3. ¨Ubung Lineare Algebra II - Lehrstuhl II für Mathematik

Lehrstuhl II für Mathematik
Prof. Dr. G. Jank
http://www.math2.rwth-aachen.de
SS 2006
3. Übung Lineare Algebra II
Themen: Ebenen, Geraden, Parameterdarstellung, Hesse-Normalform.
Aufgabe 1.* Gegeben sei in der Ebene die Gerade x2 = 2x1 + 5. Geben Sie eine Parameterdarstellung und die Hesse-Normalform der Geraden an.
Aufgabe 2.
i) Gegeben sind die Punkte P1 = (1, −2) und P2 = (4, 2) in R2 .
a) Geben Sie die Gerade g ⊂ R2 in Parameterdarstellung an, die P1 und P2 enthält.
b) Geben Sie die Hesse-Normalform von g an.
ii)* Bearbeiten Sie a) und b) für die Punkte P1 = (1, 1) und P2 = (3, 4).
1
1
Lösung: ii) g = {x ∈ R2 | x = (1 + 2λ, 1 + 3λ)T für λ ∈ R}; n = √ (3, −2)T , d = √ .
13
13
Aufgabe 3.*
a) Zeigen Sie, daß die Geraden g1 = {x ∈ R3 | x = (1 + λ, 2 − 2λ, 1 + λ)T für λ ∈ R} und
g2 = {x ∈ R3 | x = (1 + λ, 1 − 2λ, 1 + λ)T für λ ∈ R} parallel sind.
b) Zeigen Sie, daß die Geraden g1 und g3 = {x ∈ R3 | x = (1 + λ, 2 − λ, λ)T für λ ∈ R}
windschief sind.
Aufgabe √
4.* Geben Sie eine Gerade g ⊂ R2 an, die die Gerade
√
3
−1
g1 : x =
+λ
im Punkt P1 = ( 3, 1) unter dem Winkel π4 schneidet.
1
2 √ √ 1
−3
3
3
oder g : x =
.
+λ
+λ
Lösung: g : x =
3
1
1
1
Aufgabe 5.* Es sei g1 ⊂ R3 die durch die Punkte P1 = (−2, −1, 6) und P2 = (4, −4, 12)
gehende Gerade.
a) Gesucht ist eine Parameterdarstellung von g1 .
b) g2 sei eine weitere Gerade durch (0, 0, α) in Richtung von (1, 0, 1)T .
Wie muß α gewählt werden, damit sich g1 und g2 schneiden?
Berechnen Sie den Schnittpunkt S.




2
−2




Lösung: a) g : x =  −1  + λ  −1 , b) α = 8, S = (−4, 0, 4)T .
2
6
Aufgabe 6. Gegeben ist die Ebene E1 : 2x1 − x2 + 3x3 = −4 und die Ebene E2 , die die Punkte
P1 = (1, 0, 5), P2 = (2, 2, 4) und P3 = (1, −1, 6) enthält.
a) Geben Sie die Hesse-Normalform für E1 und E2 an.
b) Bestimmen Sie die Schnittgerade g1 von E1 und E2 .
c) Geben Sie die zu g1 senkrechte Ebene E3 , die den Punkt P0 = (1, 1, 5) enthält, an.
d) Bestimmen Sie den gemeinsamen Schnittpunkt S ∈ R3 der drei Ebenen E1 , E2 und E3 .
Aufgabe 7.* Es sei E1 die Ebene, die die Punkte P1 = (1, 0, 1), P2 = (1, 1, 0) und P3 = (2, 2, 1)
enthält. Geben Sie die Ebene E, die zu E1 parallel ist und den Punkt P0 = (1, 0, 2) enthält, in
Parameterdarstellung undHesse-Normalform


 an.
 Liegt 0 = (0, 0, 0) zwischen E und E 1 ?
1
0
1



 
2
1
1
Lösung: PD: E : x = 
 0  + λ  1  + µ  2  , HNF: E : √6 x1 − √6 x2 − √6 x3 = 0.
2
−1
0
Der Punkt 0 liegt in E.