Vektoren und analytische Geometrie des Raumes

Höhere Mathematik für technische Studiengänge
Vorbereitungsaufgaben für die Übungen
Vektoren und Analytische Geometrie des Raumes






2
−2
−1
1. Berechnen Sie für die Vektoren ~a =  −1  , ~b =  2  , ~c =  −1  .
1
0
1
a) ~a + ~b , ~a − ~b , 3~a − 5~b , |~a| , |~b| , |~b − 2~a| , ~a0 (Einheitsvektor in Richtung ~a) ;
b) alle Winkel zwischen je zwei der Vektoren ~a , ~b , ~c ;
c) die (orthogonale) Projektion von ~a auf (die Richtung von) ~b ;
d) die Winkel zwischen ~b und den Koordinatenachsen;
2. Ermitteln Sie Einheitsvektoren, die senkrecht auf
~b = e~1 + e~2 − e~3 einen Winkel von 300 einschließen.
~a = 3e~1 − e~2 + e~3
stehen und mit
3. Gesucht ist eine Parameterdarstellung der Geraden durch den Punkt P0 (3; 5; 2) und
a) den Punkt P1 (−1; 3; 0),
d) senkrecht zur y, z-Ebene,
b) parallel zur z-Achse,
e) parallel zur x, y-Ebene.
c) durch den Ursprung,
4. Für welche reellen λ, µ liegen die Punkte P0 (2; 3; 0), P1 (4; 1; 3) und P2 (0; λ; µ) auf einer Geraden?
5. Geben Sie eine Parameterdarstellung und eine parameterfreie Darstellung der Ebene E an.




a) E enthält die Punkte P0 (1; 0; 1), P1 (1; 4; 0), P2 (−2; 1; −1),
3
−1
b) E enthält P0 (2; −2; 1) und ist senkrecht zu der Geraden g : ~x =  4  + t  −5 ,
4
1
c) E enthält A(1; 2; 3), B(2; 3; 1) und ist senkrecht zu der Ebene
E : z = 1 + x − 4y,
d) E enthält P0 (4; −6; −2) und ist parallel zu der Ebene E : 3x − y + 2z = 1 .
 
 


0
1
1
6. Für die Ebene E : ~x =  1  + s  4  + t  −2  berechne man den Normaleneinheitsvektor,
4
2
−2
gebe die Hessesche Normalform an und berechne den Abstand des Punktes Q(−2; −2; 3) .
Wie lautet die Achsenabschnittsform der Ebene E ?
7. Es seien die Punkte A(−1, 1, −2) , B(1, 0, −1) und C(2, 1, −2) gegeben.
a) Untersuchen Sie, ob das Dreieck 4ABC einen rechten Innenwinkel besitzt und berechnen
Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.
b) Welchen Abstand d besitzt C von der Geraden g durch die Punkte A und B ?
c) Bestimmen Sie eine parameterfreie Gleichung der Ebene E durch die Punkte A , B und C
und berechnen Sie den Abstand des Koordinatenursprungs von dieser Ebene.
8. Bestimmen Sie die reellen Zahlen a, b so, daß sich die drei Ebenen E1 : x − y − z + 2 = 0 ,
E2 : 3x + y − z − b = 0 , E3 : ax + 8y + 2z − 7 = 0 in einer Geraden schneiden und geben
Sie dafür eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden an.