Formelsammlung I

Formelsammlung I
Komplexe Zahlen:
1. Allgemeines
a) Imaginäre Zahl:
2
i =B1
Ba = i⋅ a
Potenzen :
Komplexe Zahl:
4n
i =1
a >0
i
4nA1
=i
i
4nA2
=B1
z= aA i⋅b wobei: a entspricht Re z
i
4nA3
Bn
=Bi
i = Bi
n
n=0,1,...
und b entspricht Im z
b)Kom plexe Zahlen in Gaußschen Zahlenebene:
c)Konjungiert komplexe Zahlen :
z= aA i⋅b
z= a B i⋅b
z 1± z 2 = z 1± z 2
z 1⋅z 2 = z 1⋅z 2
z1
z2
=
zB1 =
z1
z2
z
z2
d)Betrag einer komplexen Zahl:
2
z 1⋅z 2 = z 1 ⋅z 2
2
z = a Ab =r
z1
z2
=
z1
z2
z 1Az 2 T z 1 A z 2
2. Darstellungsformen komplexer Zahlen
Arithmetische (kartesische, allgemeine) Form:
Trigonometrische Form:
z= aA i⋅b
z= r⋅ cosîA i⋅sin î
Exponentialform: z= r⋅e i⋅î
cosî =
Rez
z
sin î =
Imz
z
tan î =
Imz
Rez
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3. Grundrechenarten
a) Addition/Subtraktion:
Arithmetische Form:
z 1± z 2 = a 1A a 2 ± i⋅ b 1A b 2
b) Multiplikation:
z 1⋅z 2 = a 1⋅a 2 B b 1⋅b 2 A i⋅ a 1⋅b 2A a 2⋅b 1
Arithmetische Form:
Trigonometrische Form:
z 1⋅z 2 =r 1⋅r 2⋅ cos î 1Aî 2 A i⋅sin î 1Aî 2
Exponentialform: z 1⋅z 2 =r 1⋅r 2⋅e
i⋅ î1 Aî 2
b) Division:
z1
Arithmetische Form:
z2
Trigonometrische Form:
=
a 1⋅a 2A b 1⋅b 2
2
2
a Ab
A
i⋅ Ba 1⋅b 2A a 2⋅b 1
a 22A b 22
z1
r
= 1⋅ cos î 1 Bî 2 Ai⋅sin î 1 Bî 2
z2 r2
z1
r i⋅ î Bî
= 1⋅e
z2 r2
Exponentialform:
2
2
1
2
4. Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen
a) Potenzen komplexer Zahlen mit ganzzahligen Exponenten:
2
2
2
aAi⋅b =a B b A i⋅2⋅a⋅b
aAi⋅b 3 =a 3 B 3⋅a⋅b 2A i⋅ 3⋅a 3⋅bB b 3
3
3
4
4
2 2
4
aAi⋅b = a B 6⋅a ⋅b Ab Ai⋅ 4⋅a ⋅bB 4⋅a⋅b
n
Exponentialform:
n
n
z = r ⋅ cos n îA i⋅sin n î
Trigonometrische Form:
n
z =r e
i⋅n⋅î
b) Komplexe n−te Wurzeln komplexer Zahlen:
i⋅î
geg.: z n = a
mit a = r⋅e
Trigonometrische Form:
n
z= r⋅ cos
îA k⋅2 π
n
Exponentialform:
n
z= r⋅e
i⋅
A i⋅sin
îA k⋅2 π
Bπ<î Tπ , k= 0,1,..., nB1 , n∈û
n
îA2⋅k π
n
Nichtrationale Funktionen:
1. Wurzelfunktionen
Wurzelfunktionen
Ma1 Seite 2
p
q
f: x→ a⋅x q :=a⋅ x
p
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Wurzelgesetze:
n
a =
n
n
m
n
m
a = a
1
m n
=a
m
n
k⋅n
n
a k⋅m = a m
1
1
n
1
n
1
n
a=
Rationalmachen des Nenners:
m n
m
aA b
m
n
a ⋅a = a
mAn
a= a
=
1
m
1
n
a
1 1
⋅
=a n m =
m⋅ a B b
aA b ⋅ a B b
n
an
a
= 1=
n
b
b
bn
a⋅ b= a ⋅b = a⋅b = a⋅b
n m
Potenzgesetze:
n
n
n
a ⋅b = a⋅b
n⋅m
=
1
n
=
n
a
b
a
m⋅ a B b
2
a Bb
n
n
am
mBn
=a
, a≠0
n
a
a
an
=
n
b
b
, b≠ 0
a m n = a n m = a m⋅n
2. Exponentialfunktionen
3. Logarithmische Funktionen
log a u⋅v = log a u A log a v
log a
n
log a
log a
u
v
=Blog a
v
u
u
= log a u B log a v
v
c
log a u = c⋅log a u
1
u = ⋅log a u
n
log e b = ln b
1
x
ln e = x
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x
ln b= x ←→e = b
e
ln b
=b
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4. Winkelfunktionen
a°
sin alpha
0°
0
1
0
0
180°
0
−1
0
30°
1
2
1
⋅ 3
2
1
⋅ 3
3
π
210°
B1
2
B1
⋅ 3
2
1
⋅ 3
3
7
π
6
1
⋅ 2
2
1
⋅ 2
2
225°
B1
⋅ 2
2
B1
⋅ 2
2
1
5
π
4
B1
⋅ 3
2
B1
2
45°
60°
cos alpha
1
⋅ 3
2
1
2
tan alphaBogen
maß
a°
6
π
1
4
3
π
240°
3
90°
1
0
120°
1
⋅ 3
2
B1
2
135°
1
⋅ 2
2
B1
⋅ 2
2
π
±∞
cos alpha
270°
2
B 3
sin alpha
−1
0
2
π
5
300°
B1
⋅ 3
2
1
2
3
π
4
315°
B1
⋅ 2
2
1
⋅ 2
2
−1
150°
B1
⋅ 3
2
1
2
tan alpha Bogenm
aß
3
±∞
B 3
π
4
π
3
3
π
2
5
π
3
7
π
4
−1
B1
⋅ 3
3
5
π
6
330°
B1
2
1
⋅ 3
2
B1
⋅ 3
3
360°
0
1
0
11
π
6
2π
Definition im rechtwinkligen Dreieck:
sin x=
Gegenkathete
Hypotenuse
cos x=
Ankathete
Hypotenuse
tan x=
Gegenkathete
Ankathete
Additionstheoreme:
2
2
cos xAsin x=1
sin x
tan x=
cos x
Ma1 Seite 4
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sin x± y =sin x⋅cos y±cos x⋅sin y
cos x± y =cos x⋅cos y∓sin x⋅sin y
tan x±tan y
tan x± y =
1∓ tan x⋅tan y
xA y
xB y
sin xAsin y= 2⋅sin
⋅cos
2
2
xA y
xB y
sin xBsin y= 2⋅cos
⋅sin
2
2
xA y
xB y
cos xAcos y= 2⋅cos
⋅cos
2
2
xA y
xB y
cos xBcos y= 2⋅sin
⋅sin
2
2
sin x± y
tan x± tan y=
cos x⋅cos y
x1± x2
x ∓x
⋅cos 1 2
2
2
x1 B x2
x 1A x2
cos x1Acos x2 = 2⋅cos
⋅cos
2
2
x 1A x2
x1 B x2
⋅sin
cos x 1 Bcos x2 =B2⋅sin
2
2
sin x1± x2
tan x1± tan x2 =
cos x1⋅cos x2
sin x1±sin x2 = 2⋅sin
1
sin x1⋅sin x2 = ⋅ cos x1 B x2 Bcos x 1A x2
2
1
cos x 1⋅cos x2 = ⋅ cos x1 B x2 Acos x1A x2
2
1
sin x1⋅cos x2 = ⋅ sin x1 B x2 Asin x1A x 2
2
tan x1⋅tan x 2 =
tan x1A tan x 2
cot x1Acot 2
sin 2x= 2⋅sin x⋅cos x=
2⋅tan x
2
1A tan x
2
2
2
2
2
cos 2x=cos xBsin x=1B2 sin x= 2 cos xB1=
tan 2x=
1B tan x
2
1A tan x
2
2⋅tan x
=
2
1B tan x cot xB tan x
x
1Bcos x
sin =±
2
2
x
1Acos x
cos =±
2
2
1Acos x 1Bcos x
sin x
x
=
=
tan =±
2
1Bcos x
sin x
1Acos x
sin
sin
sin
cos
cos
cos
3⋅x =3⋅sin xB 4 sin 3 x
3
4⋅x =8⋅sin x⋅cos xB 4 sin x⋅cos x
4
2
5⋅x =16⋅sin x⋅cos xB12 sin x⋅cos xAsin x
3
3⋅x = 4⋅cos xB3 cos x
4
2
4⋅x =8⋅cos xB8⋅cos xA1
5
3
5⋅x =16⋅cos xB 20 cos xA5⋅cos x
3
tan 3⋅x =
3⋅tan xB tan x
2
1B 3⋅tan x
3
tan 4⋅x =
4⋅tan xB tan x
2
4
1B6⋅tan xA tan x
1
1
2
2
sin x= ⋅ 1Bcos 2⋅x
cos x= ⋅ 1Acos 2⋅x
2
2
2
1Bcos 2⋅x
1Bcos 2⋅x
sin x
2
tan x=
=
=
2
1Acos 2⋅x 1Acos 2⋅x
cos x
1
1
3
3
sin x= ⋅ 3⋅sin xBsin 3⋅x
cos = ⋅ 3⋅cos xAcos 3⋅x
4
4
1
4
sin x= ⋅ cos 4⋅x B 4⋅cos 2⋅x A 3
8
1
cos 4 x= ⋅ cos 4⋅x A 4⋅cos 2⋅x A3
8
1
5
sin x= ⋅ 10⋅sin xB5⋅sin 3⋅x Asin 5⋅x
16
1
5
cos x= ⋅ 10⋅cos xB5⋅cos 3⋅x Acos 5⋅x
16
1
6
sin x= ⋅ 10B15⋅cos 2⋅x A 6⋅cos 4⋅x Bcos 6⋅x
32
1
6
cos x= ⋅ 10A15⋅cos 2⋅x A6⋅cos 4⋅x Acos 6⋅x
32
1
sin x1⋅sin x 2⋅sin x3 = ⋅ sin x1A x2 B x3 Asin B x1A x2A x 3 Asin x1 B x2A x3 Bsin x1A x2A x3
4
1
cos x1⋅cos x 2⋅cos x3 = ⋅ cos x 1A x2 B x3 Acos B x 1A x2A x3 Acos x 1 B x2A x3 Acos x1A x2A x3
4
1
sin x1⋅sin x2⋅cos x3 = ⋅ Bcos x1A x2 B x3 Acos B x1A x2A x3 Acos x1 B x2A x3 Bcos x1A x2A x3
4
1
sin x1⋅cos x 2⋅cos x3 = ⋅ sin x 1A x2 B x3 Bsin B x1A x2A x3 Asin x1 B x2A x3 Asin x1A x2A x3
4
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5. Hyperbelfunktion
∞
Bx
x
2⋅kA1
e Be
x
=
2
2⋅kA1 !
y=sinh x:= Σ
k=0
∞
x
2⋅k
Bx
x
e Ae
=
2
k=0 2⋅k !
x
Bx
2x
e Bx
e B1
2
x
x= x B x = 2x
=1B 2x
y= tanh x:=sinh
cosh
e Ae
e A1
e A1
x
e xA eB x e2xA1
2
y=coth x:=cosh
x= x B x = 2x
=1A 2x
sinh
e Bx
e B1
e B1
y=cosh x:= Σ
Matrizen:
A11
A12 ...
A= A21
A22 ...
x
x
Grundbeziehungen: sinh xAcosh x=e x
2
2
cosh xBsinh x=1
sinh x± y =sinh x⋅cosh y±cosh x⋅sinh y
cosh x± y =cosh x⋅cosh y∓sinh x⋅sinh y
tanh x± tanh y
tanh x± y =
1∓ tanh x⋅tanh y
xA y
xB y
⋅cosh
sinh xAsinh y= 2⋅sinh
2
2
xA y
xB y
sinh xBsinh y=2⋅cosh
⋅sinh
2
2
xA y
xB y
cosh xAcosh y= 2⋅cosh
⋅cosh
2
2
xA y
xB y
cosh xBcosh y= 2⋅sinh
⋅sinh
2
2
sinh x± y
tanh x± tanh y=
cosh x⋅cosh y
x
1. Transponierte Matrix
A 11
A21 ...
A = A 12
A22 ...
T
x
x
Vertauscht man in einer Matrix die Zeilen mit den gleichstelligen Spalten, so entsteht
die transponierte Matrix AT ;
x
2. Symmetrisch, Schiefsymmetrisch, orthogonal
Eine quadratische Matrix A mit reellen Elementen ist:
− symmetrisch, wenn: A= AT
− schiefsymmetrisch, wenn: A=B AT
− orthogonal, wenn: AT = AB1 bzw. AT⋅A= E
3. Adjunktierte Matrix
A* ist adjunktierte Matrix
A* = AT
4. hermitesch, schiefhermitesch, unitär
Eine quadratische Matrix A mit reellen Elementen ist:
*
−hermitesch, wenn: A= A
A=B A
−schiefhermitesch, wenn:
−unitär, wenn:
B1
A =B A
*
*
oder:
*
A⋅A = I
5. Inverse Matrix (Adjunktenformel)
B1
A⋅A = I = AB1⋅A
Adjunktenformel:
B1
A =
A11
A21 ...
An1
A
1
⋅ 12
detA x
A 1n
A22 ...
A n2
x
...
x
A nn
x
...
mit Aij ist gemeint: Streiche in Matrix A die i. Zeile und
die j. Spalte. Bilde aus den übrigen
Werten die Determinante. (Vorzeichen
beachten!)
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detA11
+
detA21
−
detA31
+
...
detA12
−
detA22
+
detA32
−
...
detA13
+
detA23
−
detA33
+
...
...
...
...
...
Gaußsches Verfahren:
A
...
I
Wandle Matrix A s olange um, bis Einheits matrix raus kommt.
Jeden Schritt, den man an A vornimmt mus s auch in der
zweiten Spalte vorgenommen werden..
Aus serdem solltet beachtet werden, das s man nicht Ze ile n−
UND Spalte nope ratione n verwendet. Nur eins von beiden!
(Welches is t egal.)
I
...
B1
A
6. Determinanten
a)Rechenregeln für Determinanten:
1.) Eine Determinante ist gleich Null, wenn:
– eine Zeile aus lauter Nullen besteht oder
– zwei Zeilen einander gleich sind oder
– eine Zeile eine Linearkombination anderer Zeilen ist
2.) Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn
– in ihr die Zeile mit den Spalten vertauscht werden (det A= det A^T),
– zu irgendeiner Zeile eine andere Zeile addiert bzw. subtrahiert wird oder
– zu irgendeiner Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile addiert bzw. subtrahiert wird,
– zu irgendeiner Zeile eine Linearkombination anderer Zeilen addiert bzw. subtrahiert
wird
3.) Bei Vertauschen zweier Zeilen ändert sich das Vorzeichen einer Determinante
4.) Die Multiplikation zweier Determinanten wird auf die Multiplikation ihrer Matrix zurückgeführt:
det(A) * det(B)=det(A*B)
Es gelten die genanneten Aussagen für die Zeilen in gleicher Weise auch für Spalten! Begründung: det A = det AT
b)Entwicklungssatz:
Determinanten von (n x n)−Matrizen lassen sich durch den Laplace’schen Entwicklungssatz rekursiv
berechnen.
Entwicklung nach der i−ten Zeile:
−Streiche i. Zeile:
a 11 a 12 a 13 a 14
a 21 a 22 a 23 a 24
i
a 31 a 32 a 33 a 34
a 41 a 42 a 43 a 44
=
a 12 a 13 a 14
a 11 a 13 a 14
a 11 a 12 a 14
a 11 a 12 a 13
a 31⋅ a 22 a 23 a 24 Ba 32⋅ a 21 a 23 a 24 A a 33⋅ a 21 a 22 a 24 B a 34⋅ a 21 a 22 a 23
a 42 a 43 a 44
Erste Spalt e gest richen
a 41 a 43 a 44
a 41 a 42 a 44
Zweite Spalt e gest richen Dritt e Spalt e gestrichen
a 41 a 42 a 43
Viert e Spal te gestrichen
(VORZEICHEN beachten)
Abbildungen:
1. surjektiv, injektiv, bijektiv
f: M −> N
(f ist die Abbildung von Menge M auf Menge N)
surjektiv: N nimmt M an (jedes Element aus N bekommt mindesten einen Pfeil von M):
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injektiv (Eineindeutigkeit): In allen
n∈N landet höchstens ein Pfeil;
M≥N
bijektiv: wenn injektiv und surjektiv zutrifft
Relationen:
1. Reflexivität, Symmetrie, Transitivität, Antisymmetrie
∀ x∈M Menge M
Reflexivität: x∼ x
Symmetrie:
x∼ y ←→ y∼ x
Transitivität: x∼ yœ y∼ z → x∼ z
Antisymmetrie: x∼ yœ y∼ x→ x= y
2. Äquivalenzrelation
−Äquivalenzrelation, wenn reflexiv, symmetrisch und transitiv
Äquivalenzklassen: Eine Äquivalenzrelation in einer Menge M bewirkt eine Aufteilung von M in nichtleere
paarweise disjunkte Teilmengen
3. Ordnungsrelation
− Ordnungsrelation, wenn transitiv, antisymmetrisch und reflexiv
Algebraische Strukturen:
Algebraische Struktur: M, Ω wobei M...Menge und Ω alg. Operator über M ist; M≠∅
Gruppoid: algebraische Struktur, M,⊗ a, b∈M: a ⊗ b= c∈M
Halbgruppe: Gruppoid bei dem das Assoziativgesetz gilt
Monoid: Halbgruppe mit neutralem Element e: ∀ a ∈M: a ⊗ e= e⊗ a = a
Gruppe: Monoid mit inversem Element aB1 : ∀ a∈M: a B1 ⊗ a = a ⊗ a B1 = e
Abelsche Gruppe: Gruppe, bei der das Kommutativgesetz gilt
Ring: M,⊕ ,⊗ mit:
M,⊕ ist Abelsche Gruppe
M,⊗ ist Halbgruppe
und ein Distributivgesetz gilt
Körper: M,⊕ ,⊗ mit:
M,⊕ ist Abelsche Gruppe
M ~ θ ,⊗ ist AbelscheGruppe, wobei θ das neutrale Element von⊕ ist Nullelement
und ein Distributivgesetz gilt
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Kommutativgesetz: aAb= bA a
∀ a,b∈M
Assoziativgesetz 1: aA b A c= aA bA c
∀ a, b, c∈M
Assoziativgesetz 2: a⋅b ⋅c= a⋅ b⋅c
∀ a, b, c∈M
Einselement: ∃ B a ∈M: aA Ba = Ba Aa ∀ a ∈M
Distributivgesetz 1:
aA b ⋅c=a⋅cA b⋅c ∀ a, b, c∈M
Distributivgesetz 2: a⋅ cAb =a⋅cA b⋅c ∀ a, b, c∈M
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Lineare Räume:
1. linear unabhängig und linear abhängig
x1
x2
—
—
a
=
a
=
y
y
geg.:
,
, .... ,
1
2
1
2
xn
a—n = y
n
z1
z2
zn
λ 1⋅a—1Aλ 2⋅a—2A...Aλ n⋅a—n = —0
−> bilde:
– wenn gilt: Für alle λ nur die triviale Lösungsmenge
dann sind die Vektoren linear unabhängig
λ 1 =λ 2 =...=λ n = 0 für die Gleichung,
nicht alle a—i = 0
−> Überprüfung kann über Determinantenbildung geschehen:
x1
x2
x3
y1
y2
y3 ≠0
z1
z2
z3
→ linaer unabhängig
2. Dimension(Rang) von Vektoren / Matrizen
geg.:
x1
a—1 = y
1
,
x2
a—2 = y
2
z1
−> Bilde Matrix:
x1
x2
y1
y2
z1
z2
, .... ,
xn
a—n = y
n
z2
zn
L= span a—1, a—2, ... , a—n
– versuche durch geschicktes Umrechnen, Zeilen mit Nullen entstehen zu
… xn
lassen
… yn
– Anzahl Zeilen, die noch Zahlen ≠0 enthalten entsprechen der Dimension,
die die Vektoren aufspannen
… zn
3. Basisbildung
Vektoren bilden eine Basis des Raumes L, wenn sie linear unabhängig sind und den ganzen Raum L aufspannen!
geg.: a—1, a—2, ..., a—n gesucht L= span a—i , a—i ,..., a—i
−Rang der gegebenen Vektoren bilden (m=Rang)
−m Vektoren wählen, die linear unabhängig sind [bilden die Basis und spannen den Raum L auf]
4. Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren
geg.: a—1, a—2, ..., a—n
ges.: y—1, y—2, .... , y—m als Orthonormalbasis
m≤ n
1
2
m
– m=Rang der Vektoren
– m Vektoren wählen,die linear unabhängig sind [bilden die Basis]
– mit diesen gewählten Vektoren:
a—1
1.)
y—1 =
2.)
ỹ2 = a—2 B a—2, y—1 ⋅y—1
a—1
−>
y—2 =
ỹ2
ỹ2
3.) ....
4.)
— B a—m, ymB2
— ⋅y mB2 B…B a—m, y—1 ⋅y—1
y˜m = a—m B a—m, ymB1 ⋅ymB1
Ma1 Seite 9
−> y—m =
y˜m
y˜m
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