w. Berechne die Spaltendarstellung von
2
v + w.
(5) Sei
v1 =
3
1
,
v2 =
−2
−1
,
v3 =
0
3
Berechne die Spaltendarstellung von
v1 + v2 = 10
v1 + 2v2 = −1
−1
v1 + v2 + v3 = 13
0
−3v3 = −9
1
v = 01
3 3
Wie lang ist der Spaltenvektor:
v1 =
v3 =
4
3
⇒ |v3 |
⇒ |v1 | = 4 LE
0
|v2 | = 3 LE
4
0
v2 = 3 ⇒
Pythagoras √ 2
4 + 32
=
|
Länge von Spaltenvektoren:
77
x
y
LE = 5 LE
|=
p
x2 + y 2
Skalarprodukt von Spaltenvektoren:
Berechne zuerst die Skalarprodukte der Standardvektoren: Da e1 ⊥e2 gilt:
e1 · e1 = 1 · 1 · 1 · cos 0◦ = 1
e1 · e2 = 1 · 1 · 1 · cos 90◦ = 0
e2 · e2 = 1 · 1 · 1 · cos 0◦ = 1
Aufgaben:Sei v1 = 23 und v2 = 12 . Dann v1 = 2 e1 + 3 e2 ,
und
v2 = e1 + 2 e2
v1 · v2 = (2 e1 + 3 e2 ) · (e1 + 2 e2 ) . . . = 2 e1 · e1 + 6 e2 · e2 = 2 + 6 = 8
x2 x1
Skalarprodukt von Spaltenvektoren:
y1 · y2 = x1 · x2 + y1 · y2
Aufgaben:Welche der folgenden Vektoren sind rechtwinklig zueinander?
1
v1 = 13 , v2 = 31 , v3 = −1
, v4 = −3
, v5 = −1
−3
3
v1 · v2 =
v1 · v3 =
v1 · v4 =
v1 · v5 =
v2 · v3 =
v2 · v4 =
v2 · v5 =
v3 · v4 =
v3 · v5 =
v4 · v5 =
1
3
·
3
1
6= 0
−1
=0 ⇒
3 ·
3
1
1
3 · −3 = 0 ⇒
−1 1
3 · −3 6= 0
−1 3
=0 ⇒
1 ·
3
1
3
1 · −3 = 0 ⇒
−1 3
1 · −3 6= 0
−1
1
· −3
6= 0
3
−1
· −1
−3 6= 0
3
−1 1
−3 · −3 6= 0
1
78
v1 ⊥v3
v1 ⊥v4
v2 ⊥v3
v2 ⊥v4
Winkel zwischen Spaltenvektoren:
w
](v, w) = α
α
v
Es gilt:
v · w := |v| · |w| · cos α
Daraus folgt:
v·w
|v| · |w|
Aufgaben:Berechnen Sie den Winkel zwischen den folgenden Vektoren und überprüfen
cos α =
Sie das Ergebnis mittels einer Zeichnung:
(1) v1 = 23 und v2 = 13
(2) v1 =
2
3
und v2 =
−1
3
(3) v1 =
2
3
und v2 =
−2
−2
(4) v1 =
1
3
und v2 =
3
1
(5) v1 =
1
3
und v2 =
−3
1
cosα = √
2+9
(4+9)·(1+9)
= 0, 96 ⇒ α = 15, 26◦
cosα = √
−2+9
(4+9)·(1+9)
= 0, 01 ⇒ α = 52, 13◦
cosα = √
−4−6
(4+9)·(4+4)
cosα = √
= −0, 98 ⇒ α = 168, 7◦
3+3
(1+9)·(9+1)
= 0, 6 ⇒ α = −53, 13◦
−3+3
(1+9)·(9+1)
cosα = √
79
= 0 ⇒ α = ±90◦
4.3.1. Vektoren in R3 .
xyz-Koordinatensystem
3-dimensionalen Raum
⇒
Modell vom
1te Zahlengerade:
x-Achse = R
1te Zahlengerade:
y-Achse = R
1te Zahlengerade:
z-Achse = R
3 Zahlengeraden:
R3
z
y
x
Punkte: (x, y, z) = (x|y|z)
x
−−−−−−→
Vektor: 0, (x, y, z) = yz Spaltendarstellung
x
Jeder Vektor in R3 kann als Spaltenvektor yz dargestellt werden.
Rechenregeln analog wie in R2 :
Skalarmultiplikation:
a
x1 Vektoraddition:
y1
z1
+
x
x2 y2
z2
y
z
=
=
ax ay
az
x1 +x2 y1 +y2
z1 +z2
x1 x2 y1
· yz22 = x1 · x2 + y1 · y2 + z1 · z2
z1
Skalarprodukt:
v1 ⊥v2 ⇔ v1 · v2 = 0
x
p
| yz | = x2 + y 2 + z 2
Orthogonalität:
Länge von Spaltenvektoren:
80
4.3.2. Lineare Abhängigkeit.
Zwei Vektoren v und w heißen kollinear oder linear abhängig, wenn sie parallel sind.
H
D
Aufgaben:Welche Vektoren/Seiten des Quaders sind kollinear?
G
C
E
A
F
B
Beispiele:
(1) v und 2v sind linear abhängig.
(2) v und −v sind linear abhängig.
→
−
(3) v und 0 sind linear abhängig.
Aufgaben:Gebe zwei linear abhängige Spaltenvektoren an.
Beobachtung: zwei linear abhängige Vektoren unterscheiden sich nur durch ihre Länge.
Zwei Vektoren v1 und v1 sind genau dann linear abhängig, wenn
v2 = k · v1
für ein k ∈ R
Sonst sind sie linear unabhängig.
Aufgaben:
Bestimme eine Zahl x, so daß v1 und v2 linear abhängig sind
(1) v1 = 13 , v2 = x2
(2) v1 = 13 , v2 = −2
x
x
1
(3) v1 = 3 , v2 = −9
(4) v1 = 13 , v2 = x0
x
(5) v1 = −1
,
v
=
2
0
0
x
1
(6) v1 = 3 , v2 = 2x
81
x=6
x = −6
x = −3
x=0
x ∈ R beliebig
x=0
Aufgaben:
(1) Finde x, y, so daß v1 und v2 linear abh. sind.
(a) v1 = 1,5
, v2 = x2
3
2
1
(b) v1 = 3 , v2 = xy
x=4
x = 6, y = 8
4
(2) Für v1 =
√ 3
1
−1
, und v2
√ 3 3
2
0
berechne
√ 4 3
=
3
√ −2−1
3
=
−1
−1√ 3
= 0
2
(a) v1 + v2
(b) v1 − v2
(c) v2 − 2v2
(3) Sind
2
7
−3
und
10
35
15
linear abhängig?
(4) Welche Vektoren sind orthogonal?
3 1
3
v1 =
, v2 = −1 ,
7
0
v3 =
−3 1
−1
v1 · v2 = 3 − 3 + 0 = 0 ⇒ v1 ⊥v2
v1 · v3 = −3 + 3 − 7 6= 0 ⇒ v1 6 ⊥v3
v2 · v3 = −9 − 1 6= 0 ⇒ v2 6 ⊥v3
(5) Finde einen Vektor v2 , der zu v1 orthogonal ist
(a) v1 = 21
2
(b) v1 = 2
z.B. v2 = −1
2
−1 z.B. v2 = 1
3
(6) Bestimme die Länge von v
7
1
−3
0
|v| =
82
√
49 + 1 + 9 =
√
59
5. Folgen
Beispiele
Sparkonto: Oma schenkt Otto eine Sparschwein mit 10 e, Jede Woche gibt Otto 2
eseines Taschengeldes hinzu:
Woche
0
1
2
3
···
n
Gespartes
10
12
14
16
·
10 + n · 2
Bakterienpopulation: Bakterien vermehren sich durch Zellteilung, starte mit einem
Bakterium
# Zellteilungen
0
1
2
3
···
n
# Bakterien
1
2
4
8
···
?
20
21
22
23
2n
Zinseszins: Sie eröffnen ein Sparkonto mit 100 eund Verzinsung 4% p.a..
Jahr
Gespartes
0
100
100
1
100 + 100 ·
2
···
4
100
100 · 1, 04
n
?
100 · 1, 042
83
···
100 · 1, 04n
6. Grenzwert und Stetigkeit
6.1. Epsilon Umgebungen.
Wdh.: Abstand zwischen zwei Zahlen
x1 = 3x2 = 9 Abstand:d(3, 9) = 9 − 3 = 6
x1 = 9x2 = 3 Abstand:d(9, 3) = 9 − 3 = 6
Allgemein
d(x1 , x2 ) = |x2 − x1 |
Aufgabe: Was ist die Menge der Zahlen x ∈ R, deren Abstand zu 3 kleiner als 6 ist?
Schritt I: auf dem Zahlenstrahl markieren.
Schritt II:
] − 3, 9[= {x ∈ R | | − 3 < x < 9}
Schritt III: Als Ungleichung beschreiben:
d(3, x) = |x − 3| < 6
Beschreibe den Bereich der Zahlen beliebig nahe bei 3:
d(3, x) = |x − 3| < mit
0 < << 1
-Umgebungen im xy-Koordinatensystem:
2
x ist hier beliebig aber y
genügt der Bedingung:
|y − 2| < Aufgaben:
Zeichne im xy-Koordinatensystem die -Umgebungen/Streifen:
a) |y − 10| < c) |x| < b) |y| < d) |x + 1| < 84
4
Gegeben: f (x) = x1
Definitionsbereich:
D = R\{0}
Graph taucht bei S in eine -Umgebung
y
2
–4
–2
2
4
x
|y − 0| = |f (x) − 0| < ein.
–2
–4
Es gilt:
Für alle 0 < << 1 gibt es ein S, so daß für alle x > S
|f (x)| < Äquivalent: Der Grenzwert von f für x 7→ ∞ ist 0, in Zeichen:
lim f (x) = 0
x7→∞
Standardgrenzwerte:
konstante Funktion f (x) = a, mit a ∈ R
Hyperbel f (x) =
1
x
lim a = a
x7→±∞
1
=0
x7→±∞ x
1
lim n = 0
x7→±∞ x
lim
Hyperbel n-ter Ordnung f (x) =
1
xn
Wie berechnet man Grenzwerte?
4
2x + 1
4 · x1
4 · x1
= 1
=
· (2x + 1)
2 + x1
x
f (x) =
4 · x1
4·0
=
=0
1
x7→∞ 2 +
2+0
x
lim f (x) = lim
x7→∞
85
(mit
1
x
erweitern)
Weitere Beispiele:
3x
a) f (x) =
1+x
3x2 + 1
b) f (x) =
5 − x2
4−x
c) f (x) =
3 + 2x
4−x
d) f (x) =
3 + 2x − x2
Aufgaben S13/1-3, S14/4
6.2. Grenzwerte für x 7→ x0 .
x2 − 1
Aufgabe: f (x) =
1−x
Definitionsbereich: D = R\{1}
Definitionslücke: x = 1
Vereinfachung von f :
(x + 1)(x − 1)
= −(x + 1)
1−x
Der Graph ist also eine Gerade mit einer Lücke bei x = 1
f (x) =
⇒ der Grenzwert x 7→ 1 existiert und es gilt:
x2 − 1
= lim (−x − 1) = −1 − 1 = −2
lim
x7→1
x7→1 1 − x
weitere Beispiele umseitig
86
Weitere Beispiele:
6 − 3x2 + 3x
= 3(x + 1) −→ 9
a) f (x) =
x7→2
2−x
b) f (x) =
4x2 − 1
= 2x − 1 −→1 −2
2x + 1
x7→− 2
c) f (x) =
x4 − 1
= (x − 1)(x2 + 1) −→ −4
x7→−1
1+x
d) f (x) =
x2 − 4x + 3
= 21 (x − 1) −→ 1
x7→3
2x − 6
e) f (x) =
27 − x3
= −(x2 + 3x + 9) −→ −27
x7→3
x−3
f) f (x) =
x2 − 4
=
x2 − 3x + 2
g) f (x) =
x2 − 4
= −(x + 2) −→ −4
x7→2
2−x
h) f (x) =
6x2 + 7x − 5
= 3x + 5 −→1
2x − 1
x7→ 2
x+2
−→
x−1 x7→2
4
13
2
3x2 + 5x − 2
i) f (x) =
= 3x − 1 −→ −7
x7→−2
2+x
j) f (x) =
15x2 − 7x − 2
= 5x + 1 −→2
3x − 2
x7→ 3
13
3
87
Aufgabenblatt 7
Bestimmen Sie die Grenzwerte an den Definitionslücken:
a) f (x) =
x4 − 25
x2 − 5
b) f (x) =
x2 − 1
1+x
c) f (x) =
6x2 − 16x − 6
2x − 6
d) f (x) =
16 − 8x − 3x2
3x − 4
e) f (x) =
x2 + x − 2
x−1
f) f (x) =
(x + 1)(x − 1)
x2 − 1
4x2 + 8x + 3
g) f (x) =
2x + 1
17x − 10 − 3x2
h) f (x) =
x−5
i) f (x) =
4x − 3x2 − 1
x−1
6.3. Halbseitige Grenzwerte.
Beispiel:
(
x+1 x>1
f (x) =
−x
x<1
Definitionsbereich:
D = ? = R − {1}
der Grenzwert x 7→ 1 ?
ABER:
Linksseitiger Grenzwert:
lim x7→1 f (x) = lim x7→1 (−x) = −1
x<1
Rechtsseitiger Grenzwert:
x<1
lim x7→1 f (x) = lim x7→1 (x + 1) = 2
x>1
x>1
Sind die halbseitigen Grenzwerte verschieden:
lim f (x) 6= lim f (x)
x7→x0
x<1
x7→x0
x>1
so existiert der Grenzwert x 7→ x0 nicht!
89
6.4. Uneigentliche Grenzwerte.
Beispiel 1:
f (x) =
Definitionsbereich:
1
x2
D = ? = R\{0}
der Grenzwert x 7→ 0 existiert nicht!
ABER: Es exisiert der uneigentliche Grenzwert:
limx7→0
1
x2
= +∞
Beispiel 2:
f (x) =
Definitionsbereich:
1
x2
D = ? = R\{0}
Grenzwert x 7→ 0 ?
1
= −∞
x<0 x
1
Rechtsseitiger uneigentlicher Grenzwert:
lim x7→0 = ∞
x>0 x
Die halbseitigen uneigentlichen Grenzwerte sind verschieden ⇒ es existiert kein GrenzLinksseitiger uneigentlicher Grenzwert:
lim x7→0
wert für x 7→ 0!
Andere Beispiele:
lim x = ∞
lim x = −∞
x7→∞
x7→−∞
lim x2 = ∞
lim x2 = ∞
x7→∞
x7→−∞
lim x3 = ∞
lim x3 = −∞
x7→∞
x7→−∞
90
Zusammenfassung: Für n ∈ N gilt:
lim xn = ∞
(
−∞ n ungerade
n
lim x =
x7→−∞
∞
n gerade
(
1
∞
n gerade
lim n =
x7→0 x
existiert nicht n ungerade
x7→∞
Für n, m ∈ N gilt überdies:
an xn + an−1 xn−1 + · · ·
an x n
an n−m
=
lim
x
== lim
m
m−1
m
x7→∞ bm x + bm−1 x
x7→∞ bm
+ · · · x7→∞ bm x
lim
Aufgaben:


+∞ n > m
= bamn
n=m

0
n<m
Übung Grenzwerte und Vorbereitung Stetigkeit
(1)
x−2
1
=
x ≥ 0 und x 6= 1
− 3x + 2 x − 1
f (x) = −x − 1
x ∈] − 1, 0[



−1
x < −1
Definitionsbereich: D = R − {−1, 1, 2}




x2
(2)

1



x
f (x) = x2


1
x < 0 und x 6= −2
x ∈ [0, 1]
x>1
x2
Definitionsbereich: D = R − {−2, 0}
(3)

2

x ∈] = ∞, 1[
x
f (x) = 0
x=1

2 − x x ∈]1, ∞[
Definitionsbereich: D = R
Bestimme die Grenzwerte an den Nahtstellen und Definitionslücken!
91
6.5. Stetigkeit.
Eine Funktion f : Df → R heißt stetig bei x0 ∈ Df , wenn der (beidseitige) Grenzwert
x 7→ x0 existiert und gleich dem Funktionswert bei x0 ist:
lim f (x) = f (x0 )
x7→x0
Kurz:
f stetig bei x0 ⇔ limx7→x0 f (x) = f (x0 )
M.a.W.: eine Funktion ist stetig, wenn der Graph keine Sprungstellen hat
Aufgaben: rotes Buch:S.166/1 bzw blaues Buch S. 32/1
92
7. Differentialrechnung
7.1. Differenzenquotient.
Wdh.: Steigung
Aufgabe
Seien
f1 (x) = 3x − 1,
f2 (x) = 4 −
und
x
2
Zeichnen Sie die Graphen.
Was ist die Steigung?
Steigungsdreieck einzeichnen!
Aufgabe Der Graph der Funktion f3 geht durch die Punkte P0 (1, 0) und P1 (3, 4). Ermitteln Sie die Steigung.
m=
4−0
y1 − y0
4
=
= =2
x1 − x0
3−1
2
93
Sei
y = f (x) = 3x − x2
Eigenschaften dieser Funktion sammeln:
Parabel, nach unten offen,
f (x) = x(3 − x)
⇒ Nullstellen {0, 3},
Scheitelpunktform: f (x) = − x2 − 2 23 x +
2
2
3
2
−
=
f (y)−2
x−1
!
3
2
= −(x − 23 )2 + 94 ,
Scheitelpunkt S(1, 5|2, 25)
Skizzieren Sie den Graphen
Sei x0 = 1, berechnen Sie y0 =
f (1) = 2
⇒ der Graph geht durch den
Punkt P0 (1, 2)
Sei x1 = 3, dazu gehört der Punkt
P1 (3, 0)
Die Gerade P0 P1 heißt Sekante.
Was ist die Steigung der Sekante
P0 P1 ?
0
mP0 P1 = xy11 −y
= 0−2
= −1
−x0
3−1
Weitere Sekanten P0 P mit P näher bei P0 :
x
y = f (x)
3
f (3) = 0
2
f (2) = 2
1,5
f (1, 5) = 2, 25
m=
1,25
f (1, 25) = 2, 19
m=
1,1
f (1, 1) = 2, 09
m=
1,01
f (1, 01) = 2, 01
m=
m=
y−y0
x−x0
m=
0−2
3−1
m=
= −1
2−2
2−1
2,25−2
1,5−1
2,19−2
1,25−1
2,09−2
1,1−1
2,01−2
1,01−1
=0
= 0, 5
= 0, 75
= 0, 9
= 0, 99
Die Steigung der Sekante P0 P ist:
mP0 P =
y − y0
f (x) − 2
=
x − x0
x−1
Der Grenzwert der Sekanten P0 P für P 7→ P0 heißt Tangente bei x0 bzw P0 .
Die Steigung der Tangente bei x0 ist:
f (x) − 2
3x − x2 − 2
−(x − 1)(x − 2)
lim
= lim
= lim
= lim (2 − x) = 1
x7→1 x − 1
x7→1
x7→1
x7→1
x−1
x−1
94
Sekantensteigung:
f (x) − f (x0 )
∆y
=
x − x0
∆x
wied auch Differenzenquotient genannt.
ms =
Der Grenzwert
f (x) − f (x0 )
=: f 0 (x0 )
x7→x0
x − x0
heißt Ableitung von f an der Stelle x0 .
lim
Die Ableitung f 0 (x0 ) ist die Steigung der Tangente an f im Punkt P (x0 |f (x0 )).
Berechne die Ableitungen von f (x) = 3x − x2 an den Stellen x0 = 0; 2; 3; 4!
f 0 (x) = 3 − 2x ⇒ f 0 (0) = 3,
f 0 (2) = −1,
f 0 (3) = −3,
f 0 (4) = −5
Die h-Methode
Abstandzwischen x0 und x sei h:
x − x0 = h
Äquivalent: x = x0 + h
Ersetze x durch x0 + h
f (x0 + h) − f (x0 )
h7→0
h
f 0 (x0 ) = lim
Berechne Ableitungen von f mit der h-Methode
Aufgaben S.54/3 und S.55/4
95
7.2. Differenzierbarkeit.
Eine Funktion y = f (x) ist an der Stelle x0 ∈ Df differenzierbar (kurz: diffbar), wenn die
Ableitung/Grenzwert:
f (x0 + h) − f (x0 )
h7→0
h
f 0 (x0 ) = lim
existiert.
Achtung: An Nahtstellen müssen halbseitige Grenzwerte berechnet werden.
Beispiele S. 56/57
Aufgaben S. 60/1-3
7.3. Ableitungsfunktionen.
Sei y = f (x) = x2
a) Berechne die Ableitung von f bei x0 = 0
b) Berechne die Ableitung von f bei x0 = 1
c) Berechne die Ableitung von f bei x0 = 2
d) Berechne die Ableitung von f bei x0 !
f (x0 + h) − f (x0 )
h7→0
h
2
(x0 + h) − x20
= lim
h7→0
h
x20 + 2hx0 + h2 − x20
= lim
h7→0
h
= lim (2x0 + h) = 2x0
f 0 (x0 ) = lim
h7→0
Ist f :]a, b[→ R an jeder Stelle x ∈]a, b[ differenziertbar, so bilden die Ableitungen f 0 (x)
für alle x ∈]a, b[ die Ableitungsfunktion
f 0 :]a, b[→ R, y = f 0 (x)
Berechne die Ableitungsfunktionen von:
a) f (x) = 2, konstante Funktion
b) f (x) = x
c) f (x) = x3
d) f (x) =
1
x
mit D = R − {0}
7.4. Ableitungsregeln.
Potenzregel:
f (x) = xn ⇒ f 0 (x) = nxn−1
96
Beispiele:
a) f (x) = x2
d) f (x) =
1
b) f (x) = = x−1
x
√
1
c) f (x) = x = x 2
√
3
1
x = x3
1
e) f (x) = √
x
Additionsregel:
f ±g
0
= f 0 ± g0
Beispiele:
a) f (x) = x2 + x3
1
1
+ 3
x x
√
c) f (x) = x − x
b) f (x) =
Faktorregel:
0
k · f (x) = k · f 0 (x)
für eine Konstante k ∈ R
Beispiele:
a) f (x) = 3x3 + 2x2 − 5x − 1
4
2
b) f (x) = − + 3
x x
√
c) f (x) = 3 x
Produktregel:
f ·g
0
= f 0 · g + f · g0
Beispiele:
√
a) f (x) = x x
b) f (x) = x(x2 − 3x + 1) = x3 − 3x2 + x
Auf zwei Weisen berechnen!
c) f (x) = (x2 − 1)2
97
Quotientenregel:
0
f 0 · g − f · g0
f
=
g
g2
Beispiele:
x2 − 3x − 1
x+5
2
d) f (x) = 2
(x − 1)2
1
a) f (x) =
x−3
x
b) f (x) =
x−3
c) f (x) =
Kettenregel:
0
g ◦ f (x) = g 0 f (x) · f 0 (x)
Zur Motivation der Kettenregel:
Berechne die Ableitung von (2x − 1)2 zuerst mit Produktregel:
0 0
2
(2x − 1)
= (2x − 1) · (2x − 1)
= (2x − 1)0 · (2x − 1) + (2x − 1) · (2x − 1)0
= 2(2x − 1) · (2x − 1)0
= 2(2x − 1) · 2 = 4(2x − 1)
Beispiele:
a) f (x) = (x − 3)2
√
b) f (x) = x − 3
√
c) f (x) = x2 + 1
c) f (x) =
1
x+5
mit g(x) =
und f (x) = x + 5
d) f (x) =
Ketten-Potenz-regel:
(x2
2
− 1)2
0
f α (x) = αf α−1 (x) · f 0 (x)
Beispiel:
1
x
2
(2x + 3)
10
0
= 10(2x2 + 3)9 · (4x) = 40x(2x2 + 3)9
98
7.5. Lokale Extrema.
Beispiel: f (x) = −(x − 2)2 + 1= −x2 + 4x − 3
Berechne die Steigung der Tangente bei x0 = 0, 1, 2, 3, 4
f 0 (x) = −2x + 4
Berechne den Scheitelpunkt (Quadratische Ergänzung)
P x0 |f (x0 )
f 0 (x0 )
P (0| − 3)
f 0 (0) = 4
P (1|0)
f 0 (1) = 2
P (2|1)
f 0 (2) = 0
P (3|0)
f 0 (3) = −2
P (4| − 3)
f 0 (4) = −4
⇒ Tangente am Scheitelpunkt ist horizontal! ⇔ Ableitung an dieser Stelle ist null
Notwendiges Kriterium: Hat eine Funktion y = f (x) bei x0 ein lokales Extremum, so
gilt:
f 0 (x0 ) = 0
Das gilt nicht immer umgekehrt: siehe f (x) = x3
Gutes Beispiel: f (x) =
x
x2 +1
Hinreichendes Kriterium: Gilt für eine zweimal differenzierbare Funktion y = f (x):
f 0 (x0 ) = 0
und f 00 (x) 6= 0
so hat f bei x0 ein lokales Extremum. Ferner gilt:
(
> 0 ⇒ lokales Minimum
00
f (x0 )
< 0 ⇒ lokales Maximum
99
7.6. Beispiel einer Kurvendiskussion.
1
f (x) = (x − 4)3 + 2
5
Nullstellen:
1
(x − 4)3 + 2 = 0
5
(x − 4)3 = −10
√
3
x − 4 = − 10
√
3
⇒ x0 = 4 − 10 ' 1, 85
erste Ableitung:
3
f 0 (x) = (x − 4)2
5
Nullstellen der ersten Ableitung:
3
(x − 4)2 = 0 ⇔ x1 = 4
5
zweite Ableitung:
6
f 00 (x) = (x − 4)
5
Nullstellen der zweiten Ableitung:
x2 = 4
Extrema? (Nullstellen von f 0 in f 00 )
f 00 (4) = 0 ⇒ kein Extremum
dritte Ableitung:
f 000 (x) =
6
5
Wendepunkt: (Nullstellen von f 00 in f 000 )
f 000 (4) 6= 0 → 4 ist WP
Skizze:
100
Probeklausur zur Kurvendiskussion
Aufgabe 1:
Berechnen Sie die 1-te Ableitung der folgenden Funktionen:
a) f (x) = 4x3 + 3x − 1
b) f (x) = x − 2x3 + x2
c) f (x) = 4 − 3x2
d) f (x) =
e) f (x) =
3
5
1
−1
5x2
√
x
15
Ergebnis durch Wurzel ausdrücken
Aufgabe 2:
Sei
f (x) =
x2 − 1
2x2 + 1
a) Ist f symmetrisch?
b) Was ist der Definitionsbereich von f ?
c) Bestimmen Sie die Nullstellen von f .
d) Bestimmen Sie die erste Ableitung von f
e) Bestimmen Sie die Nullstellen von f 0
f) Bestimmen Sie die zweite Ableitung von f
g) Bestimmen Sie die Extrema von f .
h) Bestimmen Sie das Verhalten von f im Unendlichen (limx→±∞ f (x)).
i) Skizzieren Sie den Graphen von f
7.7. Wendepunkte.
Wendepunkt Kriterium für zweimal diffbare Funktionen: Gilt für eine zweimal
differenzierbare Funktion y = f (x):
f 00 (xw ) = 0
und hat f 00 einen Vorzeichenwechsel bei xw
so hat f bei xw einen Wendepunkt.
Wendepunkt Kriterium für dreimal diffbare Funktionen: Gilt für eine dreimal
differenzierbare Funktion y = f (x):
f 00 (xw ) = 0
und hat f 000 (xw ) 6= 0
so hat f bei xw einen Wendepunkt.
7.8. Leitfaden Kurvendiskussion.
Man führe an der Funktion f :]a, b[→ R eine Kurvendisskussion durch:
Symmetrie: 

⇒ f gerade
f (x)
f (−x) = −f (x) ⇒ f ungerade

sonst f nicht symmetrisch
y-Achsenschnittpunkt: f (0) = y0
Nullstellen: Löse f (x) = 0
Ableitungen: Berechne f 0 (x), f 00 (x) und f 000 (x)
Extrema: Nullstellen von f 0 sind mögliche Extrema:
(
f 00 (x0 ) > 0 x0 lokales Minimum
f 0 (x0 ) = 0 und
f 00 (x0 ) < 0 x0 lokales Maximum
Wendepunkte: Nullstellen von f 00 sind mögliche Wendepunkte:
f 00 (xw ) = 0
und f 000 (xw ) 6= 0 ⇒ xw Wendestelle
Wertetabelle:
x
a
0
y
f (a)
f (0)
Extremstellen
Wendestelle
b
f (b)
Graph: Skizziere den Graphen
102
7.9. Extremwertaufgaben.
Extremwertaufgaben
Aufgabe
Welches Rechteck mit gegebenem Umfang U hat den größten Flächeninhalt?
Flächeninhalt: A = x · y
Nebenbedingung:
1) Umfang 2x + 2y = u
⇔ y = u2 − x
⇒ A = x · ( u2 − x)
y
x
2) Funktion A(x) = −x2 + u2 x
3) Definitionsbereich: x ∈ 0, u2
4) Notwendiges Kriterium für Extremwert:
A0 (x) = −2x + u2
A0 (x) = 0 ⇔ 2x = u2 ⇔ x = u4
5) Hinreichendes Kriterium:
A00 (x) = −2 ⇒ A00 ( u4 ) = −2 < 0
⇒ A hat bei x = u4 ein relatives Maximum
2
2
6) Maximaler Flächeninhalt: A( u4 ) = − u4 + u2 · u4 = − u16 +
7) Die Abmessungen des flächengrößten Rechtecks:
u
u u
u
x=
und y = − =
4
2 4
4
103
u2
8
=
u2
16
8. Integralrechnung
8.1. Stammfunktion.
Ableitung f 0
⇒
Funktion f
x2
2x
x2
2
x
2
a x2
ax
x
1
5x
5
ax
a
3
0
a
0
⇐
Stammfunktion F (x)
Funktion f (x)
Stammfunktion Eine Stammfunktion einer Funktion f : D → R ist eine Funktion
F : D → R mit
F 0 (x) = f (x)
für alle x ∈ D
Beispiel
x2
F (x) =
2
F (x) = x
f (x) = x
f (x) = 1
Ist F eine Stammfunktion von f , so auch F + c für alle c ∈ R. Die Menge aller Stammfunktionen von f heißt unbestimmtes Integral :
Z
f (x) dx = F (x) + c, c ∈ R
Integrationsregeln:
(1)
Z
Z
f (x) dxfür α ∈ R
αf (x) dx = α
(2)
Z
xn dx =
xn+1
+c
n+1
(3)
Z
Z
f (x) + g(x) dx =
Z
f (x) dx +
104
g(x) dx
8.2. Bestimmtes Integral.
Ziel: Berechne den Flächeninhalt A zwischen dem Graphen einer Funktion und der xAchse.
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000000000000000000
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A
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b
A ist die Fläche von 0 bis b
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A
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A(x)
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111111111111111111
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111111111111111111
x
b
Sei A(x) die Fläche von 0 bis x
⇒ A(0) = 0
⇒ A(b) = A
Behauptung: A0 (x) = f (x)
Proof.
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f(x) 111111111111111111
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000000000000000000
111111111111111111
A(x+h)−A(x)
000000000000000000
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000000000000000000
111111111111111111
x
b
x+h
f(x+h)
h · f (x) ≤
f (x) ≤
lim f (x) ≤
h→0
f (x) ≤
A(x + h) − A(x) ≤
A(x + h) − A(x)
≤
h
A(x + h) − A(x)
lim
≤
h→0
h
A0 (x) ≤
h · f (x + h)
f (x + h)
lim f (x + h)
h→0
f (x)
⇒ A0 (x) = f (x)
Die Flächenfunktion A(x) ist also eine Stammfunktion von f :
Z
f (x) dx = A(x) + c
Aber welche?
Sei F (x) eine andere Stammfunktion von f , also
A(x) = F (x) + c0
105
Problem:
Berechne die Fläche A über dem
Interval [a, b]:
Es gilt:
a
b
A = A(b) − A(a) = (F (b) + c0 ) − (F (a) + c) = F (b) − F (a)
Wir können A alos mit jeder Stammfunktion berechnen:
Das bestimmte Integral von f von a nach b ist:
Z b
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
Beispiel:
Fläche A zwischen dem Graphen von f (x) = x + 1 und der x-Achse über dem Intervall
[−1, 1]
f (x) = x + 1
⇒
1
2
1
F (1) =
2
Z
A=
F (−1) =
x2
+x
2
1
−1=−
2
3
+1=
2
F (x) =
1
f (x) dx = F (1) − F (−1) =
−1
3 1
+ =2
2 2
Das kann man auch mit Dreiecksgeometrie überprüfen!
Aufgaben
Berechne bestimmte Integrale
Beispiel
(1) Sei f (x) = 2x + 1.
(2) Zeichen den Graphen über dem Intervall
[−1, 1]
R1
(3) Berechne das bestimmte Integral −1 f (x) dx
(4) Berechne den Flächeninhalt mit Dreiecksgeometrie.
(5) Wie läßt sich das erklären?
Sind a < x1 , x2 , . . . , xn < b die Nullstellen von f im Intervall [a, b], so ist die vom Graphen
von f und der x-Achse eingeschlossene Fläche:
Z x1
Z x2
Z b
A = f (x) dx + f (x) dx + · · · + f (x) dx
a
x1
xn
106