2 − 3x − 2 - Fakultät für Mathematik, TU Dortmund

Klausurtraining HöMa 1
Blatt 5
Themen: Vektoralgebra, Geraden, Ebenen
Wiederholungsaufgabe 1l
(i) Für welche reellen Zahlen x gilt x2 − 3x − 2 < 10 − 2x?
(ii) Bestimmen Sie für a ∈ {6, 9}
{ x ∈ R| x + 3| + 2| x − 3| < a}.
Wiederholungsaufgabe 2l
Für welche x ∈ R ist x | x | ≤ 3x − 2?
Aufgaben:
Aufgabe 1l
(i) Weisen Sie nach, daß g = {u ∈ R3 | u × (1, 2, 1) = (2, 1, 0)} eine Gerade ist, und geben Sie eine
Parameterdarstellung von g an.
(ii) Sei a ∈ R2 . Welches geometrische Objekt wird durch k = {u ∈ R2 | hu, ui = h a, ui} beschrieben?
Aufgabe 2l
Gegeben sind die folgenden Punkte des R3 :
 
 
 
 
 
−1
1
0
2
1
P =  0  Q =  −1  R =  1  S =  1  T =  0  .
−2
3
1
0
1
Geben Sie
(i) eine Parameterdarstellung der Verbindungsgeraden g von P, Q
(ii) eine Parameterdarstellung und die Hessesche Normalform der Verbindungsebene
E von R, S, T
(iii) den Schnittpunkt von g und E
an.
Aufgabe 3l
Bestimmen Sie die Hessesche Normalform der Ebene
 
 
 
0
1
3
E : ~x =  0  + α  3  + β  3  , α, β ∈ R und den Schnittpunkt mit der Geraden
1
1
0
 
 
1
3
G : ~x =  0  + γ  0  , γ ∈ R.
1
1
Aufgabe 4l
Gegeben sind die Ebene E1 durch


 
 
2
1
1
~x =  −1  + α  2  + β  −2 
1
3
0
und die Ebene E2 durch die drei Punkte
 
 
 
2
2
0
P1 =  3  , P2 =  1  und P3 =  1  .
4
2
0
Bestimmen Sie die Hesseform von E2 und die Schnittmenge von E1 und E2 .
Aufgabe 5l
Sei α ∈ R.
Es sei E die Ebene durch P1 = (1, 0, 0), P2 = (−4, 2, 3), P3 = (−4, 4, 1) und g die Gerade durch P4 = (α, 5, 1)
und (4, 9, 2).
Bestimmen Sie die Hessesche Normalform von E, den Abstand von P4 zu E und den Schnittpunkt von E
und g.
Aufgabe 6l


 
1
2



1 , t ∈ R und die Ebene E sei definiert durch ~x · 1  = 0.
Die Gerade g sei ~x = t
−1
1
Finden Sie alle Punkte der Ebene E, die auf allen Punkten von g senkrecht stehen.
Aufgabe 7l

1
Gegeben ist die Ebene {~x ∈ R3 |~x  2  = 14}.
3
Stellen Sie die Ebene so in Parameterform ~x = ~a + λ~b + µ~c dar, daß ~a, ~b und ~c jeweils senkrecht aufeinander
stehen.

Aufgabe 8l
(i) Sei ~a = (2, 5) und ~b = (1, 3). Geben Sie alle x ∈ R2 an mit ~x ·~a = 3 und ~x · ~b = −2.
(ii) Welche Ebene geht durch (1, 1, 1) und hat Richtungsvektoren, die auf (2, −2, 0) senkrecht stehen?
Berechnen Sie die Schnittgerade mit der durch x = z beschriebenen Ebene.
Aufgabe 9l
Das einschalige Hyperboloid in der Skizze hat
die Gleichung x2 + y2 − z2 = 1. Berechnen Sie
die Gleichungen aller Geraden, die ganz in der
Fläche verlaufen. Tip: Jede dieser Geraden
schneidet die x-y-Ebene.
Aufgabe 10l
~ = (1, 2, 0).
Es seien ~u = (1, −1, 1) und w
Bestimmen Sie alle ~v ∈ R3 , so daß cos <
)(~u, ~v) =
1
3
~ = (−2, 1, 1) ist.
und ~v × w
Zeigen Sie, daß es genau zwei Vektoren mit dieser Eigenschaft gibt, und geben Sie den Winkel zwischen
diesen Vektoren an.
Aufgabe 11l
Seien ~u = (1, 0, 2)> und ~v = (2, −1, 2)>.
Bestimmen Sie alle ~x ∈ R3 mit
(i) ~x · ~u = 7 und ~x · ~v = 6
(ii) ~x × ~u = ~x × ~v.