8. Klasse

Grundwissen Mathematik 8.Jahrgangsstufe
G8
Funktionale Zusammenhänge
•
Direkte Proportionalität
Entspricht bei zwei einander zugeordneten Größen x und y dem 2-, 3-, 4-, … k-fachen der
einen Größe das 2-, 3-, 4-, … k-fache der anderen Größe, so nennt man die Größen direkt
proportional.
Beispiel: Masse und Preis von Äpfeln.
x Masse in kg
2
3
5
8
y Preis in €
3,60
5,40
9,00
14,40
Die Quotienten
(Quotientengleichheit).
Dieser konstante Wert q heißt Proportionalitätsfaktor
€
(im Beispiel q = 1,80 ).
kg
Die Zuordnungsvorschrift lautet: x a y = q ⋅ x
Preis in €
12
8
4
0
2
4
6 Masse in kg
Die Punkte des Graphen der Zuordnung liegen auf einer
Geraden durch den Ursprung des Koordinatensystems
(Ursprungsgerade).
Schlussrechnung:
•
y
sind für alle Paare gleich
x
2 kg ≙ 3,60 €
1 kg ≙ 3,60 € : 2 = 1,80 €
7 kg ≙ 7⋅1,80 € = 12,60€
Indirekte Proportionalität
Entspricht bei zwei einander zugeordneten Größen x und y dem 2-, 3-, …k-fachen der einen
Größe der 2-, 3-, …k-te Teil der anderen Größe, so nennt man die Größen indirekt
(umgekehrt) proportional. Das Produkt p = x⋅y ist für alle Paare gleich (Produktgleichheit).
p
x
Der Graph einer indirekten Proportionalität heißt
Hyperbel.
Die Zuordnungsvorschrift lautet: x a y =
Zeit in h
60
40
20
10
20
30
40
Arbeiter
Umgekehrte Schlussrechnung:
Beispiel: 9 Arbeiter brauchen für die Ernte auf
dem Spargelfeld 8 Stunden.
9 Arbeiter ≙ 8 h
1 Arbeiter ≙ 9 ⋅8 h = 72 h
12 Arbeiter ≙ 72 h: 12 = 6h
1
•
Funktion und Term
Eine Zuordnung f: x a y heißt Funktion f, wenn sie jedem x aus der Definitionsmenge D
genau ein y aus der Wertemenge W zuordnet.
Beschreibung von Funktionen:
Funktion f:
Funktion g:
2
x−4
Funktionsvorschrift:
x a 0,5x 2 − 2
Funktionsterm:
0,5x 2 − 2
2
x−4
Funktionsgleichung:
y = f ( x ) = 0,5x 2 − 2
y = g( x ) =
xa
2
x−4
Die maximale Definitionsmenge Dmax einer Funktion enthält alle rationalen Zahlen, für die
der Funktionswert berechnet werden kann. In den Beispielen gilt:
f kann für alle rat. Zahlen berechnet werden: D max f = ℚ
g kann für x = 4 nicht berechnet werden: D max g = ℚ\ {4}
Zeichnet man die Wertepaare (x / y = f(x)) als Punkte in ein Koordinatensystem, so erhält
man den Graphen Gf.
Beispiel: Liegen die Punkte P(-4 / 6), bzw. R(3 / 2) auf Gf?
Setze die x-Werte in die Gleichung ein:
0,5 ⋅ (− 4 )2 − 2 = 8 − 2 = 6 = yp ⇒ P ∈ Gf 0,5 ⋅ 32 − 2 = 4,5 − 2 = 2,5 ≠ 2 = yR ⇒ R ∉ Gf
Die x-Koordinate eines Schnittpunktes des Funktionsgraphen Gf mit der x-Achse heißt
Nullstelle der Funktion f.
Jede Nullstelle der Funktion f ist Lösung der Gleichung f(x) = 0.
0,5x 2 − 2 = 0 : x1 = -2; x2 = 2
•
Lineare Funktionen
Eine Funktion f : x a y = mx + t mit m, t ∈ ℚ , D = ℚ heißt lineare Funktion.
Der Graph Gf ist eine Gerade. Die Zahl m gibt die Steigung, die Zahl t die Schnittstelle mit
der y-Achse (y-Abschnitt) des Graphen an.
m>0 ⇒ Die Gerade steigt.
m<0 ⇒ Die Gerade fällt.
m=0 ⇒ Die Gerade ist
parallel zur x-Achse.
Beispiel: y = 0,5x-1
m = 0,5; t = -1
Nullstelle: 0,5x – 1 = 0 ⇒ x = 2
Besondere Geraden:
Ursprungsgerade: t = 0 ⇒ y = mx
x und y sind dann zueinander proportional.
2
Aufstellen der Gleichung einer Geraden g durch zwei Punkte, z.B. A(-2 /1) und B(2 /-5):
y = mx + t
y= −
3
x+t
2
m=
yB − yA
3
− 5 −1
=
=−
xB − xA 2 − (−2)
2
Koordinaten von B einsetzen:
3
− 5= − ⋅2 + t
2
t = -5 + 3 = -2
3
2
⇒ y = − x−2
•
Lineare Ungleichungen
Beispiele: x ≤ 7 ; 2 y > 13 ; 4 x − 3 ≥ 29
Lineare Ungleichungen kann man durch Äquivalenzumformungen lösen. Dazu gehören:
− beidseitige Addition oder Subtraktion einer Zahl oder eines Terms
− beidseitige Multiplikation mit einer positiven Zahl, bzw. Division durch eine positive Zahl
− beidseitige Multiplikation mit einer negativen Zahl, bzw. Division durch eine negative Zahl und
gleichzeitige Umkehr des Ungleichheitszeichens.
Beispiele: 4x − 3 ≥ 29 ⏐+3
4x ≥ 32 ⏐:4
35 − 9x >17 ⏐-35
− 9x > − 18 ⏐:(-9)
x< 2
x ≥8
Die Lösungsmenge wird entweder in der Mengen- oder Intervallschreibweise angegeben.
L = {x x ≥ 8}= [8; ∞ [
Intervallarten:
•
[ 4; 9 ]
]− 7 ; 3 [
[3 ; 5 [
L = {x x < 2}= ]− ∞; 2[
geschlossenes Intervall von 4 bis 9
offenes Intervall von -7 bis 3
halboffenes Intervall von 3 bis 5
Lineare Gleichungssysteme
Lösen mit dem Einsetzungsverfahren:
Beispiel: I. 4y - 2x = 4
I. nach y aufgelöst: y = 0,5x + 1 in II. eingesetzt:
II. 3y = -6x + 18
3 ⋅ (0,5x + 1) = − 6 x + 18
1,5x + 3 = − 6x + 18
7,5x = 15
x=2
in I. eingesetzt: y = 0,5⋅2 + 1 = 2
L = {( 2; 2)}
Lösen durch das Additionsverfahren:
Beispiel: I. 24 – 3x – 2y = 0 |⋅ 2
I. 48 – 6x – 4y = 0
II. 2x + 3y = 6
|⋅ 3
II. 6x + 9y = 18
I. + II.
48 + 5y = 18
5y = -30
y = -6 in II. 2x + (-18) =6 x = 12
L = {(12; -6)}
Graphische Lösung: Die den Gleichungen I. und II. entsprechenden Geraden werden
gezeichnet. Das Koordinatenpaar des Schnittpunktes bildet die Lösungsmenge.
Sonderfälle: Parallele Geraden ⇒ L = { }
Identische Geraden ⇒ L = { alle Punkte der Geraden }
3
•
Gebrochen rationale Funktionen
Bruchterme:
Terme, bei denen eine Variable im Nenner auftritt, heißen Bruchterme.
Beispiele:
z
4
Definitionsmenge D = ℚ\{-2};
x+2
z2 −9
D = ℚ\{-3; 3}
Funktionen, deren Term ein Bruchterm ist, nennt man gebrochen rationale Funktionen.
x +1
Beispiel: f : x a
x
D = ℚ\{0}
0 nennt man Definitionslücke von f.
y
4
Eine Gerade, der sich der Graph einer
Funktion beliebig genau annähert, nennt
man Asymptote des Graphen.
Die y-Achse (Gleichung x = 0) ist
senkrechte Asymptote von Gf an der
Definitionslücke. Die Gerade y = 1 ist
waagrechte Asymptote des Graphen.
2
-6
-4
-2
O
2
4
x
-2
-4
-6
Kürzen von Bruchtermen:
Beispiel:
14a 3 − 7a 2
7a 2 (2a −1) 7
=
= a
5a (2a − 1) ) 5
10a 2 − 5a
Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Bruchtermen:
Beispiele:
7 5 − x 2 7 x 2 + 5 − x 2 6x 2 + 5
+
=
=
x
x3
x3
x3
y +1
y + 2,5
3(y + 1) − 2(y + 2,5) 3y + 3 − 2 y − 5
y−2
1
=
−
=
=
=
2 y − 4 3y − 6
2 ⋅ 3 ⋅ (y − 2 )
6(y − 2)
6(y − 2) 6
27
9
27 ⋅ 4a 2 (a + 3) 3(a + 3)
=
=
:
2
8a 2 4a 3 + 12a 2
8a 2 ⋅ 9
Bruchgleichungen:
Beispiele:
2x − 1 5 − x
6−x
+
=
3x
x−2
3(x − 2)
(2x −1)(x − 2) + (5 − x )3x = (6 − x )x
⏐⋅3x(x-2)
D = ℚ\ {0; 2}
2 x 2 − 5x + 2 + 15x − 3x 2 = 6 x − x 2
4x = -2
x = -0,5
xD
4
⇒ L = {-0,5}
Potenzen mit negativen Exponenten:
1
a −n = n
für jede rationale Zahl a mit a ≠ 0 und jede natürliche Zahl n ≥ 1 .
a
a 0 = 1 für a ≠ 0 .
Für Potenzen mit gleicher Basis a (a  0) und ganzzahlige Exponenten k,m gilt:
a k ⋅ a m = a k+m
und a k : a m = a k −m
Stochastik
•
Ergebnismenge und Ereignisse:
Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments heißt Ergebnismenge Ω,
auch Ergebnisraum. Ω bezeichnet die Anzahl der Elemente von Ω.
Jede Teilmenge der Ergebnismenge Ω nennt man Ereignis E. Auch die leere Menge {} und
Ω sind Ereignisse. Ω heißt das sichere Ereignis, {} das unmögliche Ereignis. Mit
E bezeichnet man das Gegenereignis zu E. Es enthält alle Ergebnisse aus Ω, die nicht in E
enthalten sind.
Jedem Ereignis E wird eine Wahrscheinlichkeit P(E), ein Wert zwischen 0 und 1 zugeordnet.
Beispiel: Einmaliges Werfen eines Würfels: Ω = {1;2;3;4;5;6}, Ω = 6
•
E =3
E: „gerade Zahl“:
E = {2;4;6}
P(E) = 0,5
Speziell: P( Ω) = 1
P( E ) = 1- P( E ) = 0,5
P({}) = 0
E = {1;3;5}
Laplace-Experimente:
Ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, nennt man
Laplace-Experiment. Hat es n Ergebnisse, so beträgt die Wahrscheinlichkeit für jedes
1
Ergebnis .
n
Bei einem Laplace-Experiment gilt für jedes Ereignis E:
E
Anzahl der für günstigen Ergebnisse
P(E) =
=
Anzahl der möglichen Ergebnisse
Ω
Zählprinzip: Zieht man aus k verschiedenen Mengen mit m1, m2, … mk Elementen jeweils
ein Element, so gibt es insgesamt m1⋅ m2⋅ … ⋅mk Möglichkeiten.
Beispiel: Wie viele dreistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 1, 2, …9 bilden, wenn
jede Ziffer nur einmal vorkommen darf?
Lösung: 9⋅8⋅7 = 504 Möglichkeiten
5
Geometrie
•
Kreismessung:
Der Umfang U eines Kreises ist proportional zu seinem Durchmesser d (d = 2r, r Radius):
Kreiszahl π = 3,141592654…≈3,14
U = d⋅π = 2r⋅π,
Für den Flächeninhalt A eines Kreises mit dem Radius r gilt: A = r²⋅π
•
Strahlensatz und Ähnlichkeit
Der Strahlensatz:
Wird eine Geradenkreuzung von einem Parallelenpaar geschnitten, das den Kreuzungspunkt
nicht enthält, dann gilt:
♦ Je zwei Abschnitte auf der einen Kreuzungsgeraden verhalten sich wie die entsprechenden
Abschnitte auf der anderen Kreuzungsgeraden.
♦ Die ausgeschnittenen Parallelstrecken verhalten sich wie die Entfernungen entsprechender
Endpunkte vom Kreuzungspunkt.
Beispiele:
ZA' ZB' A' B'
ZA
ZB
=
=
;
=
ZA
ZB
AB
AA' BB'
Ähnlichkeit:
Zwei Figuren F1 und F2, bei denen alle Verhältnisse entsprechender Streckenlängen gleich
und bei denen alle entsprechenden Winkel gleich groß sind, heißen ähnlich zueinander, kurz
F1 ~ F2.
Das Verhältnis entsprechender Streckenlängen heißt Ähnlichkeitsfaktor oder Streckfaktor k.
Ist k>1, so wird vergrößert, für 0<k<1 wird verkleinert.
Ähnlichkeitssätze:
Dreiecke sind bereits dann ähnlich, wenn gilt:
♦ Sie stimmen in zwei (und damit in allen drei) Winkeln überein (WW-Satz). oder
♦ Sie stimmen im Verhältnis ihrer Seiten überein (S:S:S-Satz).
Beispiel: Prüfe, ob die Dreiecke
Δ ABC mit a=9cm, b=7,5cm, c=5cm und
Δ A’B’C’ mit a’=12,6cm, b’=10,5cm und c’=7cm ähnlich sind!
a’:a = b’:b = c’:c = 1,4 = k
⇒ Die Dreiecke sind ähnlich.
6