Lösungen - BBS

!
"
#$ %&
) *
)
,
E + R = J +G
"
"
5
,
#-&
#5
-
7
8 9
3
4
:
) *
,
OWürfel ( groß )
= 6 ⋅ 62
5
,
2
7
;
,
:
KanteWürfel ( klein )
= 216
= 2
VWürfel ( klein )
= 23
OWürfel ( klein )
= 6 ⋅ 22
= 216
6:2
= 8
= 24
<
4
=
> 1
)
$
<
@
? 1
<
1
2x − ( y + x ) = 2x − y + x = 2x2 − y
5x − 7 y
5a − 7b
27 :1
216 : 24
9 :1
3
?
=
x− y
a −b
#.&
x2 − y2
x+ y
=
x+ y
3 :1
216 : 8
#' (
4
#-&
2
&
3
1
# &
3
#' (
8 -
= 6
= 63
1
&
,
VWürfel ( groß )
2
6
/
J<R
* + *
2
4
KanteWürfel ( groß )
.
(2) eingesetzt

→ J +G − R+ J < R +G
01
7
!
E = J +G − R
E + J < R +G
/
"
&
* + *
#-&
#.&
!
#' (
&
2x − ( y + x ) = 2x − y + x = 2x2 − y
# &
<
<
<
-
5x − 7 y
5a − 7b
<
D
5
<
5
:
x− y
a −b
=
1
7
"
/
1
=
4
/ @
@
x+ y
"
<
x2 − y2
x+ y
5
!
0
5
x2 − y2
x+ y
#.&
<
A%B C
2x − ( y + x ) = 2x − y − x = x − y
5
#-&
6 /
E
=
2
1
1
( x − y )( x + y )
=
x+ y
3
x− y
/ F
% 0
,
#' (
"
7
G
/1
H
0
0
I
x ⋅ ( x + 1) = 156
Lösung

→ x1
x 2 + x − 156 = 0
− 1 ± 1 + 624
=
2
= 12 ∨ x1 = − 13
Lösungsformel

→ x 12
'93
=
Lösungsmenge

→ L =
{12}
− 1 ± 25
2
wegen Vor. natürlicher Zahlen!!!
&
!
)
"
"
'
4
? 5
K
G
L
,
,
6 ? 4
6
/
:
2 1
C
# J (
.
. -
3
,
&
%
H 1
3
4
4
,
L
3
D 1
# &
)
4
#-&
6
/
4
,
G
4
"
G
C
#8 4
&3
:
#8
#.&
4
3
:
,
/
:
"
46 /
&
,
2
/
3
)
h − 18
h
=
0, 5 a
1,5 a
h = 27
Vgesamt
=
1
G⋅h =
3
1
⋅ 9a 2 ⋅ 27 = 81a 2
3
VSpitze
=
1 2
⋅ a ⋅ hRe st
3
VDifferenz
hRe st = 27 −18
= Vgesamt − VSpitze
312 = 78a 2
!
312 = 81a 2 − 3a 2
a2
!
"
$
1 2
⋅ a ⋅ 9 = 3 ⋅ a2
3
=
= 4
!
$ !
a = 2
#
M4$N )N /
1)
2)
3)
4)
13 – (5x + 2) + (x – 7) = 8x – 20
13 – 5x – 2 + x – 7 = 8x –20
24 = 12x
/
x=2
1 2
x + 4 = 0 hat keine Lösung
2
9 x 2 − 16 = 0
9x² = 16
/ :9
16
x² =
/
9
4
x= ±
3
(x – 5)(x – 7) = (x + 4)(x – 9) – 13
x² – 12x + 35 = x² – 5x – 36 – 13
7x = 84
x = 12
5)
6)
9)
radizieren (das heißt: Wurzel ziehen)
/ – x² + 12x + 49 / Seiten vertauschen
/ :7
2
1
1
9
x −1 +
x + 1 = −2x +
2
2
2
1 2
1
9
x − x + 1 + x 2 + x + 1 = −2 x +
(Binomische Formeln
4
4
2
1 2
9
x + 2 = −2 x +
/ *2
2
2
x 2 + 4 = −4 x + 9
/ + 4x – 9
x 2 + 4x − 5 = 0
x = 1 oder x = – 5
8)
/ + 4x + 20
: 12
2x + 3y = – 14 und x + 2y = – 8
Lösungsverfahren (z. Additionsverfahren oder Einsetzverfahren) liefert:
x = – 4 und y = – 2
2x 5
+ =x+4
/ *3
3 3
2x + 5 = 3x + 12
/ – 2x – 12 / Seiten vertauschen
x =–7
2
7)
= $
pq – Formel oder abc – Formel
– 4x – 8 < – 2x – 4
/ + 4x + 4 / umgekehrt lesen
2x > – 4
/ :2
x>–2
IL = { x ∈ IR / x > – 2} oder IL = ] – 2; – ∞ [
x − 1 1− x
−
<7
/ *12
3
4
4x – 4 – 3 + 3x < 84
/ +7
7x < 91
/ :7
x < 13
IL = { x ∈ IR / x < 13} oder IL = ] – ∞ ; 13 [
<
#
&
3 Der Funktionsterm lautet: f(x) = 2x − 1 .
Man zeichnet das Steigungsdreieck ein und erhält
2
m = . Aus dem Schnittpunkt des Graphen mit der y1
Achse erhält man b=-1.
-3 Die Steigung der Geraden durch die Punkte P1 und P2 lautet:
−3 − 2 −5 5
m=
=
=
−1 − 1 −2 2
.3 g(1) = 2 ⋅ 1 − 5 = −3
der Punkt A liegt auf der Geraden g.
h(1) = 1 − 4 = 3
der Punkt A liegt auf der Geraden h.
g(3) = 2 ⋅ 3 − 5 = 1
der Punkt B liegt nicht auf der Geraden g.
h(3) = 3 − 4 = −1 der Punkt B liegt auf der Geraden h.
g(5) = 2 ⋅ 5 − 5 = 5
der Punkt C liegt nicht auf der Geraden g.
h(5) = 5 − 4 = 1 der Punkt C liegt nicht auf der Geraden h.
E3 Die Gerade h hat die Steigung m=-2 und geht
durch den Punkt P(2/1).
Zeichnen Sie den Graphen dieser Geraden in
das nebenstehende Koordinatensystem.
L
<
#
&
1. Skizzieren Sie den Graphen der
Normalparabel in das Koordinatensystem
und geben Sie den zugehörigen
Funktionsterm an.
2. a) f(2) = −2 ⋅ (2)2 + 3 = −5 ;
b)
f(1) = −2 ⋅ (1)2 + 3 = 1 P1(1/1)
f( 2) = −2 ⋅ ( 2)2 + 3 = −1
P2 ( 2 / − 1)
f(x) = −5 ⇔ − 2x 2 + 3 = −5
−2x 2
+ 3 = −5 | −3
−2x 2
= −8 |: ( −2)
x
=
x1/ 2 =
2
4|
±2
es gibt zweiPunkte mit der gleichen y − Koordinate
P31( −2 / − 5) und P32 (2 / − 5) .
3.
f(x) = g(x)
x 2 + x − 3 = x − 2| − x
x2 − 3
= −2 | + 3
x2 = 1
|
x1/ 2 = ±1
Die Koordinaten der Schnittpunkte lauten:
P1( −1/ − 3) und P2 (1/ − 1) .
4. a) Man benötigt die Koordinaten des Scheitelpunktes. Es gibt verschiedene Methoden diese
zu en zu bestimmen (z. B.: quadratische Ergänzung, Nullstellen,...). Da die Nullstellen im
Aufgabenteil b benötigt werden bestimmt man zunächst die Nullstellen:
1 2
f(x) = 0 ⇔ −
x + x − 20 = 0
200
Man löst die quadratische Gleichung mit der a-b-c-Formel:
1
−1 ± 1 − 4 ⋅ ( −
) ⋅ ( −20)
200
x1/ 2 =
1
2 ⋅ (−
)
200
x1 ≈ 22,54 ; x 2 ≈ 177,46 . Die Koordinaten des Scheitelpunktes ergeben sich aus:
x1 + x 2
= 100; f(100) = 30; S(100 / 30)
2
Die Höhe h beträgt 30m.
b) Die Läge l ergibt sich zu l = x 2 − x1 ≈ 154,92m
xs =
<
4
> 1
#
&
<
Zeitbedarf maximal:
Wie heißen Bestandteile folgender Gleichung?
1)
Lösung: 4 ist erster Summand
7 ist die Summe
2)
O
O
O
×O
3)
×
+ Pluszeichen
E O . 8 P
2 Min.
3 ist zweiter Summand
= Gleichheitszeichen
Welche Aussage ist falsch?
Die Multiplikation ist eine verkürzte Addition gleicher Summanden.
In der Darstellung 4 * 3 = 12 heißt die Zahl 4 Multiplikator.
Statt von Multiplikator spricht man auch vom Faktor.
Das Ergebnis einer Multiplikation wird als Summe bezeichnet.
2 Min.
Welche der folgenden Mengen ist die Menge der natürlichen Zahlen?
1 Min.
4)
O
O
O
×O
5)
O
×
O
O
O
6)
In der Mathematik gibt es die Funktion "Betrag". Welche Aussage dazu
ist falsch?
|a| ist niemals negativ.
|a| = a für a > 0.
|a| = - a für a < 0.
Für die Zahl 0 ist der Betrag nicht definiert.
3 Min.
Unter einer Differenz versteht man ...
... das Ergebnis einer Addition.
... das Ergebnis einer Subtraktion.
... das Ergebnis einer Multiplikation.
... das Ergebnis einer Division.
2 Min.
Die Menge R ist die Menge der ...
1 Min.
... natürlichen Zahlen.
×
O ... reellen Zahlen.
7)
... ganzen Zahlen.
... rationalen Zahlen.
Welche Aussage ist richtig ?
×O = bezeichnet man als Bruch, a ist der Zähler, b ist der Nenner.
= bezeichnet man als Zähler, a ist der Bruch, b ist der Nenner.
O = bezeichnet man als Nenner, a und b sind Zähler.
O = bezeichnet man als Bruch, a ist der Nenner, b ist der Zähler.
8)
Fritz schreibt in seiner Hausaufgabe folgenden Ausdruck:
# -&% Welche
3 Min.
O
4 Min.
Aussage ist falsch?
O ist die Basis des Logarithmus, - das Argument.
×O Anstelle von
# -& kann man auch
#- & schreiben.
O Logarithmus-Funktionen stellen die Umkehrung zu Exponentialfunktionen dar.
O
9)
# -& 8
# -& , wenn gilt:
ist die Eulersche Zahl .
Gegeben sei folgender Ausdruck: - %
2 Min.
Wie lauten die korrekten Bezeichnungen?
O 2 ist die Grundzahl, x heißt Basis.
×
O 2 ist die Basis, x heißt Exponent.
O 2 ist die Hochzahl, x heißt Grundzahl.
O 2 ist der Exponent, x heißt Hochzahl.
10)
Q ist die Bezeichnung für eine Zahlenmenge. Wofür steht Q ?
O Echte Bruchzahlen.
×
O Quotient.
O Rational.
O Quantität.
1 Min.