Eingangstest GK S3

Kompetenztest Mathematik GK S3
Name: _____________________________________
Datum: _____________________
Wir wünschen Ihnen viel Erfolg und gute Nerven!
Frau Barthel, Frau Stingl und Herr Heinrich
Themenbereich Analysis
Aufgabe 1
Zu bestimmen ist eine ganzrationale Funktion f 3. Grades, für die gilt:
Der Hochpunkt des Graphen ist der Punkt (-1/10), der Tiefpunkt ist (2/3).
(Erinnerung: f(x) = ax³ + bx² + cx + d )
a) Skizzieren Sie den möglichen Verlauf des Graphen von f.
b) Geben Sie begründet Eigenschaften der Koeffizienten a und d von f(x) an, die sich
aus den Vorgaben und dem Verlauf des Graphen ergeben.
c) Erstellen Sie ein Gleichungssystem, mit dem Sie f(x) bestimmen könnten.
4P
6P
6P
Aufgabe 2
Bestimmen Sie zu f den Funktionsterm der Ableitungsfunktion und einer Stammfunktion.
1
f ( x)  x 4  5 x 3  14
4P
3
Aufgabe 3
Entscheiden Sie, ob stets gilt:
b
Wenn ò f ( x ) dx < 0 , dann verläuft der Graph von f im Intervall [a; b ] vollständig unterhalb
a
der x-Achse.
(Erinnerung: Beim Operator „Entscheiden“ ist auch eine Begründung gefordert.)
4P
Aufgabe 4
2
Berechnen Sie das Integral
ò (4 x
- 1
3
+ x - 5) dx .
5P
Themenbereich Matrizen
Aufgabe 1
Berechnen Sie
a)
1

0
2

 3
2 1 0  2 
  
4 5 1  0 

1 1 0  3 
  
0 0 1   5 
1 2 0


b)  2 0 3 
 1 1 0 


2
8P
Aufgabe 2
Beschreiben Sie in Worten, was die Elemente der Matrix P für die Entwicklung einer
Population mit den Entwicklungsstadien E (Eier), L (Larven) und K (Käfer) bedeuten.
æ0
ö
0 12 ÷
çç
÷
÷
P = çç0,5 0
0 ÷
÷
çç
÷
÷
çè 0 0,7 0,2÷
ø
a) Gehen Sie zunächst auf die Bedeutung der von null verschiedenen Elemente ein.
b) Die Zahlen in der Matrix basieren nicht auf biologischen Recherchen.
Beurteilen Sie, ob die Nullen sinnvoll angeordnet sind.
4P
5P
Aufgabe 3
Die Matrix P beschreibt die Entwicklung einer Population.
Geben Sie – mit Begründung - einen Ansatz für die Berechnung
r
a) eines Fixvektors v
uur
b) eines Vorjahresbestandes v- 1 an.
8P
Themenbereich Geraden und Ebenen
Aufgabe 1
Eine Gerade g verläuft durch die Punkte A (1/0/2) und B (2/-1/4).
Geben Sie eine Parameterdarstellung von g an.
(Hinweis: Dazu gehört auch ein allgemeiner Ansatz!)
4P
Aufgabe 2
Erläutern Sie den Begriff „windschiefe Geraden“.
2P
Aufgabe 3
Untersuchen Sie, wie die Geraden g und h zueinander liegen, und bestimmen Sie
gegebenenfalls die Schnittpunkte.
1
 2


a) g : x   0     4  ,  
 2
 6 
 
 
1
1


b) g : x   0     2  ,  
 2
 1
 
 
und
und
1
 1 
 
 
h : x   1    2  ,  
0
 3
 
 
 3
1
 
 
h : x  2    4  , 
1
 2 
 
 
10 P
Aufgabe 4
Die Punkte A 1/ 2 / 1 , B(3 / 4 / 1) , C(2 / 3 / 2) liegen in der Ebene E.
a) Geben Sie eine Parameterdarstellung von E an.
(Hinweis: Dazu gehört auch ein allgemeiner Ansatz!)
4P
b) Prüfen Sie, ob der Koordinatenursprung in E liegt.
6P
____
80 P
Bewertung:
15
 78
14
 75
13
 72
12
 69
11
 66
10
 63
9
 60
8
 56
7
 52
6
 48
5
 44
4
 40
3
 31
2
 22
1
 13
0
 12