Institut für Angewandte Mathematik 08.06.2012 Universität

Institut für Angewandte Mathematik
Universität Heidelberg
Thomas Richter, Thomas Wick
08.06.2012
Übung Nr. 8 zur Vorlesung Einführung in die Numerische Mathematik
Sommersemester 2012
Aufgabe 8.1: (4 Punkte)
a) Man leite in Indexschreibweise einen direkten Algorithmus zum Lösen von regulären
Tridiagonalsystemen her:
a11 x1 + a12 x2
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3
a32 x2 + a33 x3 + a34 x4
..
.
= b1
= b2
= b3
..
.
an,n−1 xn−1 + ann xn = bn
b) Wieviele arithmetische Operationen werden benötigt?
Aufgabe 8.2: (4 Punkte)
Wir betrachten die LR-Zerlegung mit Total-Pivotisierung:
LR = P AQ,
mit zwei Pivot-Matrizen P = P (n−1) · · · P (1) und Q = Q(1) · · · Q(n−1) . Dabei wird im
(i−1)
i-ten Schritt das Pivot-Element akl
gesucht als:
(k, l) = arg max |a(i−1)
|,
rs
r,s≥i
gefolgt vom Tausch der i-ten mit der k-ten Zeile sowie der i-ten mit der l-ten Spalte.
Man beschreibe die notwendigen Transformationsschritte (in Matrix-Schreibweise) zum
Erstellen der LR-Zerlegung. Weiter gebe man die Darstellung der Matrizen L, R sowie
P und Q an.
Aufgabe 8.3: (4 Punkte)
Es sei A eine symmetrische, reguläre, diagonaldominante Matrix mit positiven Diagonalelementen aii > 0. Man zeige, dass für die Matrizen L und R der LR-Zerlegung ohne
Pivotierung gilt:
|lij | ≤ 1,
rii ≥
n
X
j=i+1
1
|rij |.
Zusatzaufgabe 8.4: (4 Bonuspunkte)
Es sei eine Matrix A ∈ R10×10 mit folgendem Besetzungsmuster gegeben:

∗

∗


∗



∗

∗ ∗
A=

∗
∗


∗
∗


∗


∗
∗ ∗
∗
∗
∗ ∗
∗
∗
∗
∗
∗ ∗ ∗
∗
∗



∗


∗

∗
∗



∗ ∗



∗

∗ 
∗
a) Man führe den Cuthill-McKee Algorithmus durch und gebe die sortierte Matrix an.
Welche Bandbreite kann erreicht werden und wie viele Elemente müssen in L und R
maximal gespeichert werden?
b) Man stelle das Besetzungsmuster von A als Graph dar. Die Knoten des Graphen
sind die Indizes, Kanten zwischen Knoten stehen für Nachbarschaftsbeziehungen. Man
schlage einen Algorithmus mit folgendem Ziel vor:
Zerlege den Graphen in Teilgraphen die möglichst dicht besetzt sind. Beim Zerlegen des
Graphen sollen möglichst wenig Kanten durchtrennt werden.
Wie sieht die sortierte Matrix aus, wie viele Speicherplätze müssen für L und R vorgehalten werden?
Hinweis: Der Aufgabenteil b) kann graphisch durch “Einkreisen” der Teilgraphen gelöst
werden.
Abgabe der Übungen bis zum 15.06.2012 vor der Vorlesung
Abgabe in den Übungs-Briefkästen INF 288
Die praktische Aufgabe steht ebenfalls auf der Homepage.
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