Mathematik III für MB und ME

Fachbereich Grundlagenwissenschaften
Prof. Dr. Viola Weiÿ
Sommersemester 2017
Mathematik III für MB und ME
Übungsaufgaben
Serie 1: Vektoranalysis
1. Geben Sie folgende ebenen Kurven in Parameterdarstellung an und bestimmen Sie den
jeweiligen Tangentenvektor:
(a) Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung y = 4x2 , x ≥ 0,
(b) Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius R, positiver Umlaufsinn,
(c) Gerade durch den Ursprung mit Anstieg 2.
2. Ein Elektronenstrahl durchlaufe
auf demBildschirm eines Oszillographen folgende zeit
a · cos(ωt)
abhängige Kurve: ~r(t) =
, t ≥ 0.
b · sin(ωt)
(a) Zeichnen Sie die Kurve. Welche Bedeutung haben die Konstanten a, b, ω ?
(b) Bestimmen Sie den Geschwindigkeits- und den Beschleunigungsvektor. Zeigen Sie,
daÿ Beschleunigungsvektor und Ortsvektor ~r(t) parallel mit unterschiedlicher Orientierung sind.
3. Eine Bewegung in der Ebene werde durch folgende Kurve in Parameterdarstellung beschrieben:
~r(t) = t~ex + t2~ey ,
−∞ < t < ∞.
(a) Stellen Sie die Bahnkurve in expliziter Form dar und berechnen Sie die Bogenlänge
der Kurve für 0 ≤ t ≤ 2.
(b) Bestimmen Sie den Geschwindigkeits- und den Beschleunigungsvektor.
4. Gesucht ist die Parameterdarstellung einer Ebene, auf der sich ein Massepunkt bewegt.
Die Ebene gehe durch den Punkt P = (1, 1, 1) und habe folgende Richtungsvektoren:
~a = (1, −1, 1)T und ~b = (2, 2, −2)T .
Liegt der Punkt Q = (6, 0, 5) auf dieser Ebene? Geben Sie einen Normalenvektor für diese
Ebene an.


cos u · sin v
5. Zeigen Sie, daÿ die Parameterdarstellung ~r(u, v) =  sin u · sin v , u ∈ [0, 2π), v ∈
cos v
[0, π) eine Kugeloberäche beschreibt.
6. Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche z = x2 − y 2 im Punkt
P = (2, 1, 3)?
7. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene, die die Fläche z = xy im Punkt
P = (2, 5, 10) berührt.
8. Ermitteln Sie für die folgenden ebenen Skalarfelder die Niveaulinien:
(a) Φ(x, y) = (x − 3)2 + (y + 2)2
(b) Φ(x, y) = x2 − y .
9. Eine strömende Flüssigkeit werde durch folgendes ebene Geschwindigkeitsfeld beschrieben: ~v (x, y) = x~ex , x ≥ 0. Skizzieren Sie das Feld.
10. Skizzieren Sie das ebene Kraftfeld F~ (x, y) = 1r (−y~ex + x~ey ), r > 0.
Dabei beschreibe r den Abstand des Punktes (x, y) vom Ursprung.
Welche Eigenschaft (Feldlinien) besitzt dieses Kraftfeld?
11. Charakterisieren Sie die Flächen der folgenden physikalischen Vektorfelder, auf denen der
Betrag der Feldstärke jeweils konstant ist (Niveauächen):
~ in der Umgebung einer Punktladung Q:
(a) Elektrische Feldstärke E
~
r
Q
~ =
ε0 - elektrische Feldkonstante, ~r - Ortsvektor mit |~r| = r > 0,
·
E
4πε0 r2 r
~ eines linearen, von Strom durchossenen Leiters:
(b) Magnetische Feldstärke H
I
~ =
~eϕ
% > 0 - senkrechter Abstand von der Leiterachse, I - Stromstärke,
H
2π%
~eϕ - Einheitsvektor in tangentialer Richtung.
12. Ermitteln Sie für die folgenden ebenen Skalarfelder die Niveaulinien und den Gradienten:
(a) Φ(x, y) = y
(b) Φ(x, y) = x2 + y 2 .
y
13. Welche ebenen Skalarfelder gehören zu dem Gradientenfeld grad Φ =
?
x
14. Berechnen Sie den Gradienten und seinen Betrag im Punkt P für die folgenden räumlichen
Skalarfelder:
(a) Φ(x, y, z) = 10x2 y 3 − 5xyz 2 ,
(b) Φ(x, y, z) = x2 eyz + yz 3 ,
(c) Φ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 ,
P = (1, −1, 2),
P = (2, 0, 1),
P = (1, 2, −2).
15. Zeigen Sie, daÿ das skalare Feld Φ(x, y, z) = ln r den Gradienten grad Φ = r12 ~r besitzt.
Dabei beschreibt r > 0 den räumlichen Abstand des Punktes (x, y, z) vom Ursprung.
16. Bestimmen Sie die Richtungsableitung in Richtung ~r = (1, −2, 2)T für das skalare Feld
Φ(x, y, z) = xyz + 3xz 3 im Punkt P = (1, 2, 1).
In welcher Richtung ist der Anstieg in diesem Punkt P maximal? Wie groÿ ist dieser
Maximalwert?
17. Das Feld des elektrostatischen Potentials in der Umgebung einer negativ geladenen Kugel
mit Radius R ist gegeben durch
−Q
, r ≥ R,
−Q - Ladung der Kugel, ε0 - elektrische Feldkonstante.
U (r) =
4πε0 r
Bestimmen Sie für einen beliebigen Punkt P des elektrischen Feldes im Auÿenraum der
Kugel (r ≥ R) die Richtung, wo das Potential U am stärksten zunimmt. Wie groÿ ist
dieser Maximalwert?
18. Bestimmen Sie für folgende ebenen Vektorfelder die Divergenz:
3
−y
−y
x
+
1
x
·
e
(a) F~ (x, y) =
,
(b) F~ (x, y) =
,
(c) ~v (x, y) =
.
x
xy 2
y · e−x
19. In welchen Punkten
der Ebene verschwindet die Divergenz des Vektorfeldes F~ (x, y) =
2
xy
?
2
x y − 4y


xy 2
20. Berechnen Sie die Divergenz des räumlichen Vektorfeldes F~ (x, y, z) =  2yz 3  in den
xyz
Punkten P1 = (2, 0, 1) und P2 = (1, 2, −1).
21. Bestimmen Sie die Divergenz des Gradienten des Skalarfeldes
Φ(x, y, z) = (x − 1)2 + (y − 5)2 + z 2 .
22. 
Wie ist dieFunktion f (r) zu wählen, damit das Zentralfeld F~ (x, y, z) = f (r) · ~r =
f (r) · x
 f (r) · y  quellenfrei ist?
f (r) · z
23. Gegeben sei das räumliche radialsymmetrische Skalarfeld Φ(x, y, z) = a +
b
mit r =
r
|~r| > 0 und den reellen Konstanten a, b.
Bestimmen Sie den Gradienten des Feldes und zeigen Sie, daÿ die Divergenz des Gradienten verschwindet.


xy 3
24. Welchen Wert besitzt die Rotation von F~ (x, y, z) =  2xy 2 z  im Punkt
x2 y − z 2
P = (1, 2, 1) ?
25. Wie sind dieParameter a, b 
∈ R zu wählen, damit die Rotation des Vektorfeldes
2xz 2 + y 3 z
 überall verschwindet?
axy 2 z
F~ (x, y, z) = 
2
3
2x z + bxy


2xz + y 2
 wirbelfrei ist und
26. Zeigen Sie, daÿ das räumliche Vektorfeld F~ (x, y, z) =  2xy
2
x
somit als Gradient eines skalaren Feldes Φ(x, y, z) darstellbar ist. Bestimmen Sie diese
Potentialfunktion Φ.


3yz
27. Ist das Vektorfeld F~ (x, y, z) =  3xz + 2yz  ein Potentialfeld? Wenn ja, dann
3xy + y 2 + 3z 2
bestimmen Sie die zugehörige Potentialfunktion Φ(x, y, z).
28. a) Weisen Sie nach, daÿ für ein beliebiges Vektorfeld F~ die Beziehung div(rotF~ ) = 0 gilt.
b) Weisen Sie nach, daÿ für ein beliebiges Skalarfeld Φ die Beziehung rot(gradΦ) = ~0 gilt.
x+y
~
29. Berechnen Sie für das Vektorfeld F (x, y) =
das Kurvenintegral vom Punkt
x2 + y 2
(1, 0) zum Punkt (0, 1)
a) auf direktem Weg,
b) entlang der Koordinatenachsen und
c) entlang der Kreiskurve mit Mittelpunkt im Ursprung.
30. Welche Arbeit
werden, um einen Körper durch das Vektorfeld
 muÿ verrichtet

y
F~ (x, y, z) =  1 − x  zu bewegen auf folgendem Weg: Von (0, 0, 0) nach (0, 0, 1) entlang
z2
der z -Achse und von (0, 0, 1) nach (2, 0, 1) entlang eines in der Ebene z = 1 liegenden
Halbkreisbogens durch den Punkt (1, 1, 1) mit Mittelpunkt in (1, 0, 1) und Radius 1?


2xz
31. Berechnen Sie das Kurvenintegral im Vektorfeld F~ (x, y, z) =  (2x + 11z + 1) : (yz 2 ) 
−3yz
 2 
t
entlang des Weges ~r(t) =  t + 1  von (0, 1, −2) nach (1, 2, −1).
t−2


6z
32. Berechnen Sie den Fluÿ des Vektorfeldes F~ (x, y, z) =  −3y  durch das Dreieck mit
3
den Eckpunkten (2, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Dabei zeige der Normalenvektor in Richtung
wachsender x, y, z -Koordinaten.


x
33. Berechnen Sie den Fluÿ des Vektors F~ (x, y, z) =  y  durch ein Oberächenstück,
z−1
welches gebildet wird von dem durch die Ebene z = 4 abgeschnittenen Rotationsparaboloid z = x2 + y 2 . (Der Normalenvektor zeige nach auÿen.)
34. Berechnen Sie das Oberächenintegral für die gesamte Oberäche des Körpers, der von
2
2
den Flächen z = 1 und x9 + y9 = 5 − z eingeschlossen wird im Vektorfeld


x
!
−y
F~ (x, y, z) = 
2(z − 5)
35. Gegeben seien der Einheitswürfel mit den Eckpunkten (0, 0, k), (1, 0, k), (0, 1, k),(1, 1,
k)
xy
~

y 2 .
(k = 0 Grundäche und k = 1 Deckäche), sowie das Vektorfeld F (x, y, z) =
xz
Berechnen Sie den Fluÿ des Vektorfeldes F~ durch die geschlossene Oberäche des Würfels
unter Verwendung des Integralsatzes von Gauÿ.
 3 
x
~

y 3  durch die Oberäche der
36. Berechnen Sie den Fluÿ des Vektorfeldes F (x, y, z) =
z3
Kugel x2 + y 2 + z 2 = R2 mit Hilfe des Gauÿschen Integralsatzes.


−y 3
37. Gegeben seien das Vektorfeld F~ (x, y, z) =  yz 2  und die Manteläche A der Halby2z
kugel x2 + y 2 + z 2 = 4, z ≥ 0. Gesucht ist der Wirbeluÿ von F~ durch A (d.h. Fluÿ des
Feldes rotF~ ).
Hinweis: Verwenden Sie den Integralsatz von Stokes. Die kreisförmige Randkurve von A
wird gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen.