Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof. Dr. Viola Weiÿ Sommersemester 2016 Mathematik III für MB und ME Übungsaufgaben Serie 1: Vektoranalysis 1. Geben Sie folgende ebenen Kurven in Parameterdarstellung an und bestimmen Sie den jeweiligen Tangentenvektor: (a) Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung y = 4x2 , x ≥ 0, (b) Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius R, positiver Umlaufsinn, (c) Gerade durch den Ursprung mit Anstieg 2. 2. Ein Elektronenstrahl durchlaufe auf demBildschirm eines Oszillographen folgende zeit abhängige Kurve: ~r(t) = a · cos(ωt) b · sin(ωt) , t ≥ 0. (a) Zeichnen Sie die Kurve. Welche Bedeutung haben die Konstanten a, b, ω ? (b) Bestimmen Sie den Geschwindigkeits- und den Beschleunigungsvektor. Zeigen Sie, daÿ Beschleunigungsvektor und Ortsvektor ~r(t) parallel mit unterschiedlicher Orientierung sind. 3. Eine Bewegung in der Ebene werde durch folgende Kurve in Parameterdarstellung beschrieben: ~r(t) = t~ex + t2~ey , −∞ < t < ∞. (a) Stellen Sie die Bahnkurve in expliziter Form dar und berechnen Sie die Bogenlänge der Kurve für 0 ≤ t ≤ 2. (b) Bestimmen Sie den Geschwindigkeits- und den Beschleunigungsvektor. 4. Gesucht ist die Parameterdarstellung einer Ebene, auf der sich ein Massepunkt bewegt. Die Ebene gehe durch den Punkt P = (1, 1, 1) und habe folgende Richtungsvektoren: ~a = (1, −1, 1)T und ~b = (2, 2, −2)T . Liegt der Punkt Q = (6, 0, 5) auf dieser Ebene? Geben Sie einen Normalenvektor für diese Ebene an. cos u · sin v 5. Zeigen Sie, daÿ die Parameterdarstellung ~r(u, v) = sin u · sin v , cos v [0, π) eine Kugeloberäche beschreibt. u ∈ [0, 2π), v ∈ 6. Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche z = x2 − y 2 im Punkt P = (2, 1, 3)? 7. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene, die die Fläche z = xy im Punkt P = (2, 5, 10) berührt. 8. Ermitteln Sie für die folgenden ebenen Skalarfelder die Niveaulinien: (a) Φ(x, y) = x2 + y 2 (b) Φ(x, y) = x2 − y . 9. Eine strömende Flüssigkeit werde durch folgendes ebene Geschwindigkeitsfeld beschrieben: ~v (x, y) = x~ex , x ≥ 0. Skizzieren Sie das Feld. 10. Skizzieren Sie das ebene Kraftfeld F~ (x, y) = 1r (−y~ex + x~ey ), r > 0. Dabei beschreibe r den Abstand des Punktes (x, y) vom Ursprung. Welche Eigenschaft (Feldlinien) besitzt dieses Kraftfeld? 11. Charakterisieren Sie die Flächen der folgenden physikalischen Vektorfelder, auf denen der Betrag der Feldstärke jeweils konstant ist (Niveauächen): ~ in der Umgebung einer Punktladung Q: (a) Elektrische Feldstärke E ~ = E ~r Q · 4πε0 r2 r ε0 - elektrische Feldkonstante, ~r - Ortsvektor mit |~r| = r > 0, ~ eines linearen, von Strom durchossenen Leiters: (b) Magnetische Feldstärke H ~ = I ~eϕ H 2π% % > 0 - senkrechter Abstand von der Leiterachse, I - Stromstärke, ~eϕ - Einheitsvektor in tangentialer Richtung. 12. Ermitteln Sie für die folgenden ebenen Skalarfelder die Niveaulinien und den Gradienten: (a) Φ(x, y) = y (b) Φ(x, y) = x2 + y 2 . 13. Welche ebenen Skalarfelder gehören zu dem Gradientenfeld grad Φ = y x ? 14. Berechnen Sie den Gradienten und seinen Betrag im Punkt P für die folgenden räumlichen Skalarfelder: (a) Φ(x, y, z) = 10x2 y 3 − 5xyz 2 , P = (1, −1, 2), (b) Φ(x, y, z) = x2 eyz + yz 3 , P = (2, 0, 1), (c) Φ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , P = (1, 2, −2). 15. Zeigen Sie, daÿ das skalare Feld Φ(x, y, z) = ln r den Gradienten grad Φ = r12 ~r besitzt. Dabei beschreibt r > 0 den räumlichen Abstand des Punktes (x, y, z) vom Ursprung. 16. Bestimmen Sie die Richtungsableitung in Richtung ~r = (1, −2, 2)T für das skalare Feld Φ(x, y, z) = xyz + 3xz 3 im Punkt P = (1, 2, 1). In welcher Richtung ist der Anstieg in diesem Punkt P maximal? Wie groÿ ist dieser Maximalwert? 17. Das Feld des elektrostatischen Potentials in der Umgebung einer negativ geladenen Kugel mit Radius R ist gegeben durch U (r) = −Q , 4πε0 r r ≥ R, −Q - Ladung der Kugel, ε0 - elektrische Feldkonstante. Bestimmen Sie für einen beliebigen Punkt P des elektrischen Feldes im Auÿenraum der Kugel (r ≥ R) die Richtung, wo das Potential U am stärksten zunimmt. Wie groÿ ist dieser Maximalwert? 18. Bestimmen Sie für folgende ebenen Vektorfelder die Divergenz: (a) F~ (x, y) = −y x , (b) F~ (x, y) = x3 + 1 xy 2 , (c) ~v (x, y) = x · e−y y · e−x . 19. In welchen Punkten der Ebene verschwindet die Divergenz des Vektorfeldes F~ (x, y) = 2 xy ? 2 x y − 4y xy 2 20. Berechnen Sie die Divergenz des räumlichen Vektorfeldes F~ (x, y, z) = 2yz 3 in den xyz Punkten P1 = (2, 0, 1) und P2 = (1, 2, −1). 21. Bestimmen Sie die Divergenz des Gradienten des Skalarfeldes Φ(x, y, z) = (x − 1)2 + (y − 5)2 + z 2 . 22. Wie ist dieFunktion f (r) zu wählen, damit das Zentralfeld F~ (x, y, z) = f (r) · ~r = f (r) · x f (r) · y quellenfrei ist? f (r) · z b mit r = 23. Gegeben sei das räumliche radialsymmetrische Skalarfeld Φ(x, y, z) = a + r |~r| > 0 und den reellen Konstanten a, b. Bestimmen Sie den Gradienten des Feldes und zeigen Sie, daÿ die Divergenz des Gradienten verschwindet. xy 3 24. Welchen Wert besitzt die Rotation von F~ (x, y, z) = 2xy 2 z im Punkt x2 y − z 2 P = (1, 2, 1) ? 25. Wie sind dieParameter a, b ∈ R zu wählen, damit die Rotation des Vektorfeldes 2 3 F~ (x, y, z) = 2xz + y z überall verschwindet? axy 2 z 2 3 2x z + bxy 2xz + y 2 26. Zeigen Sie, daÿ das räumliche Vektorfeld F~ (x, y, z) = 2xy wirbelfrei ist und x2 somit als Gradient eines skalaren Feldes Φ(x, y, z) darstellbar ist. Bestimmen Sie diese Potentialfunktion Φ. 27. a) Weisen Sie nach, daÿ für ein beliebiges Vektorfeld F~ die Beziehung div(rotF~ ) = 0 gilt. b) Weisen Sie nach, daÿ für ein beliebiges Skalarfeld Φ die Beziehung rot(gradΦ) = ~0 gilt. 28. Berechnen Sie für das Vektorfeld F~ (x, y) = (1, 0) zum Punkt (0, 1) x+y x2 + y 2 das Kurvenintegral vom Punkt a) auf direktem Weg, b) entlang der Koordinatenachsen und c) entlang der Kreiskurve mit Mittelpunkt im Ursprung. 29. Welche Arbeit werden, um einen Körper durch das Vektorfeld muÿ verrichtet y ~ 1 − x zu bewegen auf folgendem Weg: Von (0, 0, 0) nach (0, 0, 1) entlang F (x, y, z) = z2 der z -Achse und von (0, 0, 1) nach (2, 0, 1) entlang eines in der Ebene z = 1 liegenden Halbkreisbogens durch den Punkt (1, 1, 1) mit Mittelpunkt in (1, 0, 1) und Radius 1? 30. 31. 32. 33. 2xz Berechnen Sie das Kurvenintegral im Vektorfeld F~ (x, y, z) = (2x + 11z + 1) : (yz 2 ) −3yz 2 t entlang des Weges ~r(t) = t + 1 von (0, 1, −2) nach (1, 2, −1). t−2 3yz Ist das Vektorfeld F~ (x, y, z) = 3xz + 2yz ein Potentialfeld? Wenn ja, dann 3xy + y 2 + 3z 2 bestimmen Sie die zugehörige Potentialfunktion Φ(x, y, z). 6z Berechnen Sie den Fluÿ des Vektorfeldes F~ (x, y, z) = −3y durch das Dreieck mit 3 den Eckpunkten (2, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Dabei zeige der Normalenvektor in Richtung wachsender x, y, z -Koordinaten. x Berechnen Sie den Fluÿ des Vektors F~ (x, y, z) = y durch ein Oberächenstück, z−1 welches gebildet wird von dem durch die Ebene z = 4 abgeschnittenen Rotationsparaboloid z = x2 + y 2 . (Der Normalenvektor zeige nach auÿen.) 34. Berechnen Sie das Oberächenintegral für die gesamte Oberäche des Körpers, der von 2 2 den Flächen z = 1 und x9 + y9 = 5 − z eingeschlossen wird im Vektorfeld x ! −y F~ (x, y, z) = 2(z − 5)