4 Inhalt - im Mathematik-Portal für das Gymnasium

4
Inhalt
Analysis
1
1.1
1.2
1.3
Grundlagen der Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das kartesische Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geraden im Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
9
2
2.1
2.2
2.3
Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polynombegriff und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechnen mit Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nullstellen von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
14
15
17
3
3.1
3.2
Reelle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Grundlegendes über Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Elementare Funktionenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4
4.1
4.2
Stetigkeit und Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5
5.1
5.2
5.3
5.4
Transzendente Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arcusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
51
54
56
57
6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
60
66
70
71
73
7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . .
Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
75
77
81
84
86
8
8.1
8.2
8.3
Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Symmetrie des Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elemente der Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kurvendiskussion am Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
88
90
91
Inhalt
Analytische Geometrie
9
9.1
9.2
Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Das Gaussverfahrenzur Lösung linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . 97
10
10.1
10.2
10.3
Punkte und Vektoren im kartesischen Koordinatensystem . . . . .102
Grundlegende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Rechnen mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
11
11.1
11.2
11.3
11.4
Geraden- und Ebenengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112
Die Parameterform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Die Koordinatengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Das Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Darstellung von Ebenen im Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
12
12.1
12.2
12.3
Schnittprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121
Schnitt zwischen einer Geraden und einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Schnitt zweier Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Schnitt zweier Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
13
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
Abstände und Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
Der Abstand zweier Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Der Abstand eines Punktes von einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Der Abstand eines Punktes von einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Der Abstand zweier windschiefer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Flächen- und Volumenberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
14
14.1
14.2
14.3
Spiegelungen an Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
Das Spiegelbild eines Punktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Das Spiegelbild einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Das Spiegelbild einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
15
15.1
15.2
15.3
Winkelberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
Der Winkel zwischen zwei Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Der Winkel zwischen zwei Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Der Winkel zwischen Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Lineare Algebra
16
Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148
16.1 Eigenschaften linearer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
16.2 Lineare Abbildungen mit Matrizen: Matrix-Vektor-Multiplikation . . 149
5
6
Inhalt
16.3 Besondere geometrische Abbildungen und ihre Matrizen . . . . . . . . . . . . 151
16.4 Verknüpfung linearer Abbildungen: Matrix-Matrix-Multiplikation . . 153
17
17.1
17.2
17.3
17.4
Die Matrixrechnung zur Lösung eines LGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155
Lineare Gleichungssysteme als Matrix-Vektor-Gleichung . . . . . . . . . . . . . 155
Die inverse Matrix und ihre Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Berechnung der inversen Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Determinante und Umkehrbarkeit einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Stochastik
18
18.1
18.2
18.3
18.4
Der Wahrscheinlichkeitsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161
Von der relativen Häufigkeit zur Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Endliche Wahrscheinlichkeitsräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Operationen mit Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
19
19.1
19.2
19.3
Kombinatorik und Laplace-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168
Laplace-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Kombinatorik oder: Die Kunst des Zählens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Vertiefung: Laplace-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
20
20.1
20.2
20.3
Mehrstufige Zufallsexperimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180
Bäume und Pfadregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Das Urnenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
21
21.1
21.2
21.3
21.4
Spezielle Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187
Zufallsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Die Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Die hypergeometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Zufallsgrößen mit Dichten, Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
22
22.1
22.2
22.3
Beurteilende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198
Qualitätsbewertung von Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Schluss von der Stichprobe auf die Gesamtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Testen von Hypothesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Stichwortverzeichnis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206
Prüfungstraining auf CD-ROM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208