1 Ableitung von Vektorfunktionen 2 Bahnkurve

Übungen zu “Klassische Theoretische Physik
für Lehramtskandidaten”, WS 2013/2014
Dr. Patrick Simon∗
Dozent (Klassische Mechanik):
Dipl.-Phys. Patrick Neunteufel∗
Übungsblätter:
∗
1. Übung
1
AIfA, Auf dem Hügel 71 D-53123 Bonn
15.10.2013
Ableitung von Vektorfunktionen
Hinweis: In den Übungsblättern bzw. Vorlesungen wird das Skalarprodukt von, z.B., a und b
sowohl durch a · b als auch durch ha, bi dargestellt.
Beweisen Sie die folgenden Differentiationsregeln für vektorwertige Funktionen a(t) und b(t):
a)
d
[a(t) · b(t)] = ȧ(t) · b(t) + a(t) · ḃ(t)
dt
b)
d
[a(t) × b(t)] = ȧ(t) × b(t) + a(t) × ḃ(t)
dt
c) a(t)
d
da(t)
= |a(t)| |a(t)|
dt
dt
5 Punkte
2
Bahnkurve
a) Bestimmen Sie in den folgenden Teilaufgaben eine Parameterdarstellung der Zykloide. Selbige wird von einem festen Punkt (P ) auf einem Kreis mit Radius R beschrieben, der auf
einer Geraden abrollt (Siehe Zeichnung):
i) Betrachten Sie zunächst nur den Fall P M = R und wählen Sie einen geeigneten Parameter (Hinweis: Gemeint ist nicht die Zeit, t). Wie lautet die Parameterdarstellung?
ii) Stellen Sie eine allgemeine Parameterdarstellung für P M 6= R auf.
A
y
P
l
R
φ(t)
M
M
x
(a)
v
y
(b)
x
iii) Erstellen Sie eine qualitative Skizze für die Fälle P M = R, P M < R und P M > R.
iv) Sei nun der Kreis ein physikalisches Objekt, welches mit der Winkelgeschwindigkeit ω
auf einer Ebene rollt. Formulieren Sie den zeitabhängigen Ortsvektor r(t) des Punktes
dr(t)
.
P und berechnen Sie
dt
b) Wie lautet die Parameterdarstellung eines Massenpunktes M , der an einem Faden mit
zeitabhängigem Winkel φ(t) pendelt, wobei sich gleichzeitig der Ankerpunkt A mit konstanter Geschwindigkeit v in x-Richtung bewegt (siehe Zeichnung)?
7 Punkte
3
Vektorfelder I
a) Gegeben seien die skalaren Felder
2
φ1 = cos(a · r); φ2 = e−γr ,
wobei
a = const, γ = const.
Berechnen Sie die Gradientenfelder ∇φi und deren Quellen
∇ · ∇φi = 4φi .
b) Berechnen Sie die Divergenz des Einheitsvektors er = r−1 r.
c) Unter welchen Bedingungen ist das Vektorfeld A(r) = f (r)r quellenfrei?
d) ψ sei ein skalares Feld, B ein Vektorfeld. Beweisen Sie:
∇(ψB) = ψ∇B + B · ∇ψ
5 Punkte
4
Vektorfelder II
Wie muss die Konstante γ gewählt werden, damit für das Vektorfeld
A(r) ≡ γxy − z 3 , (γ − 2)x2 , (1 − γ)xz 2
∇ × A = 0 gilt? Kann man γ auch so wählen, dass ∇A = 0?
3 Punkte
Website: http://www.astro.uni-bonn.de/tp-l/