Mathematik für Studierende der Biologie

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN
FAKULTÄT
FÜR
BIOLOGIE
Prof. Christian Leibold, Dr. Stefan Häusler
Department Biologie II
Großhadernerstr. 2
82152 Planegg-Martinsried
9. Übung
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Telefon: 089-2180-74800
Fax: 089-2180-74803
Mathematik für Studierende der Biologie
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2.12.2014
Die Aufgaben werden in den Tutorien vom 11. Dezember - 15. Dezember besprochen.
Aktuelle Infos und Übungszettel finden Sie unter:
http://neuro.bio.lmu.de/teaching/mathe-bio_ws/index.html
1. (Komplexe Zahlen) Lösen Sie die Gleichungen (z ∈ C):
(a)
z = (2 + 3i)z̄
(c)
z 2 = z̄ 2
(e)
z
z
−
= 1 + (z − z̄) sin(π + i ln 3)
1+i 1−i
(b) z = −iz̄
z + 2 + 3i
(d)
=i+2
2z − 3
1 + z̄
(f) − 2iz =
1+i
2. (Komplexe Zahlen) Zeigen Sie für beliebige z1 , z2 ∈ C, dass die folgende Gleichung gilt:
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
3. (Komplexe Zahlen) Gelten für beliebige komplexe Zahlen folgende Relationen?
(a)
cos2 (z) + sin2 (z) = 1
(b)
(z̄)n = (z n )
(c)
sin(2z) = 2 sin(z) cos(z)
(Hinweis: Beweise am einfachsten mittels Exponentialdarstellung.)
4. (Geradengleichungen)
Gegeben sind zwei Geraden in R2 :
g1 : x1 − 2 x2 = 0
und g2 : 4 x1 + 2 x2 = 5
(a) Zeichnen Sie die Geraden in einem Koordinatensystem mit den Koordinaten x1 und x2 ! Bringen
Sie dazu die Geradengleichungen durch Auflösen nach x2 in die Ihnen bekannte funktionale Form
y = mx + b.
(b) Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden!
(c) In welchen Punkten schneidet g3 : 2x1 + x2 = 5 die Geraden g1 und g2 ?
(d) Betrachten Sie nun noch die Geradenschar g4 (b) : −x1 + b x2 = 1. Wie muß man b wählen, so
dass sich die drei Geraden g1 , g2 und g4 in einem Punkt schneiden?
(bitte wenden)
5. (Lineare Gleichungssysteme, Gaußsches Eliminationsverfahren) Lösen Sie folgende lineare Gleichungssysteme mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens. Geben Sie an, ob die Lösung exisitiert,
und wenn ja, einen Punkt oder eine Gerade beschreibt.
(b)
(a)
3x − 3y =
1
x −
y = 1/3
3x − 3y =
1
x −
y = −1
(c)
(d)
7x − 5y = 0
14 x − 10 y = 1
3x + 3y = 0
2x − 2y = 4
(e)
(f)
2x −
−3 x +
2x + 5y = 0
−4 x − 10 y = 0
y = −2
=
3
3
2y
6. (Lineare Gleichungssysteme, Gaußsche Elimination)
Lösen Sie die folgenden Gleichungen mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren:
(b)
(a)
x −
2x
+
y
−
z
=
8
3x
−
y
+
2z
=
3
3x
2x
+
y
+
2z
=
−4
2x
2y
+
z
=
−2
+
y
−
z
=
−1
−
3y
+
2z
=
3