Funktionen - Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik

Wanka Adrian
02.06.2005
Didaktik Seminar SS-05
Funktionen
Gliederung
1. Historisches
2. Einführung in Funktionen
3. Lineare Funktionen
4. Quadratische Funktionen
1. Historisches
A) Koordinatensystem
Bereits 150 v. Chr. führte Hipparch eine Art
Koordinatensystem ein zur Mittel der Ortsfestlegung.
Eigentliche Begründer einer Mathematik mit Koordinaten sind
Pierre de Fermat (1601 – 1665) sowie Rene Descartes (Cartesius, 1596 – 1650).
Vollständiges Achsenkreuz findet sich erst bei Isaac Newton (1642 – 1727)
wieder, die von Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) verfeinert wurden
und bis heute Gültigkeit besitzen.
B) Funktion
Der Begriff der Funktion ist ein relativ junger, der erst mit der
Einführung des Kartesischen Koordinatensystems aufkam. Die
Notwendigkeit lag im wachsenden Interesse (verändernde Größen,
gegenseitige Abhängigkeiten, etc.) an den Naturwissenschaften des
17. Jh.
Leibniz gebrauchte den Begriff wohl zum ersten male 1673 in einer
Handschrift, während dieser 1706 von Johann I Bernoulli (1667 –
1748) gedruckt wurde. Letzterer verstand unter einer Funktion
bereits einen Term. Sein Schüler Leonhard
Euler (1707 – 1783) führte 1735 die bis heute
gültige Schreibweise f(x) ein.
2. Einführung in Funktionen
Problem eines Schülers ist die Fehlinterpretation eines Funktionsgraphen.
Dies geschieht dadurch, dass Graphen als realistische Abbildung gesehen
werden.
Bsp.:
Diese Fehlinterpretationen sind sehr weit verbreitet (vor
allem unter 12 -15 jährigen Schülern).
Der Schüler muss erkennen und verstehen, dass sich der
Funktionsgraph aus den gegebenen Konstanten und
Variablen ergibt und eine realitätsnahe Ähnlichkeit eher
zufälliger Natur ist.
Dem kann bzw. muss man als Lehrer sofort
entgegenwirken. Zahlreiche Beispiele sollten gezeigt
und besprochen werden.
3. Lineare Funktionen
(8. Klasse)
Am Ende der 8. Klasse müssen die Schülerinnen und
Schüler den Funktionsbegriff verstanden haben und in
der Lage sein, Lineare Funktionen erkennen und
bestimmen zu können.
Möglicher Vorgang
- Definition der Funktion
- Funktionsgraphen erkennen und
verstehen
- Einführung der Funktionsgleichung
y=mx+t
- Arbeiten mit der Funktionsgleichung
Definition von Funktionen
Gegeben seien zwei Mengen D und W.
Eine Funktion ist eine Vorschrift, die jedem
Element der ersten Menge (der
Definitionsmenge D) in eindeutiger Weise ein
Element der zweiten Menge (der Wertemenge
W) zuordnet.
Das heißt, dass jedem Element der
Definitionsmenge genau ein Element der
Wertemenge zugeordnet wird.
Sind auf den Bildern Funktionsgraphen dargestellt?
Wichtig ist, dass die Schülerinnen und Schüler die Abhängigkeit der
Größen x und y verstehen.
Lt. Definition ist eine Funktion eine eindeutige Zuordnung. Je nach Art
der Funktion gibt es verschiedene Möglichkeiten diese Abhängigkeiten
zwischen verschiedenen Größen festzulegen.
Erste Erfahrungen mit proportionalen
Funktionen
Auf dem Bauernmarkt verkauft ein Bauer Kartoffeln. Für
einen 10 kg Sack verlangt er 2,50€.
Schüler bekommt eine Wertetabelle vorgegeben, die mit
dem Lehrer gemeinsam ausgefüllt wird:
x (Kartoffeln in kg)
10
y (Preis in €)
2,5
20
15
5
x (Kartoffeln in kg)
10
20
15
5
y (Preis in €)
2,5
5
3,75
1,25
Anstelle mit einer Tabelle kann man Zuordnungen
und Funktionen auch mit Hilfe von Pfeilen darstellen.
Einige knifflige Aufgaben:
Handelt es sich bei den Zuordnungen um ein Funktion? (Begründung!)
a)
b)
c)
Natürliche Zahl
Geschwindigkeit
Benzinverbrauch
Name
Telefonnummer
--> größter Teiler einer Zahl.
--> Benzinverbrauch
--> Geschwindigkeit
--> Telefonnummer
--> Name
Von der proportionalen zur linearen Funktion
Ziel ist die Geradengleichung: y=mx+t
Dabei ist der Einsatz von PC-Programmen sehr hilfreich. (z.B. Geonext)
Aufgaben
- Es ist zu berechnen welche Punkte auf der Geraden g=4x-5 liegen.
A(1/-1); B(2/4); C(20/75)
- Welche Steigung hat die Gerade h die durch die Punkte A und B
geht?
a)
b)
A(2/1) B(-5/-13)
A(0/2) B(20/52)
- Von einer Geraden sind zwei Punkte bekannt. Gesucht ist die
Geradengleichung.
a)
b)
P(2/2) Q(3/3)
U(-1/-7) T(2/-4)
- Liegt der Punkt P(1/2) auf der geraden g(A/B)? Rechnung!
a)
b)
A(9/17) B(17/5)
A(-3/-2) B(-4/-3)
-
Berechne die Nullstellen der Gerade.
a)
b)
c)
A(1/2) B(-7/2)
A(5/4) B(5/-3)
A(-2/3) B(4/2)
-
Welcher Term legt jene Gerade fest die durch den Punkt P(5/1)
und parallel zur Geraden y = 2x + 1 ist?
- Zeichne durch P(1/2) eine zu g(P/Q), mit P(3/4) und Q(-3/-4), parallele
Gerade und berechne ihre Funktionsgleichung.
4. Quadratische Funktionen
Auch hier empfiehlt es sich den Schüler an einem
Mathematikprogramm „rumprobieren“ zu lassen um somit den
Grundaufbau und die Grundstrukturen besser, leichter und
verständlicher verstehen zu können.
Eine Einführung in Funktionen ist nicht nötig, da diese in der 8. Klasse
bereits ordentlich von statten ging und diese Art der Funktionen erst
in der 9. Klasse behandelt werden. Eine Festigung in der
„mathematischen Semantik“ wäre allerdings von Vorteil. Dass die
„Zeit“ oder ein „Weg“ zunehmen ist Schülern klar. Allerdings die
Frage: „Was passiert, wenn x steigt?“ bereitet noch Schwierigkeiten.
Dies ist also das Ziel der 9. Klasse, dass Schülerinnen und Schüler
Funktionen in dieser neuen Sprache und Symbolik unter
Zuhilfenahme übertragener Vorstellungen beschreiben können.
Praktisch dafür sind die quadratischen Funktionen.
Aufgaben
Gegeben sind zwei Funktionen. Welche der beiden ist steiler?
Schneiden sie sich? Falls ja, wo? Falls nein, woran erkennt man das?
Gleiche Aufgabe wie vorher. Zeichne beide
Funktionen nach den Rechnungen in ein
Koordinatensystem ein.
Literaturverzeichnis
-
http://www.math.uni-siegen.de/geschmath/Vohns.pdf
Algebra Bayern 8, Klett Verlag, Stuttgart 1993,
Basis Mathematik 10, Ausgabe B, Bayerischer Schulbuch-Verlag,
München 1996
http://de.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes
http://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
www.adac.de
ML 103
http://www.isb.bayern.de/isb/index.asp?MNav=5&QNav=4&TNav=1
&INav=0&Fach=30&Fach2=&LpSta=6&STyp=5&Lp=396