2. ¨Ubung zur Mathematik II für Biologen
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Dr. S. Wiesendorf Sommersemester 2016 2. Übung zur Mathematik II für Biologen (Abgabe der schriftlichen Aufgaben in der zweiten Übungsstunde) Gruppe H findet ab nächster Woche im Cohn-Vossen Raum (Raum 313) im Mathematischen Institut statt. Aufgabe 1. (10 Punkte, schriftlich) Zwei faire Würfel werden geworfen. Geben Sie zur Beantwortung der folgenden Fragen jeweils auch den Ereignisraum und die Ereignisse in Mengenschreibweise an. (a) Wie wahrscheinlich ist es, dass die Augensumme mindestens 5 ist? (b) Wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens einer der Würfel eine Eins zeigt? (c) Wie oft muss man mit einem (fairen) Würfel würfeln, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% eine Eins würfelt. (d) Man hat Ihnen nun bereits verraten, dass mindestens einer der beiden Würfel eine 1 zeigt. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme der beiden Würfel mindestens 5 beträgt? Aufgabe 2. (10 Punkte, schriftlich) In einer Familie mit drei Kindern sei das Auftreten der acht Fälle (J,J,J), (J,J,M), (J,M,J),. . . ,(M,M,M), wobei J für Junge und M für Mädchen steht, gleichwahrscheinlich. Die Reihenfolge der Einträge beschreibe die Altersreihenfolge der Kinder. Mit E1 , bzw. E2 , bezeichnen wir das Ereignis, dass das erstegeborene, bzw. zweitgeborene, Kind ein Junge ist und E3 bezeichne das Ereignis, dass genau zwei Jungen aufeinander folgen. Geben Sie die Ereignisse in Mengenschreibweise an und überprüfen Sie die Ereignisse E1 , E2 und E3 (paarweise) auf Unabhängigkeit. Aufgabe 3. (10 Punkte, schriftlich) Bei einer Befragung in einer Klasse findet der Lehrer heraus, dass 25% der Schüler Musik hören während sie ihre MathematikHausaufgaben machen. In der Klasse haben 40% der Schüler mindestens eine Zwei in Mathematik und von diesen hören nur 12, 5% Musik während sie ihre Hausaufgaben erledigen. (a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler Musik hört während er seine Hausaufgaben macht und (trotzdem) mindestens eine Zwei hat? (b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler, der Musik hört während er seine Hausaufgaben macht, mindestens eine Zwei auf dem Zeugnis hat? Aufgabe 4. (mündlich) Im Internet findet man die folgende Information über die relativen Häufigkeiten, mit denen die einzelnen Blutgruppen in Deutschland auftreten. • 41% der Bevölkerung haben die Blutgruppe 0, • 43% die Blutgruppe A, • 11% die Blutgruppe B, • 5% die Blutgruppe AB. (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person Blutgruppe A oder B? (b) Blutgruppen werden unterschieden anhand der Antigentypen (A und B) auf den roten Blutkörperchen. Gegen die fehlenden Antigene werden dann jeweils Antikörper gebildet, d.h. Menschen mit Blutgruppe 0 besitzen Antikörper gegen die Blutgruppen A und B, bei Menschen mit Blutgruppe A entwickeln sich ebenfalls kurz nach der Geburt Antikörper gegen die Blutgruppe B und umgekehrt. Menschen mit Blutgruppe AB besitzen keine Antikörper, haben aber beide Arten von Antigenen (A und B). Menschen mit Blutgruppe 0 sind daher ideale Spender und Menschen mit Blutgruppe AB sind ideale Empfänger. Nun wird für eine Person mit Blutgruppe A (Blutgruppe AB) dringend eine Blutspende benötigt und eine zufällig ausgewählte Person erklärt sich bereit zu spenden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann sie helfen? Aufgabe 5. (mündlich) (Eigenschaften der Laplace-Wahrscheinlicheit) In der Vorlesung wurde die Definition der Laplace-Wahrscheinlichkeit für einen endlichen Ereignisraum Ω gegeben. Als direkte Folgerungen erhält man in diesem Fall die folgenden Eigenschaften. • Nichtnegativität: P (E) ≥ 0 für jedes Ereignis E ⊂ Ω. • Normiertheit: P (Ω) = 1. • Sind E und F disjunkte Ereignisse, d.h. E ∩ F = ∅, so ist P (E ∪ F ) = P (E) + P (F ). Insbesondere ist P (E ∪ F ) ≥ P (E) und P (E ∪ F ) ≥ P (F ). Beweisen Sie mithilfe dieser Eigenschaften die folgenden Behauptungen. Sn (a) Sind E1 ,P . . . , En paarweise disjunkte Ereignisse und E = i=1 Ei , so ist n P (E) = i=1 P (Ei ). (b) Es gilt P (E) = 1 − P (E) für jedes Ereignis E ⊂ Ω und E = Ω \ E. Insbesondere ist P (∅) = 0. (c) Für beliebige Ereignisse E und F gilt P (E ∪F ) = P (E)+P (F )−P (E ∩F ).
