2.Übung

Dr. S. Wiesendorf
Sommersemester 2017
2. Übung zur Mathematik II für
Studierende der Biologie
(Abgabe der schriftlichen Aufgaben in der zweiten Übungsstunde am 8./9. Mai)
Am 01.05. und 02.05. finden KEINE Übungen statt
Aufgabe 1. (15 Punkte, schriftlich) Zwei faire und unterscheidbare Würfel
werden geworfen. Geben Sie zur Beantwortung der folgenden Fragen jeweils auch
den Ereignisraum und die Ereignisse in Mengenschreibweise an.
(a) Wie wahrscheinlich ist es, dass die Augensumme mindestens 5 ergibt?
(b) Wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens einer der Würfel eine Eins zeigt?
(c) Wie oft muss man mit einem (fairen) Würfel würfeln, damit man mit einer
Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% eine Eins würfelt.
(d) Man hat Ihnen nun bereits verraten, dass mindestens einer der beiden
Würfel eine 1 zeigt. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme der beiden Würfel mindestens 5 beträgt?
Aufgabe 2. (15 Punkte, schriftlich) Es werden vier faire und unterscheidbare
Münzen geworfen.
(a) Bestimmen Sie den Ereignisraum Ω und die Anzahl der Elemente von Ω.
(b) Drücken Sie die folgenden
Ereignisse in Mengenschreibweise aus, d.h. in der
Form A = {ω ∈ Ω . . .}.
(i) A = Alle Münzen zeigen das Gleiche“.
”
(ii) B = Die erste Münze zeigt Kopf“.
”
(iii) C = Mindestens eine Münze zeigt Kopf“.
”
(iv) D = Die vierte Münze zeigt Zahl“.
”
(c) Drücken Sie die folgenden Ereignisse in Mengenschreibweise und in Worten
aus.
(i) A ∩ C.
(ii) Ω \ C.
(iii) A ∩ C ∩ D.
(iv) B ∪ D.
(v) A \ D.
(d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Mengen in (c).
Aufgabe 3. (10 Punkte, schriftlich) Im Internet findet man die folgende Information über die relativen Häufigkeiten, mit denen die einzelnen Blutgruppen in
Deutschland auftreten.
• 41% der Bevölkerung haben die Blutgruppe 0,
• 43% die Blutgruppe A,
• 11% die Blutgruppe B,
• 5% die Blutgruppe AB.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person Blutgruppe A oder B?
(b) Blutgruppen werden unterschieden anhand der Antigentypen (A und B)
auf den roten Blutkörperchen. Gegen die fehlenden Antigene werden dann
jeweils Antikörper gebildet, d.h. Menschen mit Blutgruppe 0 besitzen Antikörper gegen die Blutgruppen A und B, bei Menschen mit Blutgruppe A
entwickeln sich kurz nach der Geburt Antikörper gegen die Blutgruppe B
und umgekehrt. Menschen mit Blutgruppe AB besitzen keine Antikörper,
haben aber beide Arten von Antigenen (A und B). Menschen mit Blutgruppe 0 sind daher ideale Spender und Menschen mit Blutgruppe AB
sind ideale Empfänger.
Nun wird für eine Person mit Blutgruppe A (Blutgruppe AB) dringend
eine Blutspende benötigt und eine zufällig ausgewählte Person erklärt sich
bereit zu spenden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann sie helfen?
Aufgabe 4. (mündlich) (Eigenschaften der Laplace-Wahrscheinlicheit)
In der Vorlesung wurde die Definition der Laplace-Wahrscheinlichkeit für einen
endlichen Ereignisraum Ω gegeben. Als direkte Folgerungen erhält man in diesem
Fall die folgenden Eigenschaften.
• Nichtnegativität: P (E) ≥ 0 für jedes Ereignis E ⊂ Ω.
• Normiertheit: P (Ω) = 1.
• Sind E und F disjunkte Ereignisse, d.h. E ∩ F = ∅, so ist P (E ∪ F ) =
P (E) + P (F ). Insbesondere ist P (E ∪ F ) ≥ P (E) und P (E ∪ F ) ≥ P (F ).
Beweisen Sie mithilfe dieser Eigenschaften die folgenden Behauptungen.
Sn
(a) Sind E1 ,P
. . . , En paarweise disjunkte Ereignisse und E = i=1 Ei , so ist
n
P (E) = i=1 P (Ei ).
(b) Es gilt P (E c ) = 1 − P (E) für jedes Ereignis E ⊂ Ω und E c = Ω \ E.
Insbesondere ist P (∅) = 0.
(c) Für beliebige Ereignisse E und F gilt P (E ∪F ) = P (E)+P (F )−P (E ∩F ).
Aufgabe 5. (mündlich) (Ziehen ohne Zurücklegen)
In einer Urne seien 10 durchnummerierte Kugeln.
(a) Es werden nacheinander zwei Kugeln gezogen ohne sie jeweils wieder zurückzulegen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dabei die Kugeln mit den
Nummern 1 und 2 zu erhalten?
(b) Wir ziehen nun insgesamt dreimal statt zweimal. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dabei die Kugeln mit den Nummern 1, 2 und 3 zu ziehen?
(c) Verallgemeinern Sie dieses Vorgehen und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit bei einer Anzahl von N (nummerierten) Kugeln in der Urne auf
diese Weise n vorgegebene Nummern zu ziehen.
(d) Statt die Kugeln nacheinander zu ziehen, könnten wir Sie ebenso nach gutem Schütteln mit einem Griff aus der Urne entnehmen. Eine zufällig aus
einer größeren Gesamtheit ausgewählte Teilmenge bezeichnet man gewöhnlich auch als Stichprobe. Entnehmen wir also wie in (c) eine Stichprobe von
n Kugeln, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich darunter die Kugel
mit der Nummer 1 befindet?
Aufgabe 6. (mündlich) (Grundlagen und Wiederholungen)
Die folgenden Aufgaben dienen der Festigung der Grundlagen und der Wiederholung des Stoffes aus dem letzten Semester, der für das lückenlose Verständnis dieser
Vorlesung nötig ist (klausurrelevant ist der gesamte Stoff des ersten Semesters!).
Falls Sie beim Bearbeiten der Aufgaben merken, dass Sie hierbei größere Schwierigkeiten haben, sprechen Sie dies bitte in Ihren Tutorien an.
(a) Eine Abbildung f : A → B zwischen zwei Mengen A und B ist eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Element a ∈ A ein eindeutiges Element b ∈ B
zuordnet, welches man dann mit f (a) bezeichnet. Die Menge A nennt man
den Definitionsbereich und B nennt man den Zielbereich von f . Die Teilmenge aller Bildwerte f (A) ⊂ B wird als Wertebereich bezeichnet. Dieser
Wertebereich besteht per Definition aus allen Elementen b ∈ B, für die
es ein a ∈ A mit f (a) = b gibt. Die Abbildung f heißt surjektiv, falls
f (A) = B ist. Ist C ⊂ B eine Teilmenge von B, so nennt man die Teilmenge f −1 (C) = {a ∈ A : f (a) ∈ C} aller Elemente von A, die unter f
nach C abgebildet werden, das Urbild von C unter f . Die Abbildung f wird
injektiv gennant, falls die Urbilder f −1 ({b}) (bzw. kurz f −1 (b)) aller Elemente b ∈ B aus höchstens einem Element bestehen, d.h. zwei verschiedene
Elemente aus A werden unter f nie auf dasselbe Element in B abgebildet.
Ist f : A → B injektiv und surjektiv, so nennt man f bijektiv. In diesem
Fall gibt es dann also zu jedem b ∈ B genau ein a ∈ A mit f (a) = b und die
Abbildung f −1 : B → A, die jedem Element aus B sein eindeutiges Urbild
in A zuordnet, heißt Umkehrabbildung von f .
Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität
und Bijektivität und bestimmen Sie gegebenenfalls die Umkehrabbildung.
(i) f1 : R → R, f1 (x) = x2 .
(ii) f2 : R≥0 → R, f2 (x) = x2 .
(iii) f3 : R≥0 → R≥0 , f3 (x) = x2 .
(iv) f4 : R → R>0 , f4 (x) = ex .
(v) f5 : N → N, f5 (n) = n+1. Was ändert sich, wenn Sie f5 als Abbildung
der ganzen Zahlen, also von Z nach Z auffassen?
(b) Berechnen Sie die folgenden Summen:
P5
(i)
i=2 2,
P10
(ii)
i=3 i,
P5
i
(iii)
i=1 (−1) · i,
P4
−i
(iv)
i=0 2 .
(c) Schreiben Sie die folgenden Summen mithilfe des Summenzeichens:
1
,
(i) 1 + 21 + 14 + 18 + . . . + 1024
(ii) 1 + x + x2 + x3 + . . . + xn ,
(iii) π −
π3
3!
+
π5
5!
−
π7
7!
± . . ..
(d) Berechnen Sie die folgenden (uneigentlichen) Integrale:
R∞
(i) 0 x e−x dx,
R1
(ii) 0 x2 e−x dx,
R1
(iii) 0 2x24x+3
+3x+1 dx,
Rπ
(iv) 0 cos(x) ex dx.